完成平方-多个变量
用多个变量完成表达式的平方是一种将表达式操作为完全平方加上某个常数的技术。作为一个例子, 可以写成完整的平方形式为
这种技术在分解表达式、处理二次曲线剖面和求表达式的极大值和极小值时很有用。
简介
让我们来看看是如何做到的 可以分成正方形。
首先,注意这个表达式没有任何乘积项,例如 或 .这意味着我们可以把它分解成单变量多项式的平方,比如
在这种情况下,关键是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/completing-the-square/" class="wiki_link" title="完整的广场" target="_blank">完整的广场分别为每个变量,并组合它们。
让我们来处理 而且 分别如下:
那么,原来的多项式可以写成
如果有产品条款呢?在这种情况下,我们猜测哪些变量需要组合在一起才能得到乘积项并进行相应的操作.
表达 作为平方和。
这里的产品条款包含 而且 .我们可以把多项式写成
至于条款 而且 ,我们有
对于以下条款 而且 ,我们有
现在,我们把它们相加,然后相减 当我们重复计算它的时候,把原来的多项式写成
应用程序——分解
解出 在 ,在那里 .
我们可以用补全平方法:
我们要加上什么才能得到完全平方数? 完全平方的形式是这样的 所以我们需要找到 和广场: 而且 .我们添加 双方:
因素 .
这看起来不可因式分解,但我们可以通过加减法使它可因式分解
因素 .
同样,我们可以通过加减中间项来完成平方 :
可以考虑哪些因素
哪一个最出名<一个t一个rget="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/sophie-germain-identity/">Sophie-Germain身份.
应用-圆锥截面
对于一般的圆锥曲线 我们可以算出这个正方形的所有元素。让我们开始识别圆锥曲线:
- 当 我们有一个椭圆( 而且 有相同的符号但是 ).
- 当 而且 我们有一个圆.
- 当 我们有一个双曲线( 而且 有不同的迹象)。
- 当 我们有一个抛物线(只有一个 而且 是零)。
对于每一个,我们都有不同的形式和元素:
一个圆与中心 和半径 的方程
完成正方形的策略——圆:
- 移动包含 而且 一边是常数项(如果有的话)另一边。
- 方程除以的系数 而且 如果它不等于1。
- 完成方框 而且 .
- 重新排列和识别它的元素。
求出圆锥曲线的所有元素 .
因为系数 而且 都是 我们有一个圆,我们要求它的圆心和半径。我们移动常数项 对另一方:
现在,我们完成了平方 而且 :
最后,我们重新安排:
与圆的方程比较,我们发现 而且 .
一个椭圆与中心 ,半轴 和长半轴 有下面的方程。
- 横向椭圆:
- 垂直椭圆:
完成正方形的策略-椭圆:
- 移动包含 而且 一边是常数项(如果有的话)另一边。
- 因式分解的 和 用公因式表示,用系数等因子表示 .
- 用同样的方法 而且 .
- 完成方框 而且 .
- 简化双方。
- 两边同时除以右边的项。
- 简化了分数。
- 识别所有的元素。
求出圆锥曲线的所有元素 .
因为系数 而且 不同但符号相同,我们有一个椭圆。首先我们把常数项移到右边
接下来,我们分解 和 条款。我们看到的系数 是 所以它是公因式。我们要除以的系数 ,这是 通过 .我们也用同样的方法 而且 :
现在我们完成了这个平方,不要忘记把右边要加的项乘以 而且 :
简化:
两边同时除以 :
最后对分数进行化简,得到椭圆方程的形式:
自 我们有一个水平椭圆 , 和中心 .
一个双曲线与中心 ,半轴 和长半轴 有下面的方程。
- 双曲线水平:
- 垂直双曲线:
完成正方形的策略-双曲线:
这个步骤和椭圆的步骤几乎是一样的,但是我们必须更加小心符号。
求出圆锥曲线的所有元素 .
因为系数 而且 有不同的符号,我们有双曲线。首先我们把常数项移到右边
接下来,我们分解 和 条款。我们看到的系数 是 所以它是公因式。我们要除以的系数 ,这是 通过
用同样的方法 而且 .我们看到的系数 是 这就是公因数。我们要除以的系数 ,这是 通过
现在我们完成了这个平方,不要忘记把右边要加的项乘以 而且 :
简化:
两边同时除以 :
最后对分数进行化简,得到双曲线方程的形式:
我们有一条水平双曲线 , 和中心 .
一个抛物线在顶点 和焦距 方程为:
水平抛物线:
如果 抛物线是向右的;如果 它指向左边。垂直抛物线:
如果 抛物线是向上的;如果 它是直接向下。
完成正方形的策略-抛物线:
- 找出被平方的变量。用公因式将其与线性项进行因式分解,用这个公因式作为平方变量的系数。
- 在squared变量中完成平方。
- 把常数项和没有平方的变量项移到右边。
- 右边再用公因式进行因式分解,用这个公因式作为线性变量的系数。
- 两边同时除以左边平方二项式的系数。
- 识别所有的元素。
求出圆锥曲线的所有元素 .
因为我们有一个 词,但没有 一项是抛物线。首先我们将因式分解 而且 条款。我们看到的系数 是 ,所以它是公因式:
接下来,我们将完成平方 ,不要忘记把右边要加的项乘以 :
接下来,我们将移动 把常数项移到另一边,化简一下
右边因式分解。我们看到的系数 是 ,所以它是公因式:
两边同时除以 :
垂直抛物线开口向上。它的顶点在 它的焦距是 .
应用-二次曲面
我们也可以有三维二次曲线段,简称为二次曲面的表面.给出一个关于的方程 而且 我们可以使用多变量补全平方来识别这些二次曲面的某些特征。
一个椭球体的方程 .
- 所有的痕迹椭圆.(一个跟踪为平面与给定曲面的交点方程。)
- 它的中心在 .
- 如果 ,那么椭球体就是球体。
- 椭球有3个对称轴: 而且
一个椭圆抛物面的方程 .
- 椭圆抛物面的顶点在 .从概念上讲,这类似于二维抛物线的顶点形式。
- 水平轨迹是椭圆,垂直轨迹是抛物线。
- 对称轴是
一个双曲抛物面也就是通常所说的品客薯片 .
双曲抛物面的中心(在本例中为鞍点即所有方向的偏导数都为零,但这个点既不是最大值也不是最小值) .
对称轴是
一个椭圆锥面的方程 .
- “中心”位于 .
- 水平轨迹是椭圆,垂直轨迹是双曲线或直线,这取决于平面的方程。
- 对称轴是
一个单张双曲面看起来像核冷却塔,有方程式 .
- “中心”位于 .
- 水平轨迹为椭圆,垂直轨迹为双曲线。
- 对称轴是
一个两张双曲面看起来像两个镜像椭圆抛物面,有方程 .
- 这两张纸被“镜像”在一起 .
- 水平轨迹时平面平行于 -轴为椭圆,当平面相交于其中一张时。垂直轨迹是双曲线。
- 对称轴是
确定二次曲面及其元素:
我们有
我们可以看到方程是a .它的中心在 .它的对称轴是
应用-极值
当把平方和不等联系起来时,我们应该记住<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trivial-inequality/" class="wiki_link" title="琐碎的不平等" target="_blank">琐碎的不平等:
对于任何实数 ,我们有
平等是当且仅当 .
让我们看一个简单的例子。
为实数 而且 的最小值是多少
在这个表达式中,我们必须处理两个变量。一开始,如何接近甚至预测最小值是很困难的。让我们试着通过完成平方来减少项的数量:
正方形的最小值是 的最小值 是 等式成立的时候 而且 .
现在,我们来试一个稍微难一点的问题当有更多项的时候。
上面的函数对于实数有一个最小值 .找出最小值,并声明有序三元组 最小值出现的地方。
注意这里有乘积术语 而且 .我们可以先把它们因式分解。请注意, 出现在两个产品和那个 有一个单独的项。因此,我们可以先尝试因式分解 .请注意,
从这里,我们可以看到,我们已经有了完成平方所需的大部分项。我们错过的是 ,我们试图得到项:
接下来,我们试着做同样的事情 .请注意,
我们需要的是一个 :
所有的变量都被放在了正方形中。如果3个平方都等于,函数就会最小化 .因此,我们需要找出是否能让这3个平方都是 :
我们看到,这确实是可以实现的。因此,我们得到了答案: 当
解决问题
我们将解决几个问题,以加深对补全平方的理解。
证明该方程没有整数解
把表达式因式分解
不是正方形,因此没有整数 解决方案。
因素 .
这并不是真正完成方块,而是完成立方体:
如果
找到
我们有
把第2列和第3列加到第1列,我们有
从第1行减去第3行得到
乘出
这就是补全方框的意义所在:
现在, 不能是0。如果是的话,那就意味着 .
因此,