改变基础

任何矢量空间有多个基地，所以问题自然出现了：矢量空间基础之间的关系是什么？首先，必须有相同的数字元素以任何基础的矢量空间。然后，给定矢量空间的两个基座，有一种方法可以将载体转化为一个基础的方式;这被称为改变基础。

基础的变化是应用于有限维矢量空间的技术，以便在不同一组基元素方面重写载体。它对于多种类型有用矩阵计算线性代数并且可以被视为一种类型线性转换。

认为 $v_1，\，v_2，\，\ dots，\，v_n$是一个基础 $V.$和 $U_1，\，u_2，\，\ dots，\，u_n$是另一种基础 $V.$。然后，通过基础的定义，恰恰有一种写入每个方式 $V_K.$按照 $U_I.$s。具体来说，有标量 $a_ {i，j}$ $（$对于整数 $1 \ le i，j \ le n）$这样

$\ begin {对齐} v_1＆= a_ {1,1} u_1 + a_ {1,2} u_2 + \ dots + a_ {1，n} u_n \\＆\ \ vdot \ hspace {1.3cm} \ vdots \hspace {1.7cm} \ vdots \\ v_n＆= a_ {n，1} u_1 + a_ {n，2} u_2 + \ dots + a_ {n，n} u_n。\结束{对齐}$

然后，有一个 $n \ times n$矩阵 $m =（a_ {i，j}）_ {i，j}$这被称为基于变革的矩阵。 $m$必须是可逆的，因为它必须是注射的（并且是正方形），通过定义。任何矢量图 $v = b_1 v_1 + b_2 v_2 + \ dots + b_n v_n$然后可以以方面的方式表示 $U_I.$通过直接替代：

$\ begin {对齐} v＆= \ begin {pmatrix} v_1＆v_2＆\ dots＆v_n \ neg {pmatrix} \ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ vdots \\ a_n \ neat {pmatrix} \\＆= \ begin {pmatrix} u_1＆u_2＆\ dots＆u_n \ neg {pmatrix} m \ begin {pmatrix} a_1 \\ a_2 \\ \ vdots \\ a_n \ neg {pmatrix}。\结束{对齐}$

也就是说，线性变换 $t：v \ to v$被定义为 $t（v）= mv$改变坐标 $V_I.$到了 $U_I.$s。

表达载体 $v = 15 \ hat {i} - 5 \ hat {j}$作为向量的线性组合 $\ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \结束{pmatrix}$和 $\ begin {pmatrix} 3 \\ -2 \ neg {pmatrix}$。

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这取决于找到标量 $一种$和 $B.$以便 $\ begin {pmatrix} 15 \\ -5 \ neg {pmatrix} = a \ begin {pmatrix} 1 \\ 1 \ neg {pmatrix} + b \ begin {pmatrix} 3 \\ -2 \ neg {pmatrix}，$可以用矩阵形式写入 $\ begin {pmatrix} 1＆3 \\ 1＆-2 \ neg {pmatrix} \ begin {pmatrix} a \\ b \ neg {pmatrix} = \ begin {pmatrix} 15 \\ -5 \ neg {pmatrix}$。从这里，我们可以使用高斯 - 乔丹消除结束了这一点 $A = 3.$和 $B = 4.$。 $_\正方形$

当使用坐标（因此矩阵）进行线性变换时，有时有助于以不同的基础考虑线性变换。

认为 $t：v \ to v$是用矩阵的线性变换 $N$基础上 $\ mathcal {b} _1 = \ {v_1，\，v_2，\，\ dots，\，v_n \}$和 $V.$还有另一个基础 $\ mathcal {b} _2 = \ \ {u_1，\，u_2，\，\ dots，\，u_n \}$。然后，如果 $m$是基于改变的矩阵 $\ mathcal {b} _1$到 $\ mathcal {b} _2$如上所述，基于线性变换具有不同的矩阵 $\ mathcal {b} _2$，即 $t（u）= mnm ^ { - 1} u。$

所以，一些矢量 $u \在v$有一个基础的代表 $\ mathcal {b} _2$。然后， $m ^ { - 1} u$是与依据表明的相同的矢量 $\ mathcal {b} _1$; $nm ^ { - 1} u$是应用程序 $N$到基础表达的向量 $\ mathcal {b} _1$，产生输出 $T.$基于的方式表达 $\ mathcal {b} _1$;和 $Mnm ^ { - 1}$是输出 $T.$基于的方式表达 $\ mathcal {b} _2$。

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