契比雪夫公式

在工程计算中，经常使用切比雪夫近似积分公式。

让它被要求去计算 $\displaystyle \int _{a}^{b}{f(x)dx}$．

用拉格朗日插值多项式替换被积函数 $P (x)$并采取一定的 $n$函数在区间上的值 $(一个。b］：\ f(x_{1}), \ f(x_{2}), ..., \ f(x_{n}),$在哪里 $间间的{1},{2},…间{n}$有区间上的点吗 $[a, b]:$

$\{对齐}开始P (x) = \压裂{(x -间的{2})(x -间{3})\ cdots (x -间{n})}{(间的{1}-间的{2})(间的{1}-间{3})\ cdots(间的{1}-间{n})} f(间的{1})& + \压裂{(x -间的{2})(x -间{3})\ cdots (x -间{n})}{(间的{2}-间的{1})(间的{2}-间{3})\ cdots(间的{2}-间{n})} f(间){2}\ \ \ \ & + \ cdots + \压裂{(x -间的{2})(x -间{3})\ cdots (x -间{n})}{(间{n} -间的{1})(间{n} -间的{2})\ cdots(间{n} -间{n})} f(间{n})。&&&结束(1)\{对齐}$

得到积分的近似公式如下:

$\ int _{一}^ {b} {f (x) dx} \大约\ int _{一}^ {b} {P (x) dx}。\ qquad \ qquad (2)$

经过一些计算，它得到了这个形式

$\ int _{一}^ {b} {f (x) dx} \大约C_ {1} f(间的{1})+ C_ {2} f(间的{2})+ \ cdots + C_ {n} f(间{n}), \ qquad \ qquad (3)$

的系数 $C_{我}$是按公式计算的吗

$C_{我}= \ int_{一}^ {b}{\压裂{(x -间的{1})\ cdots (x -间张{})(x -间{i + 1}) \ cdots (x -间{n})}{(间{我}-间的{1})\ cdots(间{我}-间张{})(间{我}-间{i + 1}) \ cdots(间{我}-间{n})}} \, dx。\ qquad \ qquad (4)$

式(3)由于系数较大，计算繁琐，不方便 $C_{我}$用复分数表示。

切比雪夫提出了相反的问题:不要指定横切 $间间的{1},{2},…间{n}$但系数 $C_ C_{1},{2},…, C_ {n}$然后确定横坐标 $间间的{1},{2},…间{n}$．

系数 $C_{我}$，使式(3)的计算尽可能简单。这将发生在所有系数 $C_{我}$是相等的:

$C_{1} = C_{2} = \cdots = C_{n}。$

如果我们表示系数的总和 $C_ C_{1},{2},…, C_ {n}$通过 $C_ {n}$，式(3)即为

$\ int _{一}^ {b} {f (x) dx} \大约C_ {n} \大(f(间的{1})+ f(间的{2})+ \ cdots + f(间{n}) \]大。\ qquad \ qquad (5)$

式(5)一般来说是an近似方程,但如果 $f (x)$次的多项式是否不大于 $n - 1,$那么方程将是确切的．这种情况允许确定数量 $C_{n}， x_{1}， x_{2}，…间{n}$．

为了得到便于任何积分区间的公式，让我们变换积分区间 $[a, b]$的时间间隔 $[1]。$要做到这一点，放

$X = \frac{a+b}{2} + \frac{b-a}{2}t，$

然后 $t = 1$我们将会有 $x =,$和 $t = 1,$ $x = b。$

因此,

$\ int_{一}^ {b} {f (x) \, dx} = \ \ int_压裂{b} {2} {1} ^ {1} {f \离开(\压裂{a + b}{2} + \压裂{b} {2} t \) \, dt} = \ \ int_压裂{b}{2}{1} ^{1}{\φ(t) \, dt},$

在哪里 $\φ(t)$的函数。t在积分号下面。因此，对给定函数积分的问题 $f (x)$的时间间隔 $[a, b]$总能简化成对其他函数的积分吗 $\φ(x)$的时间间隔 $[1]。$

总而言之，问题已经归结为公式中的选择

$\ int _ {1} ^ {1} {f (x) \, dx} = C_ {n} \大(f(间的{1})+ f(间的{2})+ \ cdots + f(间{n}) \]大\ qquad \ qquad (6)$

这些数字 $C_{n}， x_{1}， x_{2}，…间{n}$所以这个公式对任何函数都是恰当的 $f (x)$的形式

$f (x) =现代{0}+现代x +现代{1}{2}x ^ {2} + \ cdots +现代x ^ {n} {n}。\ qquad \ qquad (7)$

大家会注意到

$\开始{对齐}\ int_ {1} ^ {1} {f (x) \, dx} & = \ int_{1} ^{1}{\大(现代{0}+现代{1}x +现代x ^ {2} {2} + \ cdots +现代x ^ {n} {n} \大)\,dx} \ \ \ \ & = \开始{病例}2 \离开(现代{0}+ \压裂{现代{2}}{3}+ \压裂{现代{4}},{5}+ \压裂{现代{6}}{7}+ \ cdots + \压裂{现代{n}} {n} \右)文本{如果}\ \ \ n \文本{是奇数}\ \ \ \ 2 \离开(现代{0}+ \压裂{现代{2}}{3}+ \ cdots + \压裂{现代{n}} {n} \右)文本{如果}\ \ \ n \{甚至文本。\结束{cases}\qquad \qquad(8) \结束{aligned}$

另一方面，在(7)的基础上，(6)右边的和将等于

$C_ {n} \[大na_{0} +现代{1}(间的{1}+间的{1}+ \ cdots +间{n}) +现代{2}\大({x} _ {1} ^ {2} + {x} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {x} _ {n} ^{2} \大)+ \ cdots +现代{n} \大({x} _ {1} ^ {n} + {x} _ {2} ^ {n} + \ cdots + {x} _ {n} ^ {n} \大)\]大。\ qquad \ qquad (9)$

将式(8)和式(9)相等，我们得到一个对任何方程都成立的方程 $A_ {0}， A_ {1}， A_ {2}， A_{3}，…,现代{n}:$

$2 \离开(现代{0}+ \压裂{现代{2}}{3}+ \压裂{现代{4}},{5}+ \压裂{现代{6}}{7}+ \ cdots + \压裂{现代{n}} {n} \右)= C_ {n} \大[na_{0} +现代{1}(间的{1}+间的{1}+ \ cdots +间{n}) +现代{2}\大({x} _ {1} ^ {2} + {x} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {x} _ {n} ^{2} \大)+ \ cdots +现代{n} \大({x} _ {1} ^ {n} + {x} _ {2} ^ {n} + \ cdots + {x} _ {n} ^ {n} \大)\]大。$

使的系数相等 $A_ {0}， A_ {1}， A_ {2}， A_{3}，…,现代{n}$在等式的左边和右边:

$\开始{病例}2 = C_ {n}{或}\ n \四\文本四C_ {n} = \压裂{2}{n} \ \ \ \间的{1}+间的{1}+ \ cdots +间{n} = 0 \ \ \ \ {x} _ {1} ^ {2} + {x} _ {2} ^ {2} + \ cdots + {x} _ {n} ^{2} = \压裂{2}{3 C_ {n}} = \压裂{n} {3 } \\\\ { x} _ {1} ^ {3} + {x} _ {2} ^ {3} + \ cdots + {x} _ {n} ^ {3} = 0 \ \ \ \ {x} _ {1} ^ {4} + {x} _ {2} ^ {4} + \ cdots + {x} _ {n} ^{4} = \压裂{2}{5 c_ {n}} = \压裂{n} {5} \ \ \ \ \ cdots \ cdots \{病例}\ qquad \ qquad结束(10)$

从这些 $n - 1$方程，我们找到横坐标 $间间的{1},{2},…间{n}$．切比雪夫发现了这些解的不同值 $n。$下面的解是他发现的，当中间点的数量 $N$等于3 4 5 6 7 9

因此，在区间上 $[1],$一个积分可以用下列方法近似表示切比雪夫公式：

$\ int_ {1} ^ {1} f (x) \, dx = \压裂{2}{n} \大(f(间的{1})+ f(间的{2})+ \ cdots + f(间{n}) \]大,$

在哪里 $n$是3 4 5 6 7 9和中的一个吗 $间的{1},……间{n}$表中给出的数字。在这里, $n$不能是8或超过9的任何数字，因为这样方程组(10)就会产生虚根。

当给定的积分有积分极限时 $一个$而且 $b,$切比雪夫公式的形式

$\ int_{一}^ {b} {f (x) \, dx} =大\压裂{b} {n} \ [f(间的{1})+ f(间的{2})+ \ cdots + f(间{n}) \]大,$

在哪里 $间的{}= \压裂{b +}{2} + \压裂{b}{2}间{我}$为 $我= 1,2,……n$而且 $间{我}$具有表中给出的值。

评估 $\ displaystyle {\ int_{1} ^{2}}{\压裂{dx} {x}} = \ ln(2)。$

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首先，通过换变量，将这个积分转化为积分限为-1到1的新积分:

${对齐}x = \ \开始压裂{1 + 2}{2}+ \压裂{2}{2}t \ \ & = \压裂{3}{2}+ \压裂{t}{2} \ \ & = \压裂{3 + t} {2} \ \ \ \ \ Rightarrow dx & = \压裂{dt}{2}。结束\{对齐}$

然后

$\ int_{1} ^{2}{\压裂{dx} {x}} = \ int_{1} ^{1}{\压裂{dt} {3 + t}}。$

用切比雪夫公式计算后一个积分，取 $n = 3:$

$\ int_ {1} ^ {1} {f (t) \, dt} = \压裂{2}{3}大\ [(0.707107)+ f (0) + f大(-0.707107)\]。$

自

$\{对齐}开始f(0.707107) & = \压裂{1}{3 + 0.7070107}\ \ & = \压裂{1}{3.707107}\ \ & = 0.269752 \ \ \ \ f(0) & = \压裂{1}{3 + 0}\ \ & = 0.333333 \ \ \ \ f(-0.707107) & = \压裂{1}{3 - 0.7070107}\ \ & = \压裂{1}{2.292893}\ \ & = 0.436130 \{对齐}结束$

我们有

${对齐}\ \开始int_{1} ^{1}{\压裂{dt} {3 + t}} & = \压裂{2}{3}(0.269752 + 0.333333 + 0.436130)\ \ & = \压裂{2}{3}\ * 0.692810 \ \ 1.039215 \ \ & = & \大约\盒装{0.693 \ = \ ln(2)}。\ \ _ \广场结束{对齐}$