康托尔集
有关……
- 几何>
的
它是一个完全由边界点组成的封闭集,是集论和数学中的一个重要反例<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/general-topology/" class="wiki_link" title="一般的拓扑gydF4y2Ba" target="_blank">一般的拓扑一个>.当学习<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/cardinality/" class="wiki_link" title="基数gydF4y2Ba" target="_blank">基数一个>的子区间<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/real-numbers/" class="wiki_link" title="实数gydF4y2Ba" target="_blank">实数一个>,
建设
康托集是通过去除越来越小的子区间构造的 这种结构可以形式化如下。让 通过
属性
在证明康托尔集的某些性质时,还有另一种有用的描述:
C的实数
[ 0,1]谁的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/number-base/" class="wiki_link" title="座3gydF4y2Ba" target="_blank">座3一个>展开项只包含数字0和2。
以3为基数展开,也称为三元展开,在使用数字时表示十进制数
0 ,1,2.例如,十进制中的数字3是以3为底的10。以3为底的分数用3的负幂表示,其中一个分数N 在十进制中可以表示为N =c1b−1+c2b−2+c3.b−3.+⋯+cnb−n+⋯,在哪里0 ≤c我<3.,分数以3为底表示为N =0.c1c2c3.....例如, 1=0.25=0×3.−1+2×3.−2+0×3.−3.+2×3.−4+⋯=0.023..4 类似地,十进制分数可以通过乘以来转换
,取结果对3取余,然后将余数乘以3. 3. ,然后取3的余…以此类推,直到余数为0:0 .25×3.=0+0.75,c10.75×3.=2+0.25,c20.25×3.=0+0.75,c3.0.75×3.=2+0.25,c4=0=2=0=2⋮⇒0.0202...3..在3进制中,有些点有不止一种符号:
3.1×3.=1+0,c1=1.所以 3. 1=0.13..但我们也有以下几点:3. 1×3.=0.3.3.3.3....×3.=0+0.9999...,c10.9999...×3.=2+0.9999...,c20.9999...×3.=2+0.9999...,c3.=0=2=2⋮所以,3. 1=0.3.=0.13.=0.023..这有时意味着有歧义C ,如果C 展开项只包含数字0和2C 包含0 .023.但不是0 .13.即使它们是一样的。在这种情况下,它被称为包含0 .023.=3.1,这意味着它包含0 .13.因为有多种符号。
假设
x ∈[0,1]在以3为基底展开时只包含数字0和2。让x n的截断x 在n 小数点后几位。例如,如果x =0.020202⋯3.,然后x 1=0,x 2=0.023.,x 4=0.02023.等。当然,序列x n收敛于x 作为n →∞.特别是,对于每一个n ≥1,我们有x n≤x≤xn+3.n1.注意[ 0,1]
- 到底是为了谁的基础3扩建
n 小数点和之后的数字- 只使用数字0和2
恰恰是
左 集合为的区间的端点C n.因此,区间[ xn,xn+3.n1]包含在C n.由此可见x ∈Cn对所有n ≥0,因此x ∈C.□ 相反,假设
x ∈C.然后x ∈Cn对所有n ≥0.注意C n正是那些n th截断(即只取第一个数字而得到的数字)n 小数点后的数字)只使用0和2作为以3为基数的数字。因此,每一个截短x 仅使用0和2作为数字。这意味着x 在以3为基数的展开中只使用0和2。□
由这个定理,可以证明以下两个性质:
C不包含?的子区间
[ 0,1].
让
[ 一个,b]⊂[0,1]为任意区间。写一个 =0.一个1一个2一个3.⋯3.而且b =0.b1b2b3.⋯3..如果一些一个 我等于1,根据前面的定理,我们知道一个 ∈C.类似地,如果一些b 我等于1,我们知道b ∈C.否则,假设k 最小的索引是这样的吗一个 k=bk.我们的工作人员一个 k=0而且b k=2,所以0 .一个1一个2一个3.⋯一个k−113.∈[一个,b],它是这样的[ 一个,b]⊂C.□
C是不可数的。
定义一个函数
f :C→[0,1]如下。如果x =0.x1x2x3.⋯3.的元素。C ,设置f (x)=0.(x1/2)(x2/2)(x3./2)⋯2.换句话说,取三元展开x ,替换每个数字2 与1 ,并将结果视为二进制数。这个函数是<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/bijection-injection-and-surjection-definition/" class="wiki_link" title="满射gydF4y2Ba" target="_blank">满射一个>,因为任何元素
y =0.y1y2y3.⋯2的[ 0,1]有f (0.(2y1)(2y2)(2y3.)⋯3.)=y.现在,假设
是可数的。写C C ={c1,c2,c3.,⋯}.为每一个y ∈[0,1],让g (y)等于下标j 元素的c j与f (cj)=y(注:在定义此函数时g 时,我们隐式地使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/axiom-of-choice/" class="wiki_link" title="选择公理gydF4y2Ba" target="_blank">选择公理一个>).然后,我们可以构造一个序列{ d我}我∈N这样d g(y)=y对所有y ∈[0,1].这构成了between的双射[ 0,1]而且N ,所以是这样的[ 0,1]是可数的。矛盾!因此,我们得出结论
是不可数的。C □
参考文献
- 127“rect”,。
康托三元集,七次迭代 .检索2016年9月5日,从<一个href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cantor_set_in_seven_iterations.svg">https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Cantor_set_in_seven_iterations.svg一个>