卡迈克尔的Lambda函数
已经有账户了?<一个href="//www.parkandroid.com/account/login/?next=/wiki/carmichaels-lambda-function/" class="ax-click" data-ax-id="clicked_signup_modal_login" data-ax-type="link">日志在这里。一个>
有关……
- 数论>
卡迈克尔的lambda函数为约化托能函数。它是的最小正除数<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-totient-function/" class="wiki_link" title="欧拉totient函数gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉totient函数一个>它满足的结论<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/eulers-theorem/" class="wiki_link" title="欧拉定理gydF4y2Ba" target="_blank">欧拉定理一个>.它被用于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/prime-testing/" class="wiki_link" title="素性测试gydF4y2Ba" target="_blank">素性测试一个>.
定义
让
n 是一个正整数。然后λ (n)定义为最小的正整数k 这样一个 k≡1(米odn)对所有一个 这样肾小球囊性肾病 (一个,n)=1.
请注意,
计算卡迈克尔的功能
Carmichael的lambda函数的值可以用以下公式计算:
我们有
在哪里
这些公式将在下一节加以证明。两种直接后果如下:
- 如果
一个 ∣b,然后λ (一个)∣λ(b). - λ(中国大陆(一个,b))=中国大陆(λ(一个),λ(b)).
求最小的正整数
一个 这样3. 60∣(x一个−1)对于任何x 相对'3. 60.
我们有
λ (3.60)=中国大陆(λ(23.),λ(3.2),λ(5))=中国大陆(2,6,4)=12. □
注意在这个例子中
公式的证明
让
p 是一个奇素数。秩序元素ϕ (pα)在( Z/pαZ)∗被称为<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="原始的根gydF4y2Ba" target="_blank">原始的根一个>.的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="关于原始根的维基gydF4y2Ba" target="_blank">关于原始根的维基一个>包含整数的完整分类n 它有一个原始根modn ;特别是,有一个原始根g 国防部n 当n 是奇撇次幂。的最小正整数次幂g 这就等于1 是g ϕ(pα),这表明λ (pα)≥ϕ(pα).自λ (pα)≤ϕ(pα)从上一节的讨论来看,这表明它们是相等的。gydF4y2Ba当
p =2,的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/primitive-roots/" class="wiki_link" title="原始的根gydF4y2Ba" target="_blank">原始的根一个>维基百科显示,λ (2α)∣∣2α−2为α ≥3.,一个简单的归纳就可以证明5 2α−3.≡1+2α−1(米od2α),所以顺序5 不分裂2 α−3.,但它是2的幂,所以它是2 α−2.这表明λ (2α)=2α−2=21ϕ(2α).最后一个表述是一个简单的应用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/chinese-remainder-theorem/" class="wiki_link" title="中国剩余定理gydF4y2Ba" target="_blank">中国剩余定理一个>.特别是,如果
n =p1α1⋯pkαk,对于任意的原始根g 我米odp我α我 (和g 我=5如果p 我α我2的幂是否大于4) ,有一个独特的元素g 国防部n 它和每一个g 我国防部p 我α我,很容易证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-an-element/" class="wiki_link" title="订单gydF4y2Ba" target="_blank">订单一个>的g 等于LCMλ (p我α我).另一方面,一个类似的中国余数定理论证表明,任何元素提出的LCM必须是1 国防部n 因为它是1 取所有质数的模。□
从证明中可以直接看出的一个重要事实是
求一个原始的根模
开始
对质数检验的应用
自<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-little-theorem/" class="wiki_link" title="费马小定理gydF4y2Ba" target="_blank">费马小定理一个>意味着
gydF4y2Ba但是,如果
不幸的是,有一些组合值
λ(561)=中国大陆(λ(3.),λ(11),λ(17))=中国大陆(2,10,16)=80,这将
<!-- end-example -->5 60.所以5 61是一个卡迈克尔数(事实上,它是最小的卡迈克尔数)。
看到<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/carmichael-numbers/" class="wiki_link" title="卡迈克尔的数字gydF4y2Ba" target="_blank">卡迈克尔的数字一个>了解更多细节。