Cayley-Hamilton定理
动机
考虑矩阵 如上所述。假设有人想计算它的四次方 .这可以通过使用多项式关系来实现 作为表达式中指数约简的一种方法: 更一般地,可以使用递归式 的任意次幂 作为一个整数的线性组合 而且 .
至少为了做这样的计算,我们有兴趣找到一个给定矩阵所满足的多项式。在符号中,对于一个矩阵 ,求多项式 这样 .注意这里, 本身就是矩阵,不是数字;的 在这个表达式中表示元素都为零的矩阵。
找到满足an的多项式的一种方法 ——- - - - - - 矩阵 就是利用向量空间结构的所有集合 ——- - - - - - 矩阵。让 的向量空间 ——- - - - - - 有a项的矩阵场 (例如, 可能是真实的数字吗 或者复数 ).因为一个 ——- - - - - - 矩阵 元素,空间 有尺寸 .这意味着矩阵 线性相关于 (因为有 这个集合中的矩阵)。因此,有 , 这样 的多项式 因此满足于 .
然而,这种方法的不足之处在于它是非建设性;系数 显示存在,但不产生/计算。另一方面,Cayley-Hamilton定理是有建设性的; 表明满足一个显式且易于计算的多项式,即 .这个多项式是 Cayley-Hamilton定理指出 .证明这是不就像做替换一样简单 ,因为变量 在特征多项式的定义中,多项式代表一个数,而不是一个矩阵。
证明假设 有条目
假设 是一个 ——- - - - - - 矩阵。当 有条目 时,可以证明Cayley-Hamilton定理:
一个矩阵 被称为对角化的如果存在可逆 这样 是斜的。回想一下对角矩阵是一个矩阵,其中主对角线(从左上到右下的对角线)以外的所有元素都为零。对角矩阵有一个非常简单的乘法结构;当两个对角线矩阵相乘时,两个主对角线上的元素按项相乘。特别地,我们可以看到为什么对角线矩阵应该满足它自己的特征多项式:主对角线上的每一项都是矩阵的特征值。因此,它遵循任何可对角化的矩阵也满足其自身的特征多项式,因为 因此,Cayley-Hamilton的证明通过用可对角化的矩阵近似任意矩阵来进行(当矩阵的项是复杂的时,这将是可能的,利用代数基本定理).要做到这一点,首先需要一个矩阵对角化的准则:
引理:如果 有 不同的特征值 对角化的。
假设特征多项式的根 都是不同的,即特征值 与 有 为 .让 表示与的特征向量 .
假设有系数 与 应用 对这个方程给出了关系式 选择一个多项式 这样 而且 为 (例如,使用拉格朗日插值).上述方程表明 .因此,特征向量 是线性无关的。
因为有 特征向量,集合 必须形成基础对于向量空间 .在此基础上,对矩阵进行相应的线性变换 是斜的。让 表示基矩阵发送的变化 到 标准基向量 即。 在哪里 在 槽 然后 是对角线,如所愿。
推论:如果 ,任何 有一个可对角化的矩阵 这样,在 内 的对应项 .
的根源 这些元素是连续函数吗 .因此,对这些项进行任意小的扰动就足以使所有这些根都是不同的。这个推理是有效的,因为代数基本定理,它保证了所有的根 在 .
为了完成证明,让 是一个可对角化的矩阵序列,收敛到 (其中收敛是矩阵入口)。自 对所有 而且 作为矩阵项的函数是连续的吗 意味着 ,这是Cayley-Hamilton定理的结果。
例子和问题
证明a的逆矩阵 ——- - - - - - 矩阵由下式给出:
让 表示给定的矩阵;它的特征多项式是 根据Cayley-Hamilton定理 在哪里 是 ——- - - - - - 单位矩阵。因此,
让 是一个 ——- - - - - - 矩阵。 被称为幂零如果存在某个整数 这样 .证明如果 那么它是幂零的吗 .
假设 的非零特征向量 ,带有特征值 .然后 因为(度)的所有根 )特征多项式 是特征值吗 .根据Cayley-Hamilton定理,我们现在可以得出结论 .
考虑的集合 ——- - - - - - 以整数为模数的矩阵 ,对于某个质数 .这个集合中行列式非零的矩阵是可逆的,因此在矩阵乘法下形成一个群;这个组被命名为 ,其中“GL”代表“一般线性”。
给定一个矩阵 ,它的订单定义为最小的整数 这样 ,在那里 表示单位矩阵。在这个问题中,你将计算矩阵的最大可能阶数 .也就是说,你将回答这个问题“最大的整数是多少? 这样 矩阵的顺序是正确的吗 "
提示和证明草图:
让 是一个矩阵 .考虑向量空间 由的幂生成 的场系数 元素。也就是说, 向量空间(在加法下)是线性组合吗 这些系数 都是整数的模 .Cayley-Hamilton定理表明 是有限维的;它的维数的最大可能值是多少 作为 组的范围
假设 .的顺序意味着什么 在 要回答这个问题,请注意 一定在 ,因为的幂的指数 可以用Cayley-Hamilton的多项式关系进行约简。
让 的最大可能值 当 范围在 .你能找到一个矩阵吗 谁的订单最少 根据前面的两个步骤,这意味着什么?
作为你对这个问题的答案,提交一个矩阵的最大可能顺序 ,即