完成平方-多重变量

用多个变量完成表达式的平方是一种将表达式操作成完全平方加上某个常数的技术。作为一个例子, $X ^2+2x+y^2-6y+z^2 - 8z + 1$可以写成全方形式为

$(x + 1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 + (z-4) ^ 2-25。$

这种技术在分解表达式、处理圆锥曲线、求表达式的极大值和极小值时是有用的。

让我们看看怎么做 $x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2 x-6y-8z + 1$可以分成方块。

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首先，请注意表达式没有任何乘积术语，例如 $xy$或 $yz$．这意味着我们可以把它分成单变量多项式的平方，比如

$(Ax + a)²+ (By + b)²+ (Cz + c)²+ d²$

在这种情况下，关键是去做<一个href＝"//www.parkandroid.com/wiki/completing-the-square/" class="wiki_link" title="完整的广场" target="_blank">完整的广场为每个变量单独和合并它们。

让我们来处理 $x, y$和 $z$分别如下:

$\{对齐}开始x ^ 2 + 2 x & = (x + 1) ^ 2 - 1 \ \ y ^ 2 - 6 y & = (y - 3) ^ 2 z - 9 \ \ z ^ 2 - 8 & = (z - 4) ^ 2 - 16所示。结束\{对齐}$

那么，原始多项式可以写成

$\{对齐}开始x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 + 2 x-6y-8z + 1 & = \大((x + 1) ^ 2 - 1 \大)+ \大((y - 3) ^ 2 - 9 \大)+ \大((z - 4) ^ 2 - 16 \大)+ 1 \ \ & = (x + 1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 + (z-4) ^ 2 - 25 \ \ & = (x + 1) ^ 2 + (y-3) ^ 2 + (z-4) ^ 2 - 5 ^ 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

如果有产品术语怎么办?在这种情况下,我们猜测哪些变量需要在一起才能得到乘积项，然后进行相应的操作．

表达 $X ^2 + 13y^2 + z^2 + 6x y + 4y z$作为平方和。

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这里的产品术语包含 $xy$和 $yz$．我们可以把这个多项式写成类似于

$(Ax + By + C)²+ (Py + Qz + R)²。$

至于与 $x$和 $y$,我们有

$X ^2 + 6y + 13y ^2 = (X + 3y)^2 + (2y)^2。$

就条款而言 $y$和 $z$,我们有

$13y^2 + 4yz + z^2 = (z + 2y)^2 + (3y)^2。$

现在，我们把它们加起来，然后相减 $13 y ^ 2$当我们重复计算它的时候，把原来的多项式写成

$\大((x + 3 y) ^ 2 + (2 y) ^ 2 \大)+ \大((z + 2 y) ^ 2 + (3 y) ^ 2 \大)- 13 y ^ 2 = (x + 3 y) ^ 2 + (2 y + z) ^ 2。\ _ \广场$

解出 $x$在 $Ax ^2 + bx + c = 0$,在那里 $a, b, c，在\mathbb{R}中$．

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我们可以用补方法:

$X ^2 + dfrac{b}{a} = 0。$

我们必须加上什么才能得到完全平方数? $\压裂{b} {x} = 2 xz$完全平方是这样的 $X ^2 + 2xz + z^2$所以我们需要找到 $z$和广场: $z = \压裂{b} {2}$和 $z ^ 2 = \压裂{b ^ 2} {4 a ^ 2}$．我们添加 $z ^ 2$双方:

$\{对齐}开始x ^ 2 + \ dfrac {b}{一}x + \ dfrac {b ^ 2} {4 a ^ 2} + \ dfrac {c}{一}& = \ dfrac {b ^ 2} {4 a ^ 2} \ \ \离开(x + \ dfrac {b}{2} \右)^ 2 & = \ dfrac {- c} {} + \ dfrac {b ^ 2} {4 a ^ 2} \ \ \离开(x + \ dfrac {b}{2} \右)^ 2 & = \ dfrac {b 2 ^ 4 ac} {4 a ^ 2} \ \ x + \ dfrac {b}{2} & = \ \下午√6 {\ dfrac {b ^ 2 - 4 ac} {4 a ^ 2 }} \\&= \ 下午\ dfrac {\ sqrt {b ^ 2 - 4 ac}} {2} \ \ x & = \ dfrac {- b \点√{b^2 - 4ac}}{2a}\ _ \广场结束\{对齐}$

因素 $X ^4 + X ^2 + y^4$．

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这看起来是不可分解的，但我们可以通过加减使它可以分解 $x ^ 2 y ^ 2:$

$\{对齐}开始x ^ 4 x ^ 2 + y ^ 2 + y ^ 4 & = x ^ 4 + 2 x ^ 2 y ^ 2 x ^ 2 + y ^ 4 - y ^ 2 \ \ & = \大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2 - x ^ 2 y ^ 2 & \ qquad \文本{(一个完美的平方)}\ \ & = \大(x ^ 2 + y ^ 2 + xy \大)、大(x ^ 2 + y ^ 2 - xy \大)。\ _\square &\qquad \text{(两个正方形之差)}\end{aligned}$

因素 $x ^ 4 + 4 y ^ 4$．

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同样，我们可以通过加减中间项来完成平方 $4 x ^ 2 y ^ 2$：

$\{对齐}开始x ^ 4 + 4 y ^ 4 & = x ^ 4 \颜色{# D61F06} {+ 4 x ^ 2 y ^ 2} + 4 y ^ 4 \颜色{# D61F06} {4 x ^ 2 y ^ 2} \ \ & = \大(x ^ 2 + y ^ 2 \大)^ 2 ^ 2 y ^ 2,结束\{对齐}$

哪些因素可以被考虑

$\大(x ^ 2 + 2 xy + 2 y ^ 2 \大)、大(x ^ 2-2xy + 2 y ^ 2 \大),$

哪一个是最著名的<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/sophie-germain-identity/">Sophie-Germain身份． $_ \广场$

对于一般的圆锥曲线 $ax ^ 2 + cy ^ 2 + dx +是+ f = 0,$我们可以求出这个平方的所有元素。让我们开始识别圆锥曲线:

• 当 $交流> 0,$我们有一个椭圆（ $一个$和 $c$有相同的标志但是 $c \ neq$)．
• 当 $c =$和 $a、c \ neq 0,$我们有一个圆．
• 当 $交流< 0,$我们有一个双曲线（ $一个$和 $c$有不同的迹象)。
• 当 $ac = 0,$我们有一个抛物线(只有一个 $一个$和 $c$是零)。

对于每一个，我们都有不同的形式和元素:

一个圆与中心 $C = (h, k)$和半径 $r$的方程

$(x h) ^ 2 + (y-k) ^ 2 = r ^ 2。$

完成正方形的策略-圆：

• 移动包含的所有项 $x$和 $y$在一边，常数项(如果有)在另一边。
• 把方程除以的系数 $x$和 $y$如果不是1。
• 填入正方形 $x$和 $y$．
• 重新排列并确定它的元素。

找出圆锥曲线的所有元素 $x ^ 2 + y ^ 2-6x y + 14 + 42 = 0$．

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因为 $x ^ 2$和 $y ^ 2$都是 $1，$我们有一个圆，所以我们要求它的圆心和半径。我们移动常数项 $42$另一边:

$x ^ 2 + y ^ 2-6x + 14 y = \颜色{# 20 a900}{-42}。$

现在，我们把正方形填入 $x$和 $y$：

$x ^ 2-6x + \颜色{# D61F06} {9} + y y ^ 2 + 14 + \颜色{# 3 d99f6} {49} = -42 + {# D61F06}{9} + \颜色\颜色{# 3 d99f6}{49}。$

最后,我们重新安排:

$(3) ^ 2 + (y + 7) ^ 2 = 16。$

通过与圆的方程的比较，我们发现 $C = (7)$和 $r = \ sqrt {16} = 4$． $_ \广场$

一个椭圆与中心 $C = (h, k)$,半轴 $一个,$和长半轴 $b$有下面的方程。

• 横向椭圆: $\ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} + \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2} = 1。$
• 垂直椭圆: $\ dfrac {(y-k) ^ 2} {^ 2} + \ dfrac {(x h) ^ 2} {b ^ 2} = 1。$

完成正方形的策略-省略号：

• 移动包含的所有项 $x$和 $y$在一边，常数项(如果有)在另一边。
• 因式分解的 $x ^ 2$和 $x$按公因子项，用该因子作为的系数 $x ^ 2$．
• 对…做同样的事 $y ^ 2$和 $y$．
• 填入正方形 $x$和 $y$．
• 简化双方。
• 两边同时除以右边的项。
• 简化了分数。
• 确定所有元素。

找出圆锥曲线的所有元素 $9 x ^ 2 + y ^ 2 + 36 x 25 - 50 - y - 164 = 0$．

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因为 $x ^ 2$和 $y ^ 2$不同但符号相同，我们有一个椭圆。首先我们把常数项移到右边

$9 25 x ^ 2 + y ^ 2 + 36 x-50y = \颜色{# 20 a900}{164}。$

接下来，我们分解 $x ^ 2$和 $x$条款。我们看到的系数 $x ^ 2$是 $9$，所以它是公因数。我们要除以的系数 $x$,这是 $36$通过 $9$．我们也用同样的方法 $y ^ 2$和 $y$：

$颜色\ {# D61F06} {9 (x ^ 2 + 4 x)} + \颜色{# 3 d99f6} {25 (y ^ 2-2y)} = 164。$

现在我们完成了平方，不要忘记把右边要加的项相乘 $9$和 $25$：

$9 (x ^ 2 + 4 x + \颜色{# D61F06} {4}) + 25 (y ^ 2-2y + \颜色{# 3 d99f6}{1}) = 164 + \颜色{# D61F06}{9(4)} + \颜色{# 3 d99f6}{25(1)}。$

简化:

$9 (x + 2) ^ 2 + 25 (y-1) ^ 2 = 225。$

两边除以 $225$：

$\ dfrac {9 (x + 2) ^ 2}{\颜色{# 20 a900} {225}} + \ dfrac {25 (y-1) ^ 2}{\颜色{# 20 a900}{225}} = 1。$

最后将分数化简，得到椭圆方程的形式:

$\ dfrac {(x + 2) ^ 2} {25} + \ dfrac {(y-1) ^ 2}{9} = 1。$

自 $25 > 9,$我们有一个水平椭圆 $= \ sqrt {25} = 5$， $b = \ sqrt {9} = 3$和中心 $C = (2, 1)$． $_ \广场$

一个双曲线与中心 $C = (h, k)$,半轴 $一个,$和长半轴 $b$有下面的方程。

• 双曲线水平: $\ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} - \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2} = 1。$
• 垂直双曲线: $\ dfrac {(y-k) ^ 2} {^ 2} - \ dfrac {(x h) ^ 2} {b ^ 2} = 1。$

平方双曲线的补全策略：

步骤与椭圆的步骤几乎相同，但我们必须更加小心符号。

找出圆锥曲线的所有元素 $7 x ^ 2-10y ^ 2 + 70 x + 80 y-55 = 0$．

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因为 $x ^ 2$和 $y ^ 2$有不同的符号，我们有一个双曲线。首先我们把常数项移到右边

$7 x ^ 2-10y ^ 2 + 70 x + 80 y = \颜色{# 20 a900}{55}。$

接下来，我们分解 $x ^ 2$和 $x$条款。我们看到的系数 $x ^ 2$是 $7$，所以它是公因数。我们要除以的系数 $x$,这是 $70，$通过 $7：$

$颜色\ {# D61F06} {7 (x ^ 2 + 10 x)} -10 y ^ 2 + 80 y = 55。$

对…做同样的事 $y ^ 2$和 $y$．我们看到的系数 $y ^ 2$是 $－10$，所以这就是公因数。我们要除以的系数 $y$,这是 $80年,$通过 $-10:$

$7 (x ^ 2 + 10 x) \颜色{# 3 d99f6} {-10 (y ^ 2-8y)} = 55。$

现在我们完成了平方，不要忘记把右边要加的项相乘 $7$和 $－10$：

$7 (x ^ 2 + 10 x + \颜色{# D61F06} {25}) -10 (y ^ 2-8y + \颜色{# 3 d99f6}{16}) = 55 \颜色{# D61F06}{+ 7(25)} \颜色{# 3 d99f6}{-10(16)}。$

简化:

$7 (x + 5) ^ 2 - 10(4) ^ 2 = 70。$

两边除以 $70$：

$\ dfrac {7 (x + 5) ^ 2}{\颜色{# 20 a900} {70}} - \ dfrac{10(4) ^ 2}{\颜色{# 20 a900}{70}} = 1。$

最后将分数化简，得到双曲线方程的形式:

$\ dfrac {(x + 5) ^ 2} {10} - \ dfrac{(4) ^ 2}{7} = 1。$

我们有一个水平双曲线 $= \ sqrt {10}$， $b = \ sqrt {7},$和中心 $C = (5,4)$． $_ \广场$

一个抛物线在顶点 $V = (h, k)$和焦距 $p$有如下公式:

• 水平抛物线: $(y-k) ^ 2 = 4 p (x h)$
  如果 $p > 0,$抛物线是向右的;如果 $p < 0,$它是指向左边的。

• 垂直抛物线: $(x h) ^ 2 = 4 p (y-k)$
  如果 $p > 0,$抛物线是向上的;如果 $p < 0,$它是直接向下。

完成正方形抛物线的策略：

• 确定变量的平方。用公因式将它与线性的因式分解，用公因式作为变量的平方系数。
• 在平方变量中完成平方。
• 把常数项和非平方变量项移到右边。
• 右边再因式分解，用公因式，用线性变量的系数。
• 两边同时除以左边的二项式的平方系数。
• 确定所有元素。

找出圆锥曲线的所有元素 $3 x ^ 2-30x-20y + 235 = 0$．

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因为我们有 $x ^ 2$词,但没有 $y ^ 2$项，我们有一条抛物线。首先我们将因式分解 $x ^ 2$和 $x$条款。我们看到的系数 $x ^ 2$是 $3.$，所以它是公因数:

$颜色\ {# D61F06} {3 (x ^ 2-10x)} -20 y + 235 = 0。$

接下来，我们将完成正方形 $x$，不要忘记把右边要加的项乘以 $3.$：

$3 (x ^ 2-10x + \颜色{# D61F06} {25}) -20 y + 235 = \颜色{# D61F06}{3(25)}。$

接下来，我们将移动 $y$把常数项移到另一边，然后化简

$\开始{对齐}3 (x5) ^ 2 & = \颜色{# 20 a900} {20 y - 235} + {# D61F06}{75} \颜色\ \ & = 20 y - 160。结束\{对齐}$

右边因式分解。我们看到的系数 $y$是 $20.$，所以它是公因数:

$3 (x5) ^ 2 = \颜色{# 3 d99f6} {20 (y-8)}。$

两边除以 $3.$：

$颜色(x5) ^ 2 = \ {# 20 a900} {\ dfrac {20} {3}} (y-8)。$

竖直抛物线开口向上。它的顶点是 $V = (5, 8)$它的焦距是 $4 p = \压裂{20}3 \意味着p = \ frac53$． $_ \广场$

我们还可以三维二次曲线段，称为二次曲面的表面．给出一个等式 $x, y,$和 $z,$我们可以用多变量补方法来确定这些二次曲面的某些特性。

一个椭球体的方程 $\ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} + \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2} + \ dfrac {(z-l) ^ 2} {c ^ 2} = 1$．

• 所有的痕迹椭圆．(一个跟踪是一个平面与给定曲面的交点方程。)
• 它的中心在 $(h, k, l)$．
• 如果 $A = b = c$，那么椭球体就是一个球体。
• 椭球有3个对称轴: $左\ \{{矩阵}\ \开始开始{对齐}\ \ y = x = h k \ \ z = t-l \{对齐}结束\{矩阵}\正确的结束。$ $左\ \{{矩阵}\ \开始开始{对齐}x = h \ \ y = tk \ \ z = l \{对齐}结束\{矩阵}\正确的结束。$和 $\ \{\离开开始{矩阵}\{对齐}x =张茵开始\ \ \ \ z = y = k l。结束\{对齐}\{矩阵}\正确的结束。$

一个椭圆抛物面的方程 $c \ dfrac {z-l} {} = \ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} + \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2}$．

• 椭圆抛物面的顶点是 $(h, k, l)$．从概念上讲，这类似于二维抛物线的顶点形式。
• 水平轨迹是椭圆，垂直轨迹是抛物线。
• 对称轴是 ${矩阵}\ \ \{\离开开始开始{对齐}\ \ y = x = h k \ \ z = t-l。结束\{对齐}\{矩阵}\正确的结束。$

一个双曲抛物面品客薯片(Pringles chip)有一个等式 $c \ dfrac {z-l} {} = \ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} - \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2}$．

• 双曲抛物面的中心(在这里是鞍点，其中所有方向的偏导数都等于零，但这个点既不是最大值也不是最小值) $(h, k, l)$．

• 对称轴是 ${矩阵}\ \ \{\离开开始开始{对齐}\ \ y = x = h k \ \ z = t-l。结束\{对齐}\{矩阵}\正确的结束。$

一个椭圆锥面的方程 $\ dfrac {(z-l) ^ 2} {c ^ 2} = \ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} + \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2}$．

• “中心”位于 $(h, k, l)$．
• 水平轨迹是椭圆，垂直轨迹是双曲线或直线，这取决于平面的方程。
• 对称轴是 ${矩阵}\ \ \{\离开开始开始{对齐}\ \ y = x = h k \ \ z = t-l。结束\{对齐}\{矩阵}\正确的结束。$

一个单叶双曲面看起来像核冷却塔，里面有方程式 $1 = \ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} + \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2} - \ dfrac {(z-l) ^ 2} {c ^ 2}$．

• “中心”位于 $(h, k, l)$．
• 水平轨迹是椭圆，垂直轨迹是双曲线。
• 对称轴是 ${矩阵}\ \ \{\离开开始开始{对齐}\ \ y = x = h k \ \ z = t-l。结束\{对齐}\{矩阵}\正确的结束。$

一个双片双曲面看起来像两个镜像的椭圆抛物面，并有方程 $1 = - \ dfrac {(x h) ^ 2} {^ 2} - \ dfrac {(y-k) ^ 2} {b ^ 2} + \ dfrac {(z-l) ^ 2} {c ^ 2}$．

• 这两张纸是“镜像”的 $(h, k, l)$．
• 水平轨迹时，平面平行于 $z$当平面与其中一个薄片相交时，-轴为椭圆。垂直轨迹是双曲线。
• 对称轴是 ${矩阵}\ \ \{\离开开始开始{对齐}\ \ y = x = h k \ \ z = t-l。结束\{对齐}\{矩阵}\正确的结束。$

确定二次曲面及其元素:

$4604 = 400x^2 - 800x + 225y^2 + 900y - 144z^2 - 1152z。$

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我们有

$\{对齐}开始4604 + 400 + 900 - 2304 & = 400 x ^ 2 - 800 x + 400 + 225 y y ^ 2 + 900 + 900 - 144 z ^ 2 - 1152 z -2304 \ \ 3600 & = 400 (x - 1) ^ 2 + 225 (y + 2) ^ 2 - 144 (z + 4) ^ 2 \ \ 1 & = \ dfrac {(x - 1) ^ 2} {3 ^ 2} + \ dfrac {(y + 2) ^ 2} {4 ^ 2} - \ dfrac {(z + 4) ^ 2}{5 ^ 2}。结束\{对齐}$

我们可以看到方程是a $\boxed{\text{单张双曲面}}$．它的中心在 $(1， -2， -4)$．它的对称轴是 ${矩阵}\ \ \{\离开开始开始{对齐}x = 1 \ \ y = 2 \ \ z = t + 4。\ _\square \end{aligned} \end{matrix}\right。$

当把平方和不等式联系起来时，我们应该记住<一个href＝"//www.parkandroid.com/wiki/trivial-inequality/" class="wiki_link" title="琐碎的不平等" target="_blank">琐碎的不平等：

对于任何实数 $x$,我们有

$x ^ 2 \组0$

当且仅当 $x = 0$．

让我们看一个简单的例子。

为实数 $x$和 $y$的最小值是多少 $Z = x^2 -2x + y^2 + 4y?$

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在这个表达式中，我们要处理两个变量。一开始，如何接近甚至预测最小值是很困难的。让我们试着通过完成平方来减少项的数量:

$\{对齐}开始z & = x ^ 2 2 x + y ^ 2 + 4 y \ \ & = (x ^ 2 2 x + 1) - 1 + (y y ^ 2 + 4 + 4) - 4 \ \ & = x (1) ^ 2 + (y + 2) ^ 2 - 5所示。结束\{对齐}$

正方形的最小值是 $0$的最小值 $z$是 $0 + 0 - 5 = 5$这个等式是成立的 $x = 1$和 $y = 2$． $_ \广场$

现在，我们来做一个稍微难一点的问题当有更多项的时候。

$f (x, y, z) = 2 8 x ^ 2 + y ^ 2 + 9 z ^ 2 + 4 xy-12yz + 2 x6$

上面的函数对于实数有一个最小值 $x, y, z$．找出最小值，并陈述有序三元组 $(x, y, z)$最小值出现的地方。

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注意这里有产品术语 $xy$和 $yz$．我们可以先试着分解这些。请注意, $y$出现在两种产品和那 $x$有一个单独的术语。因此，我们可以从尝试因数分解开始 $z$．请注意,

$\{对齐}开始9 z ^ 2 & = (3 z) ^ 2 \ \ 12 yz & = 2 (3 z) (2 y)。结束\{对齐}$

从这里，我们可以看到，我们已经有了完成这个平方所需的大部分项。我们错过的是 $(2 y) ^ 2 = 4 y ^ 2$，我们试图获得以下条款:

$\{对齐}开始f (x, y, z) & = 2 x ^ 2 \颜色{# 3 d99f6} {+ 8 y ^ 2} + 9 z ^ 2 + 4 xy-12yz + 2×6 \ \ & = 2 x ^ 2 + 4 xy + 2 x6 \颜色{# 3 d99f6} {+ 4 y ^ 2 + 4 y ^ 2} -12 yz z ^ 2 + 9 \ \ & = 2 x ^ 2 + 4 xy + 2×6 + 4 y ^ 2 + (2 y-3z) ^ 2。\{对齐}结束$

接下来，我们试着做同样的事情 $xy$．请注意,

$\开始{对齐}4 y ^ 2 & = (2 y) ^ 2 \ \ 4 xy = 2 (2 y) (x)。结束\{对齐}$

我们需要的是一个 $x ^ 2$：

$\{对齐}开始f (x, y, z) & = \颜色{# D61F06} {2 x ^ 2} + 4 xy + 2×6 + 4 y ^ 2 + (2 y-3z) ^ 2 \ \ & = 2 x6 \颜色{# D61F06} {+ x ^ 2 + x ^ 2} + 4 xy + 4 y ^ 2 + (2 y-3z) ^ 2 \ \ & = x ^ 2 + 2 x + 1-1-6 + (x + 2 y) ^ 2 + (2 y-3z) ^ 2 \ \ & = (x + 1) ^ 2 + 2 (x + y) ^ 2 + (2 y-3z) ^ 2胜7负。\{对齐}结束$

所有的变量都在方格里。如果3个平方都等于 $0$．因此，我们需要找出是否可以得到所有3个平方 $0$：

$\{对齐}开始x + 1 = 0 & \意味着x = 1 \ \ 2 x + y = 0 & \意味着y = - \ dfrac {x} {2} = \ dfrac {1} {2} \ \ 2 y-3z = 0 & \意味着z = \ dfrac {2 y} {3} = \ dfrac{1}{3}。结束\{对齐}$

我们看到，这确实是可以实现的。因此，我们得到了答案: $f{\ \盒装{文本{分钟}}(x, y, z) = 7}$当 $\盒装{(x, y, z) = \离开(1 \ dfrac {1} {2}, \ dfrac{1}{3} \右)}。$ $_ \广场$

我们将通过几个问题来更深入地理解完成正方形的用处。

证明方程不存在整数解

$x ^ 2 + 2 x + y y ^ 2 + 2 + 2 xy-22 = 0。$

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将得到的表达式因式分解

$\{对齐}开始(x + y) ^ 2 + 2 (x + y) + 1 & = 23 \ \ (x + y + 1) ^ 2 & = 23。结束\{对齐}$

$23$不是正方形，因此就没有整数 $x, y$解决方案。 $_ \广场$

因素 $X ^3 + y^3 + z^3 - 3xyz$．

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这并不是真正的完成正方形，而是完成立方体:

$\{对齐}开始x ^ 3 + y ^ 3 + z ^ 3 - 3 xyz & = \大(x ^ 3 + y ^ 3 \大)+ z ^ 3 - 3 xyz \ \ & = \大(x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 xy ^ 2 + y ^ 3 \大)+ z ^ 3 - 3 xyz - 3 x ^ 2 y - 3 xy ^ 2 \ \ & = (x + y) ^ 3 + z ^ 3 - 3 xyz - 3 x ^ 2 y - 3 xy ^ 2 \ \ & =大(x + y + z) \ [(x + y) ^ 2 + z ^ 2 - z (x + y) \]大- 3 xy (x + y + z) \ \ & = (x + y + z) \大(x ^ 2 + y ^ 2 + 2 xy + z ^ 2 - xz - yz - 3 xy \大)\ \ & = (x + y + z) \大(x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 -Xz - xy - yz\大)。\ _ \广场结束\{对齐}$

如果

$\Delta = begin{vmatrix} a & b & c \\ b & c \\ c & a & b \end{vmatrix} = 0 \quad \text{and} quad a \neq b \neq c，$

找到 $A + b + c。$

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我们有

$\Delta = begin{vmatrix} a & b & c \b & c & a \ c & a & b \end{vmatrix}。$

把第二列和第三列加到第一列

$\开始δ& ={对齐}\ \ {vmatrix}开始a + b + c & b和c \ \ b + c + c & & \ \ c + a + b & & b \结束{vmatrix} \ \ & = (a + b + c) \开始{vmatrix} 1 & b & c \ \ 1 & c & \ \ 1 & & b \ {vmatrix}结束。结束\{对齐}$

从第一行和第二行减去第三行得到

$(a + b + c) \begin{vmatrix} 0 & b-a & c-b \\ 0 & c-a & a-b \\ 1 & a & b \end{vmatrix}。$

乘出

$\开始{对齐}\三角洲& = (a + b + c) \左\ {(c - a) (cb) - (a - b) (b) \右 \} \\ &= ( a + b + c) \大(c ^ 2 - bc - ac + ab - ab + a ^ 2 + ^ 2 - ab \大)\ \ & = (a + b + c) \大(^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - ab - bc - ca \大)。结束\{对齐}$

这就是完成方块的意义所在:

$\开始{对齐}\三角洲& = 0 \ \ \ (a + b + c)大(^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 - ab - bc - ca \大)& = 0 \ \ \ (a + b + c)大(2 ^ 2 + 2 ^ 2 + 2 c ^ 2 - 2 ab -公元前2 - 2 ca \大)& = 0 \ \ (a + b + c)大\ \ {(^ 2 - 2 ab + b ^ 2) +(公元前^ 2 - 2 b + c ^ 2) + (c ^ 2 - 2 ac + c ^ 2)大\ \}& = 0 \ \ (a + b + c)大\ \ {(a - b) ^ 2 + (b - c) ^ 2 + (c - a) ^ 2大\ \}& = 0。结束\{对齐}$

现在, $左\ \ {(a - b) ^ 2 + (b - c) ^ 2 + (c - a) ^ 2 \ \}$不能是0。如果是的话，那就意味着 $A = b = c$．

因此, $A + b + c = 0。\ _ \广场$