圈

一个圆圈是一个圆形平面图形，其边界（称为圆周）与其中心等距。这是本文研究的基本对象几何学．

为了描述物体的形状，我们给物体适当的尺寸。例如，一个矩形可以用它的高度和宽度来描述。

矩形

很难描述三角形的形状，因为我们需要三条边的所有长度( $a、b$和 $c$）.

三角

对于圆来说，这要容易得多，因为我们只需要它的半径或直径来描述它的几何形状。

圆

那么，圆的半径和直径是多少？它们的概念在圆形几何中非常重要，所以让我们回顾一下术语。

的半径圆的距离是圆心到圆周上任何一点的距离。 $_\方格$

的直径圆圈是圆圈上一个点开始的线的长度，通过中心并在圆形相对侧的另一个点上结束。它也称为圆圈中最长的和弦。

半径 $r$和直径 $d$相互关联

$d = 2r。$

圆的周长的公式是

$d = 2 r，$

哪里 $d=\text{（圆的直径）}，$ $R =\text{(圆的半径)}，$和 $\ PI.$是数学常数，”圆周率．"

第一 $10$数字的数字 $\ PI.$是 $3.14159265...$，但任何有限的数字列表只能是的近似值 $\ PI.$. 此外,， $\ PI.$，（写“pi”，读作“pie”），是无理数．(这意味着它不能可以用整数的任意比例来描述， $\ frac {a} {b}$．）

有关该常数的更多信息， $\ PI.$，查看 $\ PI.$wiki页面．

的区域有半径的圆 $r$是 $\ pi r ^ 2$． $_\方格$

然后重新排列它们进入弯曲的平行四边形。

观察平行四边形的面积是 $黑洞。$然后，重新排列的圆的“底”是周长的一半，等于 $\皮尔，$高度等于半径本身。

因此，圆的面积等于

$a =（\ pi r）（r）= \ pi r ^ {2}。$

圆的面积是多少？ $啊,，$如果是圈子 $O$半径为 $12?$

---

半径的圆形区域 $r = 12$是 $r^2= 12^2 = 144 \\ _ \广场$

圆的面积是多少？ $啊,，$如果是圈子 $O$直径为 $16?$

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圆的半径是 $8$．因此，该地区是 $\ pi \ times8 ^ 2 = 64 \ pi。\ _ \广场$

圆的面积是多少？ $啊,，$如果是圈子 $O$有一个圆周 $36 \π吗?$

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具有半径的圆的周长 $r$是 $2 \πr。$对于这个问题,， $2\pi r=36\pi，$所以 $r = 18。$因此，圆的面积是 $r^2= 18^2 = 324。\ _ \广场$

圆的一半被称为半圆。什么是半圆的面积 $D,$如果整个圆 $O$半径为 $10?$

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带半径的圆的面积 $r = 10.$是 $r^2=乘以10^2 = 100。$因此，半圆的面积为 $\分形{1}{2}\乘以100\pi=50\pi.\_\广场$

圆的一半被称为半圆。什么是半圆的面积 $D,$如果整个圆 $O$直径为 $14?$

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直径圆的区域 $d = 14.$是 $\pi\left（\frac{d}{2}\right）^2=\pi\times 7^2=49\pi。$因此，半圆的面积为 $frac{1}{2} * 49\pi = frac{49}{2}\pi。\ _ \广场$

圆的一半被称为半圆。什么是半圆的面积 $D,$如果 $D$有一个圆周 $2\pi+4？$

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半圆的圆周是圆周的直径和一半。如果圆的半径是 $R$半圆的周长是 $2r+\frac{1}{2}（2\pir）=2r+\pir=4+2\pi，$所以 $r = 2。$

因此，半圆区域具有半径 $r=2$是 $\分形{1}{2}\times\pi r^2=2\pi.\_\广场$

圆的弧长是弯曲部分的长度。一个完整圆的弧长是它的周长，但是扇形（圆的碎片）的弧长呢？它们是通过一个公式计算出来的 $S = r \θ,$哪里 $年代$是弧长， $r$是圆的半径，和 $\θ$是扇区的角度。

注意:角度的单位应该是弧度。

一个中心角度圆的半径是一个角度，其顶点是圆的中心，边是圆的半径。

例如，在上图中， $\角AOB$圆心角是形成弧的吗 $\ stackrel \皱眉{AB}$. 如果 $\角度aob = 60 ^ \ cir，$我们称之为 $\stackrel\皱眉{AB}=60^\circ$．

• 两个相等的弧由两个相等的中心角构成。

• 在两个弧中，较长的弧由较大的中心角形成。

• 如果圆心角是 $180 ^ \ circ = \ pi$，由此角度形成的弧为周长的一半。如果中心角为 $360^\circ=2\pi$，由该角度形成的弧就是整个圆周。 $_\方格$

一个圆周角是一个角度，其顶点是圆周长上的一个点，其边是穿过顶点的圆的弦。

在图表中， $\角度acb.$和 $\角度adb.$均刻有形成弧的角度 $\ stackrel \皱眉{AB}$．

• 内接角的大小是形成相同圆弧的中心角大小的一半。

• 形成相同圆弧或形成两个相等圆弧的两个内接角相等。

• 如果两个内接角相等，则它们形成的弧相等。

• 在两个铭刻角度中，较大的形式形成较长的弧形。 $_\方格$

平行线一个gleBisector

上图显示了两个弦相交的圆。两条弦通过交点分别切割成两段。一根弦被切割成两条线段，每条线段的长度相同 $一个$和 $b,$另一个分成两段，每段长度 $c$和 $d。$

的相交弦定理说明上图中的两个和弦满足 $a\乘以b=c\乘以d。$因此 $a\b倍$总是等于 $c\d倍$无论两个和弦在圆内的交点在哪里。

发现价值 $x$在下图。

平行线一个gleBisector

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根据相交弦定理，我们得到 $\begin{aligned} 3 \times x &= 4 \times 6 \\ x &= 8。\ \ _ \广场结束{对齐}$

发现价值 $x$在下图。

平行线一个gleBisector

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根据交弦定理 $\begin{align} 10 \times (x+4) &= 15 \times (x+1) \\ 10x+40 &= 15x+15 \\ 5x &= 25 \\ x &= 5。\ \ _ \广场结束{对齐}$

下图中某些线段的长度为

$$ $\lvert\overline{AC}\rvert=2、\lvert\overline{CD}\rvert=3、\lvert\overline{DE}\rvert=6。$ $$

如果 $\lvert \overline{CE} \rvert = 3\cdot \lvert \overline{AC} \rvert，$然后是什么 $\ ltvert \ overline {ab} \ rfter？$

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自从 $\lvert \overline{CE} \rvert = 3\cdot \lvert \overline{AC} \rvert，$我们有 $\ begin {对齐} \ ltvert \ overline {ce} \ rfter＆= 3 \ times \ ltvert \ overline {ac} \ rvert \\＆= 3 \ times 2 \\＆= 6. \ end {aligned}$

根据交叉和弦定理，我们有 $\开始{aligned}\lvert\overline{AC}\rvert\times\lvert\overline{CE}\rvert&=\lvert\overline{CD}\rvert\times\lvert\overline{BC}\rvert\\2\times 6&=3\lvert\overline{BC}\rvert\\ lvert\overline{BC}\rvert&=4。\end{aligned}$

现在观察到 $\角度ACB=\角度DCE，$和 $\begin{aligned} \lvert \overline {AC} \rvert: \lvert \overline {CD} \rvert &= 2: 3 \\ \lvert \overline {BC} \rvert: \lvert \overline {CE} \rvert &= 4: 6 = 2:3， \end{aligned}$这意味着三角形 $\三角形ACB$和 $DCE \三角形$与SAS相似，比率为2:3。

因此，如果我们让 $x = \ ltvert \ overline {ab} \ rfter，$然后 $\开始{aligned}x:\lvert\overline{DE}\rvert&=2:3\\x:6&=2:3\\x&=\frac{12}{3}=4。\end{aligned}$

因此， $\lvert \overline{AB} \rvert =4。\ _ \广场$

在下图中， $\ overline {ab}$是一个半径4圈子的和弦的和弦 $O。$如果直线段 $\ overline {oc}$和 $\ overline {ab}$彼此分解，什么是长度 $\上划线{AB}？$

$$平行线一个gleBisector

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平行线一个gleBisector

让 $D$是圆上的点，其中 $\眉题{有限公司}$通过。然后，由于圆的半径为4，且两个弦彼此平分，因此 $\眉题{厘米}$和 $\眉题{DM}$是 $\begin{aligned} \lvert \overline {CM} \rvert &= 4 \times \frac{1}{2} = 2 \\ \lvert \overline {DM} \rvert &= 4 + 2 = 6。结束\{对齐}$

根据交弦定理 $\begin{aligned} \lvert \overline{AM} \rvert \times \lvert \overline{BM} \rvert &= \lvert \overline{CM} \rvert \times \lvert \overline{DM} \rvert \\ lvert \overline{AM} \rvert \times \lvert \overline{BM} \rvert &= 2 \times 6 = 12。结束\{对齐}$

自从 $\ ltvert \ overline {am} \ rfter = \ ltvert \ overline {bm} \ rfter，$我们知道 $\ begin {alpioned} \ ltvert \ overline {am} \ rvert \ times \ ltvert \ overline {bm} \ rfter＆= 12 \\ \ ltvert \ overline {am} \ rvert ^ 2＆= 12 \ rftline {am} \ rfter＆= 2 \ sqrt {3}。结束\{对齐}$

因此，我们的答案是 $\lvert\overline{AB}\rvert=2\cdot\lvert\overline{AM}\rvert=2\cdot 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.\u\广场$

一个圆扇形是一个闭合图形，由圆的两个半径和圆的圆弧限定。扇形角 $\θ$和半径 $r$如图所示。

$\ hspace {5cm}$部门在圆

如果角度 $\θ$是度数，那么扇区面积是 $\dfrac{\theta}{360^{\circ}$在这个圈子里。因为圆的面积是 $\ pi r ^ 2$，行业领域是

$\ dfrac {\ theta} {360 ^ {\ circ}} \ times \ pi r ^ 2。$

如果 $\θ$以弧度为单位，则扇区的面积为 $\ dfrac{\θ}{2 \π}$圈子，因此部门面积是

$\dfrac{\theta}{2\pi}\times\pi r^2=\dfrac{1}{2}r^2\theta。$

一个部门有半径 $12 \文本{厘米}$和角度 $60 ^ \ circ$．找到它的面积。

---

$\ begin {对齐} \ text {（区域）}＆= \ frac {60 ^ \ cir} {360 ^ \ cir} \ times \ pi \ times 12 ^ 2 \\＆= \ frac {π\ times144} {\\＆\左右75.4 \ \ left（\ text {cm} ^ 2 \右）。\_ \ square \结束{对齐}$

一个部门有一个区域 $10 \π\文本{mm} ^ 2$和角度 $\dfrac{\pi}{5}$. 找到它的半径。

---

我们有 $文本\开始{对齐}\{(地区)}& = \压裂{1}{2}10 r ^ 2θ\ \ \ \π& = \ dfrac {1} {2} r ^ 2 \ \ dfrac{\π}{5}\ \ r ^ 2 & = 100 \ \离开文本(\ {mm} ^ 2 \右)。结束\{对齐}$

因此 $r = 10 \ text {mm}$． $_\方格$

以下是我们对上图的了解:

• $德$大圆的直径和半径是一致的吗 $R$所以 $de = 2r。$
• 两个中等大小的圆的半径相等 $r$并且都是相切的 $德$然后是大圆圈。
• 小圆有半径 $一个$和其他三个圆相切。

现在，我们该如何表达 $一个$而言, $R$

注意 $ab = r - a$和 $r r = \压裂{}2。$然后是三角形 $美国广播公司、$我们有

$\{对齐}开始(+ r) ^ 2 & = r ^ 2 + (r - a) ^ 2 \ \ (+ r) ^ 2 & = r ^ 2 + (2 r - a) ^ 2 \ \ \不是{^ 2}+ \ {r ^ 2} + 2 ar & = \不是{r ^ 2} + 4 r ^ 2 + \不是{^ 2}- 4基于“增大化现实”技术\ \ 4 r ^{\不是{2}}& = 6 \不是{r} \ \ \ Rightarrow & = \压裂{4}{6}r = \压裂{2}{3}\ cdot \压裂{r} 2 = \压裂{r}{3}。结束\{对齐}$

假设我们现在有一个更小的圆圈 $德，$大圆圈，上部圆形圆圈，如下所示。你能证明这个新圆的半径是 $R \压裂{}4 ?$