柯西积分公式GydF4y2Ba

这GydF4y2Ba柯西积分公式GydF4y2Ba指出一个值GydF4y2Ba全纯函数GydF4y2Ba内GydF4y2Ba磁盘GydF4y2Ba由盘的边界上该函数的值来确定。更确切地说，假设GydF4y2Ba $F：U \到\ mathbb {C}GydF4y2Ba$是全纯和GydF4y2Ba $\伽玛GydF4y2Ba$被包含在一个圆GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$。然后是任何GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$在所界定的盘GydF4y2Ba $\伽玛GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba

$F（A）= \压裂{1} {2 \ PI I} \ INT _ {\伽马} \压裂{F（z）的} {Z-一个} \，DZ。GydF4y2Ba$

更普遍，GydF4y2Ba $\伽玛GydF4y2Ba$任何区域的边界，其内部包含GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$。GydF4y2Ba

柯西公式是评估有用GydF4y2Ba积分GydF4y2Ba的GydF4y2Ba复杂功能GydF4y2Ba。GydF4y2Ba

柯西积分公式的直接推论是以下GydF4y2Ba $（GydF4y2Ba$使用的上述定义GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\伽玛）：GydF4y2Ba$

$F^{(n)}(a) = \frac{n!}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \, dz.$

这个公式的内容是，如果一个人知道的值GydF4y2Ba $F（z）的GydF4y2Ba$在一些封闭曲线GydF4y2Ba $\伽玛GydF4y2Ba$，然后可以计算的衍生物GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$所界定的区域内GydF4y2Ba $\伽玛GydF4y2Ba$经由积分。式可以通过感应证明上GydF4y2Ba $N：GydF4y2Ba$

案子GydF4y2Ba $n = 0的GydF4y2Ba$仅仅是柯西积分公式。假设分化式保持用于GydF4y2Ba $Ñ= KGydF4y2Ba$。使用GydF4y2Ba积分下分化GydF4y2Ba， 我们有GydF4y2Ba

$\开始{对齐} F到^ {（K + 1）}（一）及= \压裂{d} {哒} F到^ {（K）}（a）中\\＆= \压裂{ķ！} {2 \pi i} \int_{\gamma} \frac{d}{da} \frac{f(z)}{(z-a)^{k+1}} \, dz \\ &= \frac{k!}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{(k+1)f(z)}{(z-a)^{k+2}} \, dz \\ &= \frac{(k+1)!}{2\pi i} \int_{\gamma} \frac{f(z)}{(z-a)^{k+2}} \, dz. \end{aligned}$

因此，该公式被证实。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$

人们可以利用柯西积分公式计算GydF4y2Ba轮廓积分GydF4y2Ba其采取在式被积给出的形式。GydF4y2Ba

计算GydF4y2Ba $\的DisplayStyle \ int_ {C} \压裂{（Z-2）^ 2} {Z + I} \，DZ，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是半径的圆GydF4y2Ba $2GydF4y2Ba$以原点为中心。GydF4y2Ba

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让GydF4y2Ba $F（z）的=（Z-2）^ 2GydF4y2Ba$;GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$在内部随处可见全纯GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$。因此，由柯西积分公式，GydF4y2Ba

$\ int_ {C} \压裂{（Z-2）^ 2} {Z + I} \，DZ = 2 \ PI I F（-i）= -8 \ PI + 6 \ PI岛\ _ \方GydF4y2Ba$

同样地，人们可以使用该柯西分化式来评价不太直接积分：GydF4y2Ba

计算GydF4y2Ba $\的DisplayStyle \ int_ {C} \压裂{Z + 1} {Z ^ 4 + 2Z ^ 3} \，DZ，GydF4y2Ba$在哪里GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$是半径的圆GydF4y2Ba $1GydF4y2Ba$以原点为中心。GydF4y2Ba

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让GydF4y2Ba $克（Z）= \ dfrac {Z + 1} {Z + 2}GydF4y2Ba$;GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$是全纯里面随处可见GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$。因此，GydF4y2Ba

$\ int_ {C} \压裂{Z + 1} {Z ^ 4 + 2Z ^ 3} \，DZ = \压裂{2 \ PI I} {2！} G ''（0）= - \压裂{\ PI我} {4} \。_ \方GydF4y2Ba$

作为柯西积分公式的应用中，人们可以证明GydF4y2Ba刘维定理GydF4y2Ba在复杂分析的一个重要定理。这个定理指出，如果一个函数是全纯无处不在GydF4y2Ba $\ mathbb {C}GydF4y2Ba$并且是有界的，则该函数必须是恒定的。GydF4y2Ba

如果GydF4y2Ba $F：\ mathbb {C} \到\ mathbb {C}GydF4y2Ba$是全纯且存在GydF4y2Ba $M> 0GydF4y2Ba$这样GydF4y2Ba $| F（Z）|\乐中号GydF4y2Ba$对所有人GydF4y2Ba $ž\在\ mathbb {C}GydF4y2Ba$， 然后GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$是恒定的。GydF4y2Ba

认为GydF4y2Ba $F：\ mathbb {C} \到\ mathbb {C}GydF4y2Ba$满足定理的条件。给予GydF4y2Ba $一个\在\ mathbb {C}GydF4y2Ba$， 让GydF4y2Ba $C_rGydF4y2Ba$表示半径的圆GydF4y2Ba $R.GydF4y2Ba$在中心GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$。由柯西分化公式和GydF4y2Ba三角不等式GydF4y2Ba， 我们有GydF4y2Ba $| F ^ {（N）}（a）中|=\frac{n!}{2\pi} \left\vert \int_{C_r} \frac{f(z)}{(z-a)^{n+1}} \, dz \right\vert \le \frac{n!}{2\pi} \int_{C_r} \frac{|f(z)|}{|z-a|^{n+1}}\, dz \le \frac{n! M}{2\pi} \frac{1}{r^{n+1}}.$服用GydF4y2Ba $r \到\ inftyGydF4y2Ba$显示，GydF4y2Ba $˚F^ {（N）} ...（A）= 0GydF4y2Ba$。因此，所有的衍生物GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$0无处不在，它遵循GydF4y2Ba $FGydF4y2Ba$是恒定的。GydF4y2Ba $_\正方形GydF4y2Ba$