让
N={1那2那3.那⋯}表示一组自然数。
无限集
一种叫做可数无限(或者可数)如果它具有相同的基数
N.换句话说,有一个粉迹
一种→N.
无限集
一种叫做无数无限(或者不可数) 如果是不是可数。换句话说,存在没有双射
一种→N.
这些定义表明,即使在无限集中,也存在不同的“无限大小”。在基数的感觉中,可比无限的套装比无数无限集更为“较小”。当然,有限组比任何无限集是“较小”,但可数和不可数之间的区别也可以比较无限集的尺寸。以下是可数和不可数集合的一些示例。
让
Z.={......那-2那-1那0.那1那2那......}表示整型集合。是
Z.可数或不可数?
考虑下面的图
N→Z.:
{1那2那3.那4.那5.那6.那7.那8.那9.那......}↦{0.那1那-1那2那-2那3.那-3.那4.那-4.那......}.
每个整数都被一些自然数映射到映射到某些自然数,并且没有整数映射到两次。因此,这是一个击倒。我们得出结论
Z.是可计算的。
□
让
问:表示有理数的集合。是
问:可数或不可数?
一张地图
N→问:只需通过Rational数字列表描述。如果此列表至少包含一次Rational Number,则我们可以删除重复以获取自动影响
N→问:.
对于有理数
B.A.(以最低术语),呼叫
|A.|+|B.|它高度.每个高度都有有限的有理数。因此,如果我们列出高度1的所有有理数,然后是高度2的有理数,然后是高度3的有理数,等等,我们将得到所需的有理数列表。
因此,我们得出结论
问:是可计算的。
□
S.是有限的
S.是可数无限
S.无数无限
一个人
α∈R.叫做代数如果存在多项式
P.(X.)具有合理的系数,使得这一点
P.(α)=0..
让
S.⊂R.表示代数数的集合。下面哪个选项是正确的
S.还是
考虑间隔
[0.那1].作为一套,是
[0.那1]可数或不可数?
由克兰特有名对角角论点事实证明,事实证明
[0.那1]是不可数的。他的论点是一个巧妙的反证法。
假设
[0.那1]是可数的,以便我们可以写
[0.那1]={A.1那A.2那A.3.那......},每个
A.我∈[0.那1].对于每一个人
A.我,写它(其中之一)二进制表示(s):
A.我=0..D.我1D.我2D.我3.......2那每一个地方
D.我∈{0.那1}.
对于每一个人
我, 让
E.我=1-D.我我那样
E.我=0.如果
D.我我=1和
E.我=1如果
D.我我=0..现在,构建一个数字
X.∈[0.那1]通过写下其二进制表示:
X.=0..E.1E.2E.3.......2.
自
X.不同于
A.我在
我TH.二进制数字,我们知道
X.=A.我为所有人
我∈N.
但这意味着
X.不在名单上
{A.1那A.2那A.3.那......},即使是
X.∈[0.那1].因此,列表不包括集合的每个元素
[0.那1],与我们认为可数的假设相反!
□
S.是有限的
S.是可数无限
S.无数无限
让
S.表示连续功能集
F.:[0.那1]→R..
下面哪个选项是正确的
S.还是