复数

一个复数表格上可以写数字吗 $a + bi$,在那里 $一个$而且 $b$是实数而且 $我$是虚数单位定义为 $我^ 2 = 1$．复数的集合，用 $C \ mathbb {}$，包括实数集 $左(\ \ mathbb {R} \右)$和纯虚数的集合。

复数维恩图

Bombelli的L 'Algebra(1572)包含了第一个关于复数的主要论述。在这本书之前，Cardano的方法可以用来求三次方程的根，但它有时需要取负数的平方根作为中间步骤，即使最终结果是一个实数。庞贝利概述了这些复数背后的算术，以便得到这些实根。

当谈论复数时，术语“虚数”有点用词不当。称数字为“想象的”的初衷是贬义的，似乎在暗示这些数字在现实世界中没有价值。相反，复数现在被认为对许多涉及现实世界事物的实际问题是有用的。他们的关系三角函数而且极坐标使得它们在物理和工程应用中特别有用。

根据实部和虚部的性质，任何复数都可以分为四种类型:

• 虚数
• 零的复数
• 虚数
• 纯粹的实数。

为 $Z = a + ib，$出现了以下四种情况:

$\begin{array}{lll} a \neq 0 \qquad b \neq 0 \qquad \隐含a + ib &&: \qquad \text{虚数}\\ a = 0 \qquad b = 0 \qquad \隐含0 + i0 &&: \qquad \text{零数}\\ a = 0 \qquad b \qquad \隐含ib &&: \qquad \text{纯虚数}\\ a \neq 0 \qquad b = 0 \qquad \隐含a &&: \qquad \text{纯实数}结束\{数组}$

有一件事你必须记住:

每个实数都是复数，但每个复数不一定都是实数。

所有复数的集合表示为 $C \in \mathbb$．所有虚数的集合记为 $Z \in \ C \ b$．

主要文章:复平面

复数常表示在复平面，有时被称为阿尔冈平面或根图．在复平面上，有一个实轴和一个垂直的,虚轴．的复数 $a + bi$在这个平面上的坐标和有序对是一样的 $(a, b)$会在笛卡尔坐标平面上画出来。实轴对应于 $x$-轴和虚轴对应 $y$设在。

复平面上的复数

复数相对于有序对的主要优点是，加法和乘法的运算是为复数定义的，而对有序对则没有定义这些运算。

在复数中 $Z = a + ib，$

$Z = \ underbrace{一}_{\打翻{\文本{真正}}{\文本{一部分}}}+ \ underbrace{我}_{\打翻{\文本{虚}}{\文本{单位}}}\ underbrace {b} _{\打翻{\文本{虚}}{\文本{一部分}}}。$

在这里, $我$被称为虚数单位数学上，它的值是 $i = \ sqrt{1}。$

的一些重要属性 $我:$

• $i = \ sqrt {1}$
• $I ^2 = \big(\ root {-1}\big)^2 = -1$
• $I ^3 = I \cdot I ^2 = I \cdot (-1) = -i$
• $I ^4 = I ^2 \cdot (-1) \cdot (-1) = 1$

简化更大的幂 $我$把这个数的最后两位除以 $4$．求余数，如果余数是 $k,$那么值是 $我^ k。$

简化 $我^ {2018},$在哪里 $i = \ sqrt{1}。$

---

给定的表达式是 $颜色我^ {20 \ {# 3 d99f6} 18}$．收集功率的最后两位数字;在这里 ${# 3 d99f6} \颜色18$．

现在,在分 $18$通过 $4,$我们得到余数为 $2$．

因此, $I ^{2018} = I ^2 = -1。\ _ \广场$

的价值

$I ^k + I ^{k + 1} + I ^{k + 2} + I ^{k + 3} = 0，$

在哪里 $k$是一个整数。

这也可以说是“四次连续幂的和” $我$等于0。”

找到…的价值 $I + I²+ I³+ I ^4$．

---

由上面的结果，我们可以直接说值为 $0$因为它是连续4次幂的和 $我。$

或者，你也可以找到如下信息:

$I + I²+ I ^3 + I ^4 = I - 1 - I + 1 = 0。\ _ \广场$

找到…的价值 $\displaystyle \sum_{k = 1} ^{200} i^k。$

---

我们可以把给定的表达式写成

$\大(1 ^ 1 + 1 ^ 2 +我^ ^ 3 + 4 \大)+ \大(我^ ^ 5 + 6 +我^ ^ 7 + 8 \大)+ \ cdots + \大(我^ {193}+ i ^ {194} + i ^ {195} + i ^{196} \大)+ \大(我^ {197}+ i ^ {198} + i ^ {199} + i ^{200} \大)。$

现在，根据上面的结果，每个括号中的值变成 $0$等于连续4次幂的和 $我$等于 $0$．有50个括号，每个括号都等于0。

因此, $50(0) = 0。\ _ \广场$

复数相加遵循的代数原理合并同类项．复数的实部被认为是相似的，同样，复部也被认为是相似的。

复数加法:

给定的复数 $a + bi$而且 $c + di$，它们的和为

$(a + c) + (b + d)。$

是什么 $(4 + 3) + (2 + 2) ?$

---

将实部和虚部分别相加，得到

$4+3i+2+2i = (4+2) + (3+2)i = 6+5i。\ _ \广场$

注意，实数只能加到其他实数上，虚数只能加到其他虚数上。

还有一些例子:

• $(3-4i) + (3 + 2) = 6-2i$
• $(4-2i)——(2-5i) = 6 + 3$
• $(3) + (3 + 5) = 3 + 8$

复数相乘遵循用二项式．一个显著的区别是，当虚数相乘时，得到的是实数。

复数的乘法:

给定两个复数 $a + bi$而且 $c + di$，它们的乘积是

$\{对齐}开始(a + bi) \ * (c + di) & = (c + di) + bi (c + di) \ \ & = (ac) +(广告)我+ (bc) + (bd) ^ 2 \ \ & = (ac) +(公元前广告+)i + (bd) (1) \ \ & = (ac - bd) + (ad + bc)我。结束\{对齐}$

注意:最好不要记住上面的公式，因为两个复数的乘法可以像两个实数的正常乘法一样完成。

是什么 $(3 + 2) (4-2i) ?$

---

解决方案1:
根据上面的定义， $A =3, b=2, c=4, d= 2$所以乘积是

$\大(12 -(-4)\大)+ (-6+8)i = 16 + 2i。\ _ \广场$

解决方案2:
从基本原理出发，我们有

$\{对齐}(3 + 2)开始(4-2i) & = 3 (4-2i) + 2 (4-2i) \ \ & = 12-6i + 8我4 ^ 2 \ \ & = 16 + 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果 $我x = 1 + 2$，什么是价值 $X ^3 + 2x^2 + 4x + 25?$

---

解决方案1:
我们可以分别计算每一项，然后加上:

• $X ^3 = (1+2i)^3 = -11 - 2i$
• $2x²= 2(1+2i)²= 2(-3+4i) = -6+8i$
• $4x = 4(1+2i) = 4 + 8i$

因此, $x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 4 x + 25 = (-11 - 2) + (6 + 8 i) + (4 + 8 i) + 25 = 12 + 14$． $_ \广场$

解决方案2:
自 $X = 1 +2i$， $x - 1 = 2我$．两边平方得到

$X ^2-2x +1=4i^2 \意味着X ^2-2x +5 = 0。\ qquad (1)$

然后

$\{对齐}开始x ^ 3 + 2 x ^ 2 + 4 x + 25 & = \大(x ^ 2-2x + 5 \大)\离开x (x + 4 \右)+ 7 + 5 \ \ & = 0 \ cdot x (x + 4) + 7 + 5 \ qquad \ qquad \ qquad \大文本的{}(1)(\ \大)\ \ & = 7(1 + 2)+ 5 \ \ & = 12 + 14我。\ \ _ \广场结束{对齐}$

复数除法:

如果 $Z_1 = a + ib$而且 $Z_2 = c + id$任意两个复数，这两个复数的除法是用just来做的吗对复数进行理性化或乘以除以分母的共轭．

这将在下一节中讨论。

主要文章:复杂的轭合物

的复共轭复数的 $a + bi$是 $bi$．

说出下列数的复数共轭:

• $5 + 6我$

• $\压裂{8}{3}- i$

• $2我$

• $17.$

---

它们的共轭复数如下:

• $5 + 6我\意味着5-6i$

• $\压裂{8}{3}- i \意味着\压裂{8}{3}+我$

• $2我\意味着2:$虚数的复共轭是该数的负数。

• $17 \意味着17:$实数的复共轭就是数本身。 $_ \广场$

复共轭也可以认为是复数在复平面上关于实轴的反射。

复平面上的复共轭对

复共轭很有用合理化分母包含复数的。复分母理性化的过程与根号的过程非常相似。

把分母合理化，写成标准形式:

$\压裂{3 + 2我}{5-2i}。$

---

分母的共轭是 $5 + 2我。$分子分母同时乘以这个数

${对齐}\ \开始压裂{3 + 2我}{5-2i} & = \压裂{(3 + 2)(5 + 2我)}{(5-2i)(5 + 2我 )} \\ \\ &= \ 压裂{11 + 16我}{29 } \\ \\ &= \ 压裂{11}{29}+ \压裂{16}{29}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

此外，复共轭根定理说明多项式的复根总是以共轭对形式出现。

复共轭根定理:

如果 $a + bi$那么有有理系数的多项式的根是多少呢 $bi$也是多项式的一个根。

下面的二次方程有 $1 +我$作为根:

$x ^ 2 + bx + c。$

如果 $b$而且 $c$是整数，那么是什么 $b + c ?$

---

考虑到 $b$而且 $c$是整数，另一个根必须是的共轭 $1 +。$把多项式写成因式形式

$\{对齐}开始x ^ 2 + bx + c & = (x-1-i) (x - 1 + i) \ \ & = x ^ 2-2x + 2,结束\{对齐}$

这意味着 $b = 2$而且 $c = 2,$所以 $b + c = 0。$ $_ \广场$

如果 $左\ | z_1 \右| = \左| z_2 \右| = \左| z_3 \右| = \ ldots = \左| z_n \ | = 1,$然后证明

$左| \ \压裂{1}{z_1} + \压裂{1}{z_2} + \压裂{1}{z_3} + \ cdots + \压裂{1}{z_n} \右| = \左| z_1 + z_2 + z_3 + \ cdots + z_n \ |。$

---

我们有

${对齐}\ \开始左| z_1 \右| = \左| z_2 \右| = \左| z_3 \右| = \ ldots = \左| z_n \右| & = 1 \ \ \ \ \ |离开z_1 \右| ^ 2 = \左| z_2 \右| ^ 2 = \左| z_3 \右| ^ 2 = \ ldots = \左| z_n \吧| ^ 2 & = 1 \ \ \ \ z_1 \眉题{z_1} = 1, z_2 \眉题{z_2} = 1, z_3 \眉题{z_3} = 1, \ ldots z_n \眉题{z_n} & = 1 \ \ \ \ \压裂{1}{z_1} = \眉题{z_1}, \压裂{1}{z_2} = \眉题{z_2}, \压裂{1}{z_3} = \眉题{z_3}, \ ldots,\压裂{1}{z_n} & = \眉题左| {z_n} \ \ \ \ \ \压裂{1}{z_1} + \压裂{1}{z_2} + \压裂{1}{z_3} + \ cdots + \压裂{1}{z_n} \右| & = \左| \眉题{z_1} + \眉题{z_2} + \眉题{z_3} + \ cdots + \眉题{z_n} \右| \ \ \ \ & = \左| \眉题{z_1 + z_2 + z_3 + \ cdots + z_n} \右| \ \ \ \ & = \左| z_1 + z_2 + z_3 + \ cdots + z_n \ | \ qquad \大(左\文本以来{}\ | \眉题{z} \右左| | = \ z \ | \大)\ \ \ \ \ Rightarrow \左| \压裂{1}{z_1} + \压裂{1}{z_2} + \压裂{1}{z_3} + \ cdots + \压裂{1}{z_n} \右| & = \左| z_1 + z_2 + z_3 +\ cdots + z_n \ |。\ _ \广场结束\{对齐}$

主要文章:高斯整数

一个高斯整数是复数 $+ bi,$这两个 $一个$而且 $b$都是整数。应该注意的是，高斯整数是实际上并没有一个整数，除非虚数部分等于0。

高斯整数:

• $3 + 2我$

• $7-8i$

• $14$

• $-92年,我$

非高斯整数:

• $\ \压裂{1}{2}+压裂{\ sqrt {3}} {2}$

• $7 - \压裂{我}{3}$

高斯整数是我们感兴趣的数论因为二次，三次和四次的问题互惠更方便地表述为高斯整数问题。

主要文章:复数-绝对值

参见:笛卡尔坐标转换为极坐标

需要注意的是，求复数的模数和实参的过程与求的过程几乎相同将笛卡尔坐标转换为极坐标．

的绝对值定义为从0到那个数的正距离。复数的绝对值也用同样的方法定义，只不过这个距离是在复平面上测量的。

因为连接0和复数的这段是直角三角形的斜边，所以这段的距离用勾股定理．这个距离有时被称为模量复数的。

的模量复数的 $a + bi$是

$| + bi | = \√6 {b ^ ^ 2 + 2}。$

计算 $| 3-4i |。$

---

我们有

$我| | 3 + 4 = \√6{(3)^ 2 + 4 ^ 2}= 5。\ _ \广场$

正实轴与连线射线的夹角 $0$用复数表示论点这个复数的。

就像模量一样，复数的辐角可以用三角形关系来计算。

的论点复数的 $a + bi$的角度, $\θ$，由方程定义

$谭\{\θ}= \压裂{b}{}。$

$\θ$可以通过对上面的方程取正切逆来解，但是必须注意考虑复数所处的象限。

计算的参数 $3 + 4。$

---

我们有

$谭\{\θ}= - \压裂{4}{3}。$

反切函数的取值范围是 $\离开(- \压裂{\π}{2}\压裂{\π}{2}\右)。$求tan逆会得到这个角 $4 ^ \文本{th}$象限。这个号码在 $2 ^ \文本{和}$象限,所以 $\π$应该加上这个角度，以给出正确的参数:

$谭\θ= \ ^{1}\离开(- \压裂{4}{3}\右)+ \π。\ _ \广场$

的复数的完整旋转 $2 \π$弧度将产生一个与复数共终端的图像。因此，每个复数都有无限多个参数。

如果 $\θ$那么是复数的辐角吗 $\ \θ+ 2 kπ$也是复数的一个参数，在哪里 $k$是一个整数。

主要文章:代数基本定理

参见:二次方程而且二次方程的判别式

由代数基本定理,每一个多项式的程度 $n$正好有 $n$根，指多样性。然而，有时这些根是复数而不是实数。举个简单的例子， $X ^2 +1 = 0$只有当 $x ^ 2 = 1$当然，这只有在 $x = \ pm我$．

求方程的根 $2x^2 + 1 = 0。$

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减去 $1$然后两边同时对半，我们得到 $x ^ 2 = \压裂{1}{2}。$因此,

$下午\{对齐}开始x & = \ \√6 \压裂{1}{2}\ \ & = \ \ sqrt{1} \√6下午\压裂{1}{2}\ \ & =我下午\ \√6{\压裂{1}{2}}\ \ & = \ \下午压裂{我}{\ sqrt{2}} \ _ \广场\{对齐}结束。$

因式分解以下二次方程: $X ^2 + 6x + 10。$

---

计算判别 $D$,我们得到

$D = b^2 - 4ac = 6^2 -4 \times1\times10 = -4。$

它小于 $0$因此我们可以得出这样的结论:二次方程有一对带虚分量的复根。为了找到它们，我们使用的二次公式如下:

$\{对齐}开始x & = \压裂{- b \ \下午sqrt {D}} {2 a } \\ & = \ 压裂{下午6 \ \ sqrt {4}} {2 \ * 1 } \\ & = \ 压裂{6 \下午2 \√{1}}{2}\ \ & = 3 \ pm我。结束\{对齐}$

对表达式进行因式分解，得到

$\{对齐}开始x ^ 2 + 6 x + 10 & = \大(x - (3 + i) \大)、大(x - (3 i) \大)\ \ & = (x + 3 i) (x + 3 + i)。\ \ _ \广场结束{对齐}$

找到根源 $3x^2 + 5ix + 7 = 0。$

---

计算判别 $D$,我们得到

$D = b^2 - 4ac = (5i)^2 - 4\times3\times7 = -109。$

确实更少 $0$因此我们可以得出二次方程有一对复根。为了找到它们，我们使用的二次公式如下:

$\{对齐}开始x & = \压裂{- b \ \下午sqrt {D}}{2} \ \ & = \压裂{5下午我\ \√{-109}}{2 \ * 3}\ \ & = \压裂{5下午我\ \√{109}\ sqrt{1}}{6}。结束\{对齐}$

因此，根是

$\{数组}{c}开始x = \离开(\压裂{5 - \ sqrt{109}}{6} \右)我& \文本{和}x = \离开(\压裂{5 + \√{109}}{6}\右)结束我。\{数组}\ _ \广场$

主要文章:欧拉公式

参见:De Moivre定理

表单 $a + bi$被称为复数的标准形式。欧拉公式给出了用指数形式表示复数的一种方法。

欧拉公式:

给定一个复数 $z$与模量 $r$和参数 $\θ,$

$z =再保险^{我\θ}= r \离开(\ cosθ}{\ + i \ sinθ}{\ \右)。$

表达 $3 e ^{\π/ 2}$在标准形式。

---

我们有

$\开始{对齐}3 e ^{\π/ 2}& = 3 \离开(\因为\压裂{\π}{2}+ i \罪\压裂{\π}{2}\)\ \ & = 3。\ \ _ \广场结束{对齐}$

表达 $\压裂{1}{2}- i \压裂{\ sqrt {3}} {2}$指数形式。

---

计算弹性模量:

${对齐}\左| \ \开始压裂{1}{2}- i \压裂{\ sqrt{3}}{2} \右| & = \左(\压裂{1}{2}\右)^ 2 + \离开(\压裂{\ sqrt{3}}{2} \右)^ 2 \ \ \ \ & = 1。结束\{对齐}$

计算参数:

$\begin{aligned} \tan{\theta} &= -\sqrt{3} \qquad \big(\text{number is in the} 4^\text{th} \text{象限}\big) \\ \\ theta &= -\frac{\pi}{3}。结束\{对齐}$

有了模数和参数，指数形式直接如下:

$\压裂{1}{2}- i \压裂{\ sqrt {3}} {2} = e ^{- \π/ 3}。\ _ \广场$

欧拉恒等式是欧拉公式的一种特殊情况 $r = 1$而且 $\θ= \π。$它之所以引人注目，是因为它包含了几个重要的数学常数 $(0, 1， \pi, e，$而且 $我)$都在一个方程里。

欧拉恒等式:

$e ^{\π}+ 1 = 0$

De Moivre定理给出了一种将复数取任意实数幂的方法。它直接符合欧拉公式。

De Moivre定理:

给定一个复数 $z =再保险^{我\θ}$一个实数 $n,$

$z ^ n = \大(重新^θ}{我\ \大)^ n = r ^ n大\ [\ cos (n \θ)+ i \罪大(n \θ)\]。$

计算 $大\ \√大概{2}{2}+ i \ \大)^ 4$在标准形式。

---

计算基复数的模量:

${对齐}\大| \ \开始sqrt大概{2}{2}+ i \ \大| & = \√6{\√{2})^ 2 + \√{2})^ 2}= 2。结束\{对齐}$

计算基数复数的实参:

$\begin{aligned} \tan{\theta} &=1 \qquad \big(\text{number在}1^\text{st}\text{象限}\big) \\ \\ theta &= \frac{\pi}{4}。结束\{对齐}$

转换成指数形式，应用De Moivre定理:

${对齐}\ \开始大\√{2}+我大概{2}\ \大)^ 4 & = \大(2 e ^{\π/ 4}\大)^ 4 \ \ & = 2 ^ 4 \离开(我\ \因为{\π}+罪{\π}\右)\ \ & = -16。\ \ _ \广场结束{对齐}$

主要文章:统一的根源

的 $n ^ \文本{th}$统一的根源这个形式的方程的复解是这样的吗 $x ^ n = 1,$在哪里 $n$为正整数。它们可以用欧拉公式和德莫约尔定理来求解。

这个方程的复解是什么 $x ^ 6 = 1 ?$

---

我们有

$\开始{对齐}1 & = e ^ {2 k \π},\ k \ \ mathbb {Z} \ \ e x ^ 6 & = ^ {2 k \π}\ \ x = e ^ {k \π/ 3}。结束\{对齐}$

下面是 $6$的值 $k$给出不同的复数。的所有其他价值 $k$给出与这些复数共终端的参数:

$\{数组}{微光}开始k = 0: x = e ^ & 0 & = 1 \ \ k = 1: & x = e ^{\π/ 3}& = \压裂{1}{2}+ i \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ \ k = 2: & x = e ^{2 \π/ 3}& = - \压裂{1}{2}+ i \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ \ k = 3: & x = e ^{\π}& = 1 \ \ k = 4: & x = e ^{4 \π/ 3}& = - \压裂{1}{2}- i \压裂{\ sqrt {3}} {2} \ \ k = 5: & x = e ^{5 \π/ 3}& = \压裂{1}{2}- i \压裂{\ sqrt{3}}{2}。结束\{数组}$

这些解叫做 $6 ^ \文本{th}$根的团结。 $_ \广场$

主要文章:几何中的复数

由于与复数有关的圆形关系，它们对许多几何问题都很有用。例如，用复数计算一个点或刚性图形的旋转比用三角函数要简单得多。

旋转一个点 $\θ$关于原点的逆时针弧度，

• 首先将有序对转换为对应的复数;
• 把这个复数乘以 $e ^{我\θ}$;
• 将此结果转换为相应的有序对。

旋转:旋转一个刚性的物体 $\θ$围绕原点逆时针旋转弧度，按照上面的过程旋转图中的每个点。

这一点 $(2、5)$旋转 $30 ^ \保监会$逆时针绕原点。旋转的像是什么?

---

对应的复数为 $2 + 5。$旋转的角度是 $\压裂{\π}{6}。$这就得到了复数

$e ^{\π/ 6}= \压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{我}{2}。$

将这些复数相乘得到旋转图像:

$\(2 + 5我\ vphantom{\压裂{\ sqrt{3}}{2}} \) \离开(\压裂{\ sqrt{3}}{2} + \压裂{我}{2}\右)= \ sqrt{3} - \压裂{5}{2}+ i \离开(1 + \压裂{5 \√{3}}{2}\右)。$

对应的有序对是 $左\ \√{3}- \压裂{5},{2}\ 1 + \压裂{5 \√{3}}{2}\右)。$ $_ \广场$

复数在几何上还有其他一些应用关于这个话题的Wiki页面．