圆形轨道的特性

圆形轨道是天体力学中最简单的轨道类型吗?在天体绕a运行时，它的半径保持不变引力质量。事实上，没有天体的轨道是完美的圆形，因为每个物体都不断受到大量其他附近物体的引力的干扰，比如太阳系的行星。然而，当一个像卫星、小行星或小月亮这样的小天体围绕一个像行星或恒星这样的大天体运行时，最好把这个系统看作一个两体系统，其中较大的天体固定不变。下面，我们推导出了一颗小卫星在完美圆形轨道上匀速绕着一颗大质量行星运行的特性。

在两体近似中，保持较大的质量不变，可以计算出保持完美圆形轨道所需的速度，使用的公式为向心加速度牛顿引力。

表示这个大行星的质量 $米$，卫星的质量为 $米$，两物体质心之间的距离为 $r$．假设这颗行星的质量足够大，几乎可以保持不变。然后，如果卫星在圆形轨道上运行，行星就会用引力吸引卫星靠近自己 $F = frac{G M M} {r^{2}}$，等于使卫星保持在圆形轨道上的向心力:

$\frac{G M M}{r^{2}} = \frac{M v^{2}}{r}。$

重新排列后，马上就能得到卫星在圆形轨道上的速度:

${v = sqrt{\frac{GM} {r}}。$

速度的方向总是与轨道的圆相切。注意，卫星的速度与卫星的质量无关，因为小 $米$被取消从双方以上。这表明，轨道速度是这颗行星的特性，而不一定是围绕它运行的天体的特性。

从上面的方程，我们还可以推导出角速度 $\ω$以及旋转周期 $T$的卫星。使用 $V = r \$和 $T = \压裂{2 \π}{\ω}$的基本方程角运动学,你会发现:

$大概{\盒装{\ω= \ \压裂{通用}{r ^ {3}}}, \ qquad T = 2π\ \√{\压裂{r ^{3}}{通用}}}。$

回忆,角动量一般情况下，由下列方程给出:

$\vec{L} = \vec{r}乘以\vec{p}，$

在哪里 $vec {r} \$这个向量是从旋转中心开始的吗 $p$是线性动量。在圆形轨道中，位置矢量总是垂直于动量(与路径相切)，所以角动量减小为 $L = rp = mvr$．代入速度 $v$根据上面的推导，卫星相对于行星的角动量为

${L = m \sqrt{GMr}}。$

这与使用的替代推导是一致的 $L = I \$和惯性矩质点的 $我= ^ 2先生$，因为这将产生:

$L = mr^2 {sqrt{frac{GM}{r^3}} = m\sqrt{GMr}，$

与上述一致。

因为牛顿引力是一个中心力，在绕行星运行的卫星上没有力矩:这个力总是平行于位置矢量。因此，在牛顿引力中，如果没有外力，角动量总是守恒的。在圆形轨道上，由于半径是固定的，我们可以看出角动量守恒等于角速度保持不变。

物体在圆形轨道上的动能、势能和总机械能可以用通常的公式计算，并将上面推导的轨道速度代入。

回想一下，物体在一般平动运动中的动能是:

$K = (12) mv^2。$

代入速度，得到卫星的动能:

$\box {K = \frac{GM m}{2r}}$

因为牛顿引力是一个反平方的力，卫星的势能就是

$U = -\frac{G M M} {r}$

因此，卫星的总能量，即动能和势能之和为:

$E = K + U = - \frac{G M M} {2r}。$

在圆形轨道上总能量是负的。这是有意义的，因为圆形轨道可以被认为是束缚态，很像a中的电子氢原子．它需要正能量将卫星发射到无限和零能量，所以卫星必须从负能量开始。