局部极值是否当且仅当f'(x) = 0时出现?

这是关于常见的误解．

真或假?

局部极值 $f (x)$当且仅当 $f (x) = 0。$

为什么有些人认为这是真的:这是我们高中时学过的一阶导数测试。

为什么有些人说它是错误的:这种说法也有例外的情况。另外，我学过这只是一阶导数检验的第一步。

该声明是 $颜色\ {# D61F06} {\ textbf{假}}$．

知道一个函数在某一点上的导数为0并不一定意味着在这一点上有一个局部极小值或极大值。当 $f (x) = 0,$它只意味着在这一点有一条水平切线。一个函数的例子水平切线在某个点上不是局部极值下面给出。

此外，函数在其导数为非零的点上有一个局部极小值或极大值是可能的，具体方法如下所示。例如, $f (x) = | | x$局部最小值是 $x = 0,$尽管 $f (0) \ neq 0。$

反例1:

这是一个简单的反例一个函数在非局部极值点处导数为0的例子。

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考虑下面这个例子 $f (x) = x ^ 3$,这是连续和可微的到处都是 $（$对所有 $x \ \ mathbb {R})。$

区分 $f (x)$关于 $x,$我们有 $F '(x) = 3x^2。$设为0，我们得到 $x = 0。$但从图上我们可以清楚地看到函数在 $x = 0。$曲线只是从下凹到 $x < 0$向上凹的 $x > 0。$ $_ \广场$

$$

反例2:

$Y = sin x$为 $0≤x≤frac{\pi}{3}$是一个函数在其导数不为0的点处有一个局部极值的例子。这是因为函数的定义域是有限的。

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下图是……的图表 $Y = sin x$为 $0≤x≤frac{\pi}{3}。$

函数的最大值在 $x = \压裂{\π}{3}$和最低 $x = 0:$

$c \开始{数组}{}f{\文本{马克斯}}(x) = \罪\ dfrac{\π}{3}= \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}, f{\文本{分钟}}(x) = \罪0 = 0。\{数组}结束$

但是，函数的导数 $F '(x) = cos x$在任意点都不等于零:

$\开始{数组}}{c f ' (0) = \ cos 0 = 1, f ' \离开(\ dfrac{\π}{3}\右)= \因为\ dfrac{\π}{3}= \ dfrac{1}{2},结束\{数组}$

暗示给定的陈述是错误的。 $_ \广场$

有关局部和全局极值的更多信息可在这里找到:极值．

以下是对上述反例的两种常见反对意见:

的局部极值的 $Y = sin x$为 $0≤x≤frac{\pi}{3}$是

$c \开始{数组}{}f{\文本{马克斯}}(x) = \罪\ dfrac{\π}{3}= \ dfrac {\ sqrt {3}} {2}, f{\文本{分钟}}(x) = \罪0 = 0。\{数组}结束$

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反驳函数在点处的梯度是正的 $x = \压裂{\π}{3}$，因此它是递增的，我们得到的值不是局部最大值。
回复:函数没有定义 $x > \压裂{\π}{3}$，因此我们确实达到了局部的最大值在 $X = {pi}{3}。$

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反驳:不是 $－1$的最小值 $\ sin (x) ?$
回复:函数的最小值 $\ sin (x)$在域 $0≤x≤frac{\pi}{3}$不是 $-1．$的值 $－1$对应于较大域上的最小值。

另请参阅

• 常见误解清单
• 局部极值
• 全局极值
• 分化的规则