切比雪夫多项式的定义和性质

的切比雪夫多项式是相关的正交多项式序列吗De Moivre的公式．它们有许多性质，这使它们在解决多项式和逼近函数等领域很有用。

的 $n ^ \文本{th}$第一类切比雪夫多项式,用 $T_n (x)$，定义为

$T_n (x) = \cos左(n \cos^{-1} x右)，$

或者同样的

$T_n (\cos \) = \cos n \。\ _ \广场$

因为我们知道 $\begin{= 1\\ \cos 1\ &= \cos \cos 2 \ &= 2 \cos^2 \cos - 1\\ \cos 3 \ &= 4 \cos^3 \cos - 3 \cos \theta， \end{对齐}$我们可以得出结论 $\{对齐}开始T_0 (x) & = 1 \ \ T_1 (x) & = x \ \ T_2 (x) & = 2 x ^ 2 - 1 \ \ T_3 (x) & = 4 x ^ 3 - 3 x。结束\{对齐}$

找到 $T_4 (x)$以上。

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找到 $T_4 (x)$，我们可以等价地找到一个函数 $\因为4 \θ$而言, $\θ$．

用余弦和公式，我们得到

$\ cos4 \theta = \cos\theta\cos3\theta - \sin\theta\sin 3\theta$

回想一下, $\sin 3\ = 3\sin - 4\sin^3\$．然后

$\开始{对齐}\cos\ cos3\ cos3\ sin\ sin 3\ &=\cos\ left(4\cos^3\theta - 3\cos\theta右)- 3\sin^2\theta - 4\sin^4\ sin^4\ sin^4\ sin^4\ cos^4\theta - 3\cos^2\theta +3\left(1-\cos^2\theta右)- 4\left(1-\cos^2\theta右)^2\\ &= 8\cos^4\theta - 8\cos^2\theta + 1)结束\{对齐}$

因此, $T_4 (x) = 8 x ^ 4-8x ^ 2 + 1。\ _ \广场$

找到 $T_5 (x)$以上。

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找到 $T_5 (x)$，我们可以，就像在前面的例子中，找到一个函数 $5 \ \ cosθ$而言, $\θ$．

再次使用余弦和公式，我们得到 $\cos 5\ = \cos\ cos4\ - \sin\ sin 4\$但是我们必须替换 $\ cos4 \θ$与 $8 \因为^ 4 \ theta-8 \ cos ^ 2 \θ+ 1,$然后手工计算 $\罪4 \θ,$然后……

算了吧。这正在变成一场无望的狂欢;我们这么做不是为了 $T_6 (x)$或 $T_7 (x)$，我们肯定不能轻易地将其概括为 $T_n (x)$．我们总是可以使用德·莫伊夫的公式，但计算也非常广泛。

要是有更简单的方法就好了…… $_ \广场$

我们如何得到一个更一般的公式?在回答上一个问题时，大多数人都试图扩张

$\cos (n+1) \ = \cos n \cos \ - \sin n \sin \$

我们可以很容易地把前两项转化成 $T_n$的形式。然而，这种方法的问题是 $sin n \sin \sin$不容易处理，(目前)将需要进一步扩大。

相反，我们将使用事实(从三角和和积公式)

$\cos (n +1) \cos (n-1) \ = 2 \cos \cos \cos n \$

这就得到了递归关系:

$T_{n+1} (x) = 2x T_n (x) - T_{n-1} (x).\ _\平方$

的初值表如下所示 $T_ {n} (x)识别$：

$\{对齐}开始T_0 (x) & = 1 \ \ T_1 (x) & = x \ \ T_2 (x) & = 2 x ^ 2 - 1 \ \ T_3 (x) & = 4 x ^ 3 - 3 x \ \ T_4 (x) & = 8 x ^ 4 - 8 x ^ 2 + 1 \ \ T_5 (x) & = 16 x 5 - 20 x ^ 3 + 5 ^ \ \ T_6 (x) & = 32 x ^ 6 - 48 x ^ 4 + 18 x ^ 2 - 1 \ \ T_7 (x) & = 64 x ^ 7 - 112 x ^ 5 + 56 x ^ 3 - 7 x \ \ T_8 (x) & = 8 - 256 x 128 x ^ ^ 6 + 160 x ^ 4 - 32 x ^ 2 + 1 \ \ T_9 (x) & = 256 x ^ 9 - 576 x ^ 7 + 5 - 120 x 432 x ^ ^ 3 + 9 x。\ \ T_{10}识别(x) & = 512 x ^ {10} - 1280 x ^ 8 + 1120 x ^ 6 - 400 x ^ 4 + 50 x ^ 2 - 1。\ \ \{对齐}结束$

我们可以对这些系数作如下推测:

1. 系数是整数。
2. 常数项是 $(1) ^ k$为 $n = 2 k$和0 $n = 2 k + 1$．
3. 领先的一项是 $2 ^ {n}$．
4. 线性项的 $T_ {2 n + 1} (x)识别$是 $(1) ^ {n} (2 n + 1)$．
5. 非零项的指数宇称相同 $n$．
6. 系数的和是1。
7. 非零系数以符号交替。
8. 的系数 $x ^ 2$术语 $T_ {2 k} (x)识别$是 $(1) ^ {k + 1} 2 k ^ 2$．
9. 系数绝对值的和是 $\压裂{1}{2}\离开(1 + \ sqrt{2} \右)^ n + \压裂{1}{2}\离开(1 - \ sqrt{2} \右)^ n$．
10. 的根源 $T_n$是 $左(\ \因为\ dfrac {(2 k + 1) \π}{2 n} \右),$在哪里 $k \ \ mathbb {Z}$．

我们将证明其中一些猜想。剩下的作为练习留给读者。

证明猜想2。

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我们将用归纳法证明它。首先，在两个基本情况中，我们看到 $T_0 (x) = 1$而且 $T_1 (x) = x$，满足常数项是 $(1) ^ 0$而且 $0$,分别。现在我们必须证明它 $T_n (x)$系数为 $0$如果 $n = 2 k + 1$而且 $(1) ^ k$如果 $n = 2 k$,然后 $T_ {n + 1} (x)识别$也满足这个。

注意，常数项可以通过代入来计算 $x = 0$．的递归关系中这样做的 $T_n (x)$给了 $T_ {n + 1}识别(0)= 2 \ * 0 \ * T_n (0) -T_ {n} (0) = -T_ {n}(0)。$

这意味着如果 $T_ {2 k}识别(0)= (1)^ k$,然后 $T_ {2 k + 2}识别(0)= (1)^ {k + 1}$；同样,如果 $T_ {2 k + 1}识别(0)= 0$,然后 $T_ {2 k + 3}识别(0)= 0$，完成归纳。 $_ \广场$

证明猜想6。

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的系数之和 $T_n (x)$只是 $T_n (1)$．回忆, $T_n (\ cosθ\)= \因为n \θ$，我们知道我们想求值 $\ n \因为θ$当 $\ \因为θ= 1$．但这也意味着 $\θ= 0$,所以 $\cos n\ =\cos 0 = 1$．

因此, $T_n (1) = 1$做完了。 $_ \广场$

证明猜想10。

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我们渴望找到根源 $x$的 $T_n (x) = 0$．

替换 $x = \ cosθ$，我们想要找到根 $T_n(\因为\θ)= \因为n \θ= 0。$

这发生在 $n \θ= \ dfrac{\π}{2}+ k \π$为 $k \ \ mathbb {Z}$．

因此, $\θ= \ dfrac{\π}{2 n} + \ dfrac {k \π}{n} = \ dfrac {(2 k + 1) \π}{2 n}。$

但这也意味着 $x = \ cosθ= \ \因为\离开(\ dfrac {(2 k + 1) \π}{2 n} \右),$我们做完了。 $_ \广场$

表明,如果 $r$有理数是这样的吗 $\cos (r \pi)$是理性的,那么 $\cos (r \pi) \in \{0， \pm \frac{1}{2}， \pm 1 \}$．

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因为我们有一个函数 $\ \因为θ$来 $\ n \因为θ$，怀疑存在这样一个函数是有意义的 $罪\ \θ$而且 $罪\ n \θ$了。事实上，第二种切比雪夫多项式是这样的:

的 $n ^ \文本{th}$第二类切比雪夫多项式,用 $U_n (x)$，定义为

$U_n(\cos \theta)= \frac{\sin \left((n+1) \theta \右)}{\sin \theta} _\平方$

1. $T_n (-x) = (-1) ^n$
2. $T_{2n} (0) = (-1) ^ n$
3. $T_n (1) = 1$
4. $T_{2n+1} (0) = 0$
5. $T_n (-1) = (-1)^n$
6. 证明 $T_n (x) = \压裂{\离开(x - \ sqrt {x ^ 2 - 1} \右)^ n + \离开(x + \ sqrt {x ^ 2 - 1} \右)^ n}{2}。$
7. 证明 $T_n (x) = \frac{(-2)^n n!} {(2 n) !｝\sqrt{ \left(1-x^2 \right) } \frac{ d^n } { dx^n } \left( 1 - x^2 \right) ^ { \frac{n-1}{2} }.$
8. 给出的生成函数 $T_n (x)$是由 $\压裂{1 - tx} {1 - 2 tx + t ^ 2} = \ sum_ {n = 0} ^ \ infty T_n (x) t ^ n。$