惯性矩
的惯性矩是一个物理量,它描述物体绕给定轴旋转的容易程度。它是质量的旋转类似物,描述了物体对平动运动的阻力。惯性是物质在其运动状态中抗拒变化的性质。惯性是使静止物体保持静止的力的量度,或使运动物体以当前速度运动的力的量度。惯量越大,在给定时间内使其速度发生变化所需要的力就越大。假设一辆重型卡车和一辆轻型汽车都处于静止状态,那么凭直觉我们知道,在给定的时间内将卡车推到某一速度所需的力比在相同的时间内将汽车推到相同的速度所需的力要大。
同样,转动惯量是物质在其旋转运动状态中抵抗变化的性质。转动惯量越大,的量就越大转矩这需要在给定的时间内使角速度发生相同的变化。这里,力矩和角速度是力和速度的角度类似物,它们与转动惯量的关系就像力和速度与质量的关系一样。
与惯量不同,转动惯量不仅取决于质量,而且取决于围绕转动惯量所要计算的轴的质量分布。物体绕不同轴的转动惯量不同。也就是说,要使一个物体以相等的角加速度绕不同的轴旋转,需要不同的扭矩(或力)。这个概念在整个机制中都是相关且非常必要的。如果没有旋转,生活就会很简单,但实际上我们需要一种方法来处理平移和旋转(通常同时)。这是分析更复杂运动的必要部分。
转动惯量,直观吗?
转动惯量表示物体保持旋转运动状态的倾向。如果一个物体的质量越大,旋转它就越困难。考虑两个半径相同的球体:一个是木头做的,另一个是铁做的。两者到旋转轴的距离相等。
哪个更容易旋转?用木头做的那个因为质量小,所以比较容易转动。旋转需要更大的质量,需要更大的努力。因此,转动惯量取决于质量。
考虑两个质量相同,但距旋转轴距离不同的物体:
它们绕着同一个旋转轴旋转并不容易。距离更远的物体要加速到相同的角速度,需要付出更多的努力。因此,可以计算出转动惯量取决于到轴的距离。如果质量离轴越远,它的转动惯量就越大。
考虑如图所示的板球拍。球棒有两个可旋转的轴。哪个轴更容易旋转?我们需要相同或不同的扭矩来产生相同的关于两个轴的角加速度吗?如果不同,那么大约哪个轴所需的扭矩更小?
好的,答案是绕轴2旋转更容易。当质量远离轴时,旋转就变得更加困难。因此,球棒绕轴的转动惯量是不同的。球棒绕2轴的转动惯量小于绕1轴的转动惯量。因此,我们可以说,当质量远离轴时,它的转动惯量增大,它的旋转变得更加困难。
一般性质和概念
- 转动惯量是a张量数量。对于不同的轴,它有不同的值。
- 它取决于质量以及质量在轴上的分布。
- 物体绕不同轴的转动惯量不同。
- 它是物质的一种固有属性,通过它,物质试图保持其角运动状态,除非并且直到它被外部力矩所迫。
- 这是一个广泛的(可加的)性质:一个复合系统的转动惯量是它的各组成部分的子系统的转动惯量的总和(都绕同一轴)。
质点
a的转动惯量质点 绕轴的垂直距离为 它是由 .
因此,如果一个质点到轴的距离是原来的两倍,那么转动惯量将是原来的四倍。如果质量翻倍,转动惯量也会翻倍。
质量分布的转动惯量
an的转动惯量 分质量系统 在垂直距离 由旋转轴给出 .
质量的转动惯量加起来就像一个标量一样。
避免这种缺陷:
还应注意的是,粒子系绕轴的转动惯量为不和转动惯量一样质量中心沿着同一轴的粒子系统。
求由六个相等质量组成的点质量系统的转动惯量,每个质量都相等 位于边长为正六边形的角上的 绕穿过六边形中心并垂直于其平面的轴的。求出物体的转动惯量 位于上述系统的质心。
根据公式,转动惯量为 .这里所有的质量都是一样的 为 .同样,在一个正六边形中,所有角到中心的距离都是相等的,并且等于六边形的边长。因此, 为 .因此,
连续质量分布的转动惯量:
一个连续质量系统可以被认为是质量无限的粒子的集合。一个较大的物体可以被分解成无限小的元素点质量。总转动惯量是所有这些粒子的总和。积分有助于将所有这些粒子的转动惯量相加。
因此,分布质量系统的转动惯量可以写成
在哪里 是转动惯量, 小元素的质量是否考虑在物体上,和 是元素质量到轴的距离。
计算质量均匀的直杆的转动惯量 和长度 关于通过其一端的轴。
考虑一个元素粒子,距离为 的长度 从轴。现在我们知道总质量 的长度 这就是宽度粒子的质量 将 .然后我们可以简单地将其积分如下:
我们现在知道,物体绕不同轴的转动惯量是不同的。那么,这些转动惯量之间有什么关系吗?是的,几个轴的转动惯量可以通过两个定理得到:
- 垂直轴定理
- 平行轴定理。
转动惯量与系统动能的关系
对于质量粒子 在…的远处 从轴上看,线速度是 .因此动能 粒子运动的
总动能 由单个粒子的动能之和给出(假设有 粒子)。因此,我们有
自 是角速度所有粒子的常数,我们可以把它从求和中提出来得到
因为我们把转动惯量定义为 我们有关系
垂直轴定理
对于一个平面物体,绕垂直于该平面的轴转动的转动惯量为两个垂直轴通过该物体平面上同一点的转动惯量之和:
避免这种缺陷:
垂直轴定理仅适用于平面物体,如薄圆盘、环、三角板等。对于球体、圆柱体、圆锥体等物体,这个定理不能应用。
考虑一个薄板躺在 飞机。的 的交点通过 - - - -轴,垂直于板面:
如果我们取质量薄板上的任何一点 在协调 然后转动惯量 -axis可计算为
同样的,
对于转动惯量 -轴,让距离 设在是 然后
添加 而且 和使用 我们得到了
要学习第二个定理,即平行轴定理,首先需要学习质心的概念。
质心-加速度
一个系统的质心是一个非常特殊的点。这个点的加速度只取决于外力。对于粒子系统,质心的加速度等于净外力除以系统的总质量:
考虑下面的图表。质量块 被一种力所作用 在水平方向上。如果地面是光滑的,那么质心的加速度是多少?
我们有
在这里,
因此,
点集合的质心
也可以找到实际的质心,一组点的质心。
假设我们有 粒子的质量 在它们各自的坐标处
然后, 质心的-坐标是
类似地, 质心的-坐标是
同样, 质心的-坐标是
求一个双粒子质量系统的质心的距离 而且 从质量 ,给定两个质量之间的距离为
在下图中,让质量 在原点,和质量 在协调
然后,
而且
因此,质心的距离 是
注意:质心的距离 是
质量分布中心
连续质量分布包含无限点质量粒子。在积分的帮助下,可以为这样的粒子系统定义质心。首先,将系统分解成无限个小质点,然后积分得到质心的位置。
连续质量分布的质心位置可计算为
在哪里 是基本粒子的质量, 是 基本粒子的-坐标,和 是 质心的-坐标。
同样的,
平行轴定理
平行轴定理指出,刚体绕任意轴的转动惯量等于刚体绕平行轴的转动惯量经过质心,加上刚体质量与两平行轴之间垂直距离的平方的乘积。
如果物体有转动惯量 绕通过质心的轴,转动惯量 绕另一个平行轴,距离为 将