封闭式套装据/h1>
相关......据/h4>
- 几何学据/S.pan>>据/S.pan>
在据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑" target="_blank">拓扑据/一种>, 一种据S.trong>关闭集据/S.trong>是一套据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-complement/" class="wiki_link" title="补充" target="_blank">补充据/一种>是据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="打开" target="_blank">打开据/一种>。许多拓扑属性,这些属性在开放套(包括据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-functions/" class="wiki_link" title="连续性" target="_blank">连续性据/一种>)也可以在封闭式集合中定义。在熟悉的一个环境中据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/metric-space/" class="wiki_link" title="公制空间" target="_blank">公制空间据/一种>,封闭式集可以具有几个等效和直观的属性,其中一个如下:关闭集是包含其所有内容的集合据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="边界" target="_blank">边界据/一种>要点。它们可以被认为是实际数字线上的封闭间隔的概括。据/p>
正式定义据/h2>
总之但除了这个Wiki的最后一部分,该设置将是一般的公制空间据S.pan class="katex">
(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>D.据/S.pan>)据/S.pan>。据/S.pan>那些对抽象度量空间不完全舒适的读者可能会想到据S.pan class="katex">
X据/S.pan>作为据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
N.据/S.pan>=据/S.pan>2据/S.pan>要么据S.pan class="katex">
3.据/S.pan>用于具体性,距离功能据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>y据/S.pan>)据/S.pan>作为两点之间的标准欧几里德距离。据/p>
在公制空间中的一个已关闭集据S.pan class="katex">
(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>D.据/S.pan>)据/S.pan>是一个子集据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>的据S.pan class="katex">
X据/S.pan>具有以下酒店:有任何一点据S.pan class="katex">
X据/S.pan>∈据/S.pan>/据/S.pan>Z.据/S.pan>那据/S.pan>有一个球据S.pan class="katex">
B.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>ε.据/S.pan>)据/S.pan>大约据S.pan class="katex">
X据/S.pan>
(据/S.pan>对于一些据/S.pan>ε.据/S.pan>>据/S.pan>0.据/S.pan>)据/S.pan>这是不相交的据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>。据/S.pan>
回想一下据em>球据/em>
B.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>ε.据/S.pan>)据/S.pan>是所有点的集据S.pan class="katex">
y据/S.pan>∈据/S.pan>X据/S.pan>满意据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>y据/S.pan>)据/S.pan>据据/S.pan>ε.据/S.pan>。据/S.pan>打开集的定义明确表示该定义相当于该定义据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-complement/" class="wiki_link" title="补充" target="_blank">补充据/一种>的据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>开了。据/p>
距离和边界点据/h2>
闭合性的替代配方利用距离功能。据/p>
让据S.pan class="katex"> S.据/S.pan>是度量空间的一个子集据S.pan class="katex"> (据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>D.据/S.pan>)据/S.pan>那据/S.pan>然后让据S.pan class="katex"> X据/S.pan>∈据/S.pan>X据/S.pan>是一个点。然后定义据S.pan class="katex-display"> D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>S.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>S.据/S.pan>∈据/S.pan>S.据/S.pan>在据S.pan style="margin-right:0.07778em;">F据/S.pan>D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>S.据/S.pan>)据/S.pan>。据/S.pan>这里据S.pan class="katex"> 在据S.pan style="margin-right:0.07778em;">F据/S.pan>表示这一点据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/infimium/" class="wiki_link" title="最低" target="_blank">最低据/一种>或最大的下限。据/p>
鉴于此定义,闭合集的定义可以如下重新重新重新重新重新重新重新重新格式化:据/p>
一个子集据S.pan class="katex"> Z.据/S.pan>度量空间据S.pan class="katex"> (据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>D.据/S.pan>)据/S.pan>如果只有,如果有任何一点,则关闭据S.pan class="katex"> X据/S.pan>∈据/S.pan>/据/S.pan>Z.据/S.pan>那据/S.pan> D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>Z.据/S.pan>)据/S.pan>>据/S.pan>0.据/S.pan>。据/S.pan>
的确,如果有一个半径球据S.pan class="katex"> ε.据/S.pan>大约据S.pan class="katex"> X据/S.pan>这是不相交的据S.pan class="katex"> Z.据/S.pan>那据/S.pan>然后据S.pan class="katex"> D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>Z.据/S.pan>)据/S.pan>必须至少据S.pan class="katex"> ε.据/S.pan>。据/S.pan>
封闭式集的另一个等价定义如下:据S.pan class="katex"> Z.据/S.pan>如果且仅当它包含其所有边界点时,请关闭。这是关于开放集的互补声明(它们不包含他们的边界点),这被证明据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开放式维基" target="_blank">开放式维基据/一种>。的确,边界点据S.pan class="katex"> Z.据/S.pan>正是有距离的点据S.pan class="katex"> 0.据/S.pan>从两者起来据S.pan class="katex"> Z.据/S.pan>及其补充。据/p>
特性据/h2>
琐碎的封闭套装:据/S.trong>空组和整套据S.pan class="katex">
X据/S.pan>都关闭了。这是因为他们的补充是开放的。据/p>
重要警告:据/S.trong>这两组是既关闭和打开的集合的示例。“关闭”和“打开”不是反义词:设置既不是,它肯定可以设置为既不。例如,半开间隔据S.pan class="katex">
[据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>⊂据/S.pan>R.据/S.pan>既不闭合也不开放。据/p>
工会和十字路口:据/S.trong>这据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="路口" target="_blank">路口据/一种>关闭闭合集的任意集合。这据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/sets-union-and-intersection-easy/" class="wiki_link" title="联盟" target="_blank">联盟据/一种>有限的许多封闭套是关闭的。据/p>
这些属性从相应属性遵循打开的集合。请注意,无限许多封闭集的联合可能无法关闭:据/p>
让据S.pan class="katex">
一世据/S.pan>N.据/S.pan>是封闭的间隔据S.pan class="katex">
[据/S.pan>2据/S.pan>N.据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>1据/S.pan>]据/S.pan>在据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>。据/S.pan>然后据S.pan class="katex">
N.据/S.pan>=据/S.pan>1据/S.pan>⋃据/S.pan>∞据/S.pan>一世据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>0.据/S.pan>那据/S.pan>1据/S.pan>]据/S.pan>那据/S.pan>哪个未关闭,因为它不包含其边界点据S.pan class="katex">
0.据/S.pan>。据/S.pan>
限制点:据/S.trong>一个点据S.pan class="katex">
X据/S.pan>在公制空间据S.pan class="katex">
X据/S.pan>是A.据em>极限点据/em>一个子集据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>如果据S.pan class="katex">
N.据/S.pan>→据/S.pan>∞据/S.pan>林据/S.pan>S.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>对于某些点序列据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>N.据/S.pan>∈据/S.pan>S.据/S.pan>。据/S.pan>以下是关于限制点的两个事实:据/p>
1.一个点据S.pan class="katex">
X据/S.pan>是一个极限点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>如果并且只有当每个打开的球包含其中至少有一个点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>这不是据S.pan class="katex">
X据/S.pan>。据/S.pan> 如果据S.pan class="katex">
X据/S.pan>是一个极限点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>那据/S.pan>这样有一个序列据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>N.据/S.pan>融合到它,然后是任何打开的球据S.pan class="katex">
X据/S.pan>必须包含一些(实际上,但除了许多人之外)据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>N.据/S.pan>。据/S.pan>另一方面,如果有任何打开的球据S.pan class="katex">
X据/S.pan>包含一些点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>不等于据S.pan class="katex">
X据/S.pan>那据/S.pan>然后构建据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>N.据/S.pan>∈据/S.pan>S.据/S.pan>通过服用据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>N.据/S.pan>是一个点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>里面据S.pan class="katex">
B.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>N.据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>。据/S.pan>然后据S.pan class="katex">
N.据/S.pan>→据/S.pan>∞据/S.pan>林据/S.pan>S.据/S.pan>N.据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>因为据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>(据/S.pan>S.据/S.pan>N.据/S.pan>那据/S.pan>X据/S.pan>)据/S.pan>据据/S.pan>N.据/S.pan>1据/S.pan>对全部据S.pan class="katex">
N.据/S.pan>。据/S.pan> 如果据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>关闭了据S.pan class="katex">
X据/S.pan>是一个极限点据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>哪个不在据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>那据/S.pan>然后通过上述讨论,据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>Z.据/S.pan>)据/S.pan>说,是一些积极的数字据S.pan class="katex">
ε.据/S.pan>。据/S.pan>但是有一个序列据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>N.据/S.pan>积分据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>融合到据S.pan class="katex">
X据/S.pan>那据/S.pan>它们如此无限的很多人都在谎言据S.pan class="katex">
B.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>ε.据/S.pan>)据/S.pan>那据/S.pan>即他们到的距离据S.pan class="katex">
X据/S.pan>是据S.pan class="katex">
据据/S.pan>ε.据/S.pan>。据/S.pan>这是一个矛盾。据/p> 另一方面,如果据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>是一个包含其所有限制点,假设的集合据S.pan class="katex">
X据/S.pan>∈据/S.pan>/据/S.pan>Z.据/S.pan>。据/S.pan>然后有一些打开的球据S.pan class="katex">
X据/S.pan>不见面据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>那据/S.pan>通过标准,我们刚刚证明了本定理的上半年。这是补充的条件据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>打开,所以据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>关闭了。据B.r>
考虑度量空间据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>2据/S.pan>配备标准的欧几里德距离据/p>
D.据/S.pan>(据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>那据/S.pan>(据/S.pan>y据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>y据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>1据/S.pan>-据/S.pan>y据/S.pan>1据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>+据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>2据/S.pan>-据/S.pan>y据/S.pan>2据/S.pan>)据/S.pan>2据/S.pan>
。据/S.pan> 以下几个子集中数量据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>⊂据/S.pan>R.据/S.pan>2据/S.pan>在这个公制空间中关闭?据/p>
连续性:据/S.trong>一个功能据S.pan class="katex">
F据/S.pan>:据/S.pan>R.据/S.pan>N.据/S.pan>→据/S.pan>R.据/S.pan>m据/S.pan>是连续的,如果才是据S.pan class="katex">
F据/S.pan>-据/S.pan>1据/S.pan>(据/S.pan>Z.据/S.pan>)据/S.pan>⊂据/S.pan>R.据/S.pan>N.据/S.pan>关闭,适用于所有封闭的集合据S.pan class="katex">
Z.据/S.pan>⊆据/S.pan>R.据/S.pan>m据/S.pan>。据/S.pan>这请直接从开放集的等效标准中进行,这被证明据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="开放集Wiki." target="_blank">开放集Wiki.据/一种>。据/p>
请注意,这些最近两个属性使方法提供了更多抽象的限制和连续性的概念,而无需使用距离功能。在摘要中据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/topology/" class="wiki_link" title="拓扑空间" target="_blank">拓扑空间据/一种>,限制点由上面的1中的标准定义(用“打开球”替换为“打开集”),并且可以将连续功能定义为函数,使得封闭集的预测关闭。据/p>
2.度量空间的子集据S.pan class="katex">
X据/S.pan>如果且仅当它包含其所有限制点时才关闭。据/p>
关闭据/h2>
这据S.trong>关闭据/S.trong>
S.据/S.pan>一套据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>被定义为包含最小的封闭集据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>。据/S.pan>以下是一些属性,所有这些都是简单的证明:据/p>
S.据/S.pan>等于所有封闭套的交叉点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>。据/S.pan>
S.据/S.pan>如果它仅在其关闭时关闭。据/p> 如果据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>C据/S.pan>表示补充据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>那据/S.pan>然后据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>=据/S.pan>(据/S.pan>㈡据/S.pan>(据/S.pan>S.据/S.pan>C据/S.pan>)据/S.pan>)据/S.pan>C据/S.pan>那据/S.pan>在哪里据S.pan class="katex">
㈡据/S.pan>表示这一点据一种href="//www.parkandroid.com/wiki/open-sets/" class="wiki_link" title="内部的" target="_blank">内部的据/一种>。据/p>
S.据/S.pan>是联盟据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>及其边界。据/p>
S.据/S.pan>等于限制点据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>。据/S.pan>
S.据/S.pan>等于一组点据S.pan class="katex">
X据/S.pan>这样据S.pan class="katex">
D.据/S.pan>(据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>S.据/S.pan>)据/S.pan>=据/S.pan>0.据/S.pan>。据/S.pan> 关闭间隔据S.pan class="katex">
(据/S.pan>一种据/S.pan>那据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>⊆据/S.pan>R.据/S.pan>是据S.pan class="katex">
[据/S.pan>一种据/S.pan>那据/S.pan>B.据/S.pan>]据/S.pan>。据/S.pan>这也等于关闭据S.pan class="katex">
(据/S.pan>一种据/S.pan>那据/S.pan>B.据/S.pan>]据/S.pan>那据/S.pan>[据/S.pan>一种据/S.pan>那据/S.pan>B.据/S.pan>)据/S.pan>那据/S.pan>和据S.pan class="katex">
[据/S.pan>一种据/S.pan>那据/S.pan>B.据/S.pan>]据/S.pan>。据/S.pan>
什么是套装的关闭据S.pan class="katex">
问:据/S.pan>有理数据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>(与欧几里德距离度量)?据/p>
每个实数都是限制点据S.pan class="katex">
问:据/S.pan>那据/S.pan>因为我们可以始终找到一系列Rational数字,会聚到任何实数。这样做的一种方法是通过截断十进制扩展:例如,显示据S.pan class="katex">
π据/S.pan>是一个极限点据S.pan class="katex">
问:据/S.pan>那据/S.pan>考虑序列据S.pan class="katex">
3.据/S.pan>那据/S.pan>3.据/S.pan>。据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>3.据/S.pan>。据/S.pan>1据/S.pan>4.据/S.pan>那据/S.pan>3.据/S.pan>。据/S.pan>1据/S.pan>4.据/S.pan>1据/S.pan>那据/S.pan>3.据/S.pan>。据/S.pan>1据/S.pan>4.据/S.pan>1据/S.pan>5.据/S.pan>那据/S.pan>......据/S.pan>有理数。这个序列明显收敛到据S.pan class="katex">
π据/S.pan>。据/S.pan>所以关闭据S.pan class="katex">
问:据/S.pan>里面据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>是据S.pan class="katex">
R.据/S.pan>。据/S.pan>
以下是关于关闭的三个陈述据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>一套据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>在公制空间内据S.pan class="katex">
X据/S.pan>。据/S.pan> 我让据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>是子集据S.pan class="katex">
X据/S.pan>。据/S.pan>然后据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>∩据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>S.据/S.pan>∩据/S.pan>T.据/S.pan>。据/S.pan> 哪些陈述是真的?据/p>
II。让据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>那据/S.pan>T.据/S.pan>是子集据S.pan class="katex">
X据/S.pan>。据/S.pan>然后据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>∪据/S.pan>T.据/S.pan>=据/S.pan>S.据/S.pan>∪据/S.pan>T.据/S.pan>。据/S.pan>
III。如果据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>那据/S.pan>然后据S.pan class="katex">
S.据/S.pan>=据/S.pan>X据/S.pan>。据/S.pan>