切比雪夫不等式GYDF4y2Ba

切比雪夫不等式GYDF4y2Ba这是一份关于GYDF4y2Ba非递增序列GYDF4y2Ba; i、 e.序列GYDF4y2Ba $a\u 1\geq a\u 2\geq\cdots\geq a\nGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $b_1\geq b_2\geq\cdots\geq b_nGYDF4y2Ba$. 它可以看作是GYDF4y2Ba重排不等式GYDF4y2Ba，使其有助于分析GYDF4y2Ba点积GYDF4y2Ba两个序列中的一个。GYDF4y2Ba

切比雪夫不等式指出GYDF4y2Ba

$\开始{aligned}\dfrac{a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nbu n}{n}&\ge&\dfrac{a_1+a_2+\cdots+a_n}\n}次\dfrac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{n}\\\\\\\ ge&\dfrac a{a_1b_n+a_2b-n}n}\cdots{GYDF4y2Ba$

或同等地，GYDF4y2Ba

${{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}{{{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}u{i=1}{n}{{a}{i}{b}{n+1-i}}{n}。GYDF4y2Ba$

两两乘积之和最大化的直觉GYDF4y2Ba贪婪算法GYDF4y2Ba是由GYDF4y2Ba重排不等式GYDF4y2Ba，这可确保GYDF4y2Ba $a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb\nGYDF4y2Ba$是添加成对产品的最大可能结果。切比雪夫不等式给出了一个有用的下界，说明了GYDF4y2Ba $a_1b_1+\cdots+a_nb\nGYDF4y2Ba$可以是。GYDF4y2Ba

切比雪夫不等式的证明与经典不等式的证明非常相似GYDF4y2Ba重排不等式GYDF4y2Ba:GYDF4y2Ba

自从GYDF4y2Ba $a\u 1\ge a\u 2\ge\cdots\ge a\nGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $b_1\ge b_2\ge\cdots\ge b_n，GYDF4y2Ba$以下适用于任何情况GYDF4y2Ba $我GYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $JGYDF4y2Ba$:GYDF4y2Ba

$\左（{b}{{{a}{{{a}}{{{{a}}{{{a}{{{a}}{{{a}}{{{a}}{{{{{{a}}{{{{{a}}}{{{{a}}{{{{{a}}{{{{{{{{j}}}}左（{{{a}}{{{{{{{{{{{{{a}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{a}}}}}}}{{{{{{{{{{{{a}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{i}。GYDF4y2Ba$

添加所有GYDF4y2Ba $n^2GYDF4y2Ba$不平等，我们有GYDF4y2Ba

$\{{{{{}}}}}{{{{}}}}{{{{}}}}{{{{{}}}}{{{{{{{}}}}}{{{{{{}}}}}{{{{{{{}}}}}}{{{{}}}}{{{{{}}}}}{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{j}{{{{{}{{{{{{{}}{{{{{{}}{{{{{}}{{{{{}}{{{{{}}{{{{{{}}}}{{{{{}}}{{{{{}}}{{{{}}}}{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{\sum{i}^{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}{{{{{{{{{{{}}{{{{{}}{{{{{{}}}{{{{{}}}{{{{{{{{}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{}}}}}}}i}{b}{i}&\ge\left（\sum{i=1}{n}{{a}{i}}\right）\left（\sum{j=1}{n}{{b}{j}\right）\结束{对齐}GYDF4y2Ba$

这就完成了证明。GYDF4y2Ba $_\方格GYDF4y2Ba$

重排不等式也可用于证明切比雪夫不等式：GYDF4y2Ba

通过重新安排，我们得到了GYDF4y2Ba

$\从开始开始（对齐）开始，开始（对齐）开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，开始，我u i&\geq a_1b_n+a_2b_1+\cdots+a_nb_{n-1}，\end{aligned}GYDF4y2Ba$

加上这些GYDF4y2Ba $NGYDF4y2Ba$不等式给出了结果。GYDF4y2Ba $_\方格GYDF4y2Ba$

由于切比雪夫不等式需要了解变量的排序方式，因此在许多情况下不能直接使用。例如，请看以下问题：GYDF4y2Ba

让GYDF4y2Ba $a、 b，c，x，y，zGYDF4y2Ba$正实GYDF4y2Ba $a+b+c=7GYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $x+y+z=15GYDF4y2Ba$. 最小可能值是多少GYDF4y2Ba $ax+by+cz？GYDF4y2Ba$

---

假解决方案：GYDF4y2Ba根据切比雪夫不等式，我们得到了GYDF4y2Ba

$\frac{ax+by+cz}{3}\geq\frac{a+b+c}{3}\cdot\frac{x+y+z}{3}=\frac{35}{3}，GYDF4y2Ba$

所以最小可能值GYDF4y2Ba $ax+by+czGYDF4y2Ba$她35岁。GYDF4y2Ba

上述解决方案确实有效GYDF4y2Ba不GYDF4y2Ba因为它隐式地假设GYDF4y2Ba $a、 b，cGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $x、 y，zGYDF4y2Ba$顺序相似，但情况并非如此。事实上GYDF4y2Ba $a=4，b=2，c=1，x=4，y=5，z=6GYDF4y2Ba$给予GYDF4y2Ba $ax+by+cz=32GYDF4y2Ba$，明显小于假定的最小值35。GYDF4y2Ba

因此，切比雪夫只能在给定或确定变量顺序时使用。这意味着它通常是通过假设一个特定的顺序而不丧失通用性来应用的GYDF4y2Ba $(GYDF4y2Ba$例如GYDF4y2Ba $a\geq b\geq c），GYDF4y2Ba$检查一个不平等链，这是适用的。要记住的两个常见示例包括：GYDF4y2Ba

• $a\geq b\geq c\表示a+b\geq a+c\geq b+cGYDF4y2Ba$
• $a\geq b\geq c\表示\frac{1}{a}\leq\frac{1}{b}\leq\frac{1}{c}。GYDF4y2Ba$

这些可以结合起来：GYDF4y2Ba

让GYDF4y2Ba $a、 b，cGYDF4y2Ba$应该是正实数。显示GYDF4y2Ba

$\frac{ab}{a+b}+\frac{bc}{b+c}+\frac{ca}{c+a}\leq\frac{3（ab+bc+ca）}{2（a+b+c）}。GYDF4y2Ba$

---

不失一般性地假设GYDF4y2Ba $a\geq b\geq cGYDF4y2Ba$. 这意味着GYDF4y2Ba $\frac{1}{a}\leq\frac{1}{b}\leq\frac{1}{c}GYDF4y2Ba$，等等GYDF4y2Ba $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}\leq\frac{1}{a}+\frac{1}{c}\leq\frac{1}{b}+\frac{1}{c}GYDF4y2Ba$. 再拿一次倒数就可以了GYDF4y2Ba

$\{1}{{1}}{{1}}{{{1}}{{{1}}}}}}}{{1}}}}}}}}{{1}}}}}{{{{1}}}{{{{1}}}}}{{{{1}}}}}}{{{1}}}}}}}}}}}}}}{{{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{{{{{{1}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}{b+c}GYDF4y2Ba$

这也是事实GYDF4y2Ba

$a+b\geq a+c\geq b+c。GYDF4y2Ba$

将切比雪夫不等式应用于这两个序列，得到GYDF4y2Ba

$（a+b）\left（\frac{ab}{a+b}\ right）+（a+c）\left（\frac{ac}{a+c}\ right）+（b+c）\left（\frac{bc}{b+c}\ right）\geq\frac{1}{3}\ big（（a+b++（c+a）\big）\ left（\frac{ab}{a+b}\ frac}{，GYDF4y2Ba$

重新排列以获得所需的结果。GYDF4y2Ba $_\方格GYDF4y2Ba$

切比雪夫不等式还有一个连续的版本：如果GYDF4y2Ba $FGYDF4y2Ba$和GYDF4y2Ba $GGYDF4y2Ba$两个函数都是非递增函数还是非递减函数GYDF4y2Ba $[0,1]GYDF4y2Ba$，两者在该区间上都是可积的，那么GYDF4y2Ba

$\int\u0^1f（x）g（x）\，dx\geq\int\u0^1f（x）\，dx\int\u0^1g（x）\，dx。GYDF4y2Ba$

• 重排不等式GYDF4y2Ba