综合数据

下面三个数字是综合数据:由分层的线、圆、多边形和其他基本形状构建的二维图表。这里的数学挑战是在给定一些基线测量的情况下，找到图中彩色区域的总量。例如，假设下面每个例子中的大圆的面积为1。

$\ qquad \ qquad$

本页是为那些学习解决和设计自己的问题的人准备的中高级复合图挑战。如果你是这类问题的新手，看看这个wiki:基本合成数字．

我们将讨论解决合成图形挑战的三种高级技术:

迭代包含与排除
线性方程组
自相似与无限设计。

在每一节中，我们将通过解决一个有趣的示例来演示该技术，然后提供一些您可以自己尝试的其他示例。

最后，一旦你自己掌握了这些技术，我们会挑战你在Brilliant上设计一个中级或高级水平的合成图形挑战，并将其添加到这个主题区域，以便它出现在页面底部的社区帖子中。

先决条件

基本几何

为了成功地解决固体复合图形问题，你经常需要知道:

的性质三角形，多边形,圈

如何找到周长而且区域三角形;的周长而且区域多边形;和周长而且区域的圈子里

如何识别和比较相等的而且类似的三角形

如何找到相似多边形的面积和周长关系

基本技术

本页假设您已经熟悉解决基本复合图形问题所需的技术。让我们快速回顾一下每种技术:

添加线条和网格
这种技术……

互补的区域
这种技术……

使用对称
这种技术……

使用坐标几何
这种技术……

迭代包含与排除

现有的例子:

AMC 2008

最小的圆的半径为2英寸，每个连续圆的半径增加2英寸。大概有百分之多少的设计是黑色的?

线性方程组

为了充分理解本节内容，您应该熟悉用矩阵解线性方程组．

你们见过合数问题吗，其中的解涉及到一系列复杂的问题，在这里取某些数字，在那里取某些数字，然后将它们相加?让我们先看一个复杂问题的例子，以及如何解决它。

在边长为1的正方形中，用蓝色画有4个四分之一的圆。找到区域 $一个$ 这是这些圆的共性。

现在还不清楚如何使用形状的组合来找到 $一个$ 本身。事实证明，这样的组合是由“4个等边三角形+ 8个截断的扇形- 4个四分之一的圆-正方形给我们。 $一个$ 到底”。这很难想象，更难以轻易说服自己，几乎不可能想出!那么如何解决这个问题呢?

我们感兴趣的是 $一个$ ．目前还不清楚我们如何才能达到公正的 $一个$ 就它自己，所以让我们从列出几个我们能找到的基本形状开始。

1)通过考虑整个正方形，我们得到了这个结论 $A + 4b + 4c = 1$ ．
2)通过考虑两个对角线相对的四分之一圆减去正方形，我们得到这个 $A + 2B = 2 \ * \frac{\pi}{4} - 1$ ．

当然，这两个方程还不足以确定的任何值 $A b c$ 我们试着再找一个方程。

3)考虑边长为1的等边三角形，加上2个截短的扇形，我们得到 $2 \ \压裂{\π}{6}- \压裂{\ sqrt {3}} {4} = A + 2 b + C$ ．

现在让我们希望这些是足够的:
第三个减去第二个方程 $C = 1 - \frac{\根号{3}}{4}- \frac{\pi}{6}$ ．
第二个的两倍减去第一个(加上C的值)得到 $A = \frac{\pi}{3} +1 - \√{3}。\ _ \广场$

这种最初列出各种观测结果的方法，意味着我们只需要解方程组。我们知道如何很容易地做到这一点，甚至可以通过使用逆矩阵．

我们用矩阵的形式来表示这些方程。我们有:

$\开始{pmatrix} 1 & 4 & 4 \ \ 1 & 2 & 0 \ \ 1 & 2 & 1 \ \ \ {pmatrix}结束\开始{pmatrix} \ \ B \ \ C \ \ \结束{pmatrix} = {pmatrix} 1 \ \ \ \开始压裂{\π}{2}- 1 \ \ \压裂{\π}{3}- \压裂{\ sqrt {3}} {4} {pmatrix} \结束。$

因此，我们得到了这个

$\开始{pmatrix} \ \ B \ \ C \ \ \ {pmatrix} = {pmatrix} \开始结束1 & 4 & 4 \ \ 1 & 2 & 0 \ \ 1 & 2 & 1 \ \ \ {pmatrix}结束^ {1}{pmatrix} 1 \ \ \ \开始压裂{\π}{2}- 1 \ \ \压裂{\π}{3}- \压裂{\ sqrt {3}} {4} \ {pmatrix} = {pmatrix} \开始结束1 & 2 & 4 \ \ \压裂{1}{2}& \压裂{3}{2}0 & 1 & 1 & 2 \ \ \ \ \ {pmatrix}结束\开始{pmatrix} 1 \ \ \压裂{\π}{2}- 1 \ \ \压裂{\π}{3}- \压裂{\ sqrt {3}} {pmatrix} ={4} \结束\开始{pmatrix} 1 + \压裂{\π}{3}- \ sqrt{3} \ \ 1 + \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{\π}{12}\ \ 1 - \压裂{\ sqrt{3}}{4} - \压裂{\π}{6}\ {pmatrix}结束。\ \$