伯恩赛德引理gydF4y2Ba

伯恩赛德引理gydF4y2Ba结果是gydF4y2Ba群理论gydF4y2Ba这可以帮助计算考虑到对称性的物体。它给出了一个计算物体数量的公式，其中两个因对称(例如旋转或反射)而相关的物体不被计算为不同的。gydF4y2Ba

伯恩赛德的引理给出了一种计算数量的方法gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba的有限集合的gydF4y2Ba付诸行动gydF4y2Ba被一个有限群。gydF4y2Ba

Burnside的引理：gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是作用于集合的有限群gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $X / GgydF4y2Ba$是轨道的集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$ $（gydF4y2Ba$也就是说，每个元素gydF4y2Ba $X / GgydF4y2Ba$是一个轨道gydF4y2Ba $X）。gydF4y2Ba$对于任何一个元素gydF4y2Ba $在g, g \gydF4y2Ba$让gydF4y2Ba $X ^ ggydF4y2Ba$是一系列的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$这是固定的gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $X^g = X {X \in X \冒号g \cdot X = X \}。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba

$X / G \ displaystyle {| | = \ frac1 {| G |} \ sum_ {G \ G} | X ^ G |}。gydF4y2Ba$

换句话说，轨道的数量是固定点的平均数量gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

主要文章:gydF4y2Ba组织行为gydF4y2Ba

要了解Burnside的lemma，我们需要了解对称组和团体行动。以下是一些概念和定义的摘要gydF4y2Ba组织行为gydF4y2Ba维基，为了方便，这里重复一下。gydF4y2Ba

作为一个非正式的定义，agydF4y2Ba团体gydF4y2Ba是由满足某些性质的集合和运算组成的数学对象。群体概括了我们所知道的许多结构;例如，整数和加法操作组成一个组。然而，群体比这更普遍;例如，“转过去”gydF4y2Ba $x ^ \保监会gydF4y2Ba$“运算，和组成运算一起，也构成一个组。”gydF4y2Ba

对于正式的定义，gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba团体gydF4y2Ba是有序对gydF4y2Ba $（g，+）gydF4y2Ba$， 在哪里gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$非空集合和gydF4y2Ba $+：g \ times g \ to ggydF4y2Ba$双参数函数在吗gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$满足以下几点:gydF4y2Ba

• 结合性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $（a + b）+ c = a +（b + c）gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $a、b、c、G。gydF4y2Ba$
• 身份元素gydF4y2Ba:存在gydF4y2Ba $在G 0 \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $0 + A = A + 0 =一个gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $一个\在G.gydF4y2Ba$
• 逆元gydF4y2Ba:每一个gydF4y2Ba $在G \gydF4y2Ba$，存在逆gydF4y2Ba $——在G \gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $A +(-a) = (-a)+ A = 0。gydF4y2Ba$

一个gydF4y2Ba对称群gydF4y2Ba组的元素是某些对象上的转换，而其操作是组合操作吗gydF4y2Ba $\保监会gydF4y2Ba$．(这类似于gydF4y2Ba功能的构成gydF4y2Ba．)例如，上面的“旋转”例子是一个对称组，因为元素是可以应用于对象的转换，而操作是合成操作。gydF4y2Ba

在技​​术上写入对称组gydF4y2Ba $（g，\ cir）gydF4y2Ba$随着改造的一组和明确写入的组合操作，但通常可以理解，暗示了组合物操作，因此对称组通常简单地写成gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$，它的转换集合。gydF4y2Ba

对称群可以gydF4y2Ba行为gydF4y2Ba在一组对象上。非正式地，这基本上意味着组的每个元素将对象转换为另一个对象。例如，如果我们有符号“6”，我们可以应用元素“旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$把它变成了9。gydF4y2Ba

对于正式的定义，gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$对称群是否有单位元gydF4y2Ba $\εgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是集合，那么是gydF4y2Ba(左)小组行动gydF4y2Ba $\ varphigydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一个功能gydF4y2Ba $G \乘以XgydF4y2Ba$来gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$满足以下几点:gydF4y2Ba

• 标识属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $varphi(\， x) = xgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$
• 复合属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $\varphi(g \circ h, x) = varphi\big(g， \varphi(h, x))gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $g，h \ in ggydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$

通常,gydF4y2Ba $\ varphi (g, x)gydF4y2Ba$表示为gydF4y2Ba $g \ cdot xgydF4y2Ba$，省略了合成操作符，从而生成以下语句:gydF4y2Ba

• 标识属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $c·x = xgydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$
• 复合属性gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $(h \cdot x) = g (h \cdot x)gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $g，h \ in ggydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$

例如,假设gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是所有边为红色和/或蓝色的单元正方形的集合。我们可以应用“旋转by”gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$(顺时针)给左边的正方形，给右边的正方形:gydF4y2Ba

如果一个组在一套上行动，我们可以谈论固定点和轨道，两个概念将在伯恩队的引理中使用。固定点与功能中的类似概念相当。对象的轨道只是转换此对象的所有可能结果。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是作用于集合上的对称群gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

为一个元素gydF4y2Ba $在g g \gydF4y2Ba$,一个gydF4y2Ba不动点gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一种元素gydF4y2Ba $x \在x中gydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $g。x = xgydF4y2Ba$；也就是说,gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$不受分组操作的影响。的所有不动点的集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$关于gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$通常表示gydF4y2Ba $X ^ ggydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

为一个元素gydF4y2Ba $x \在x中gydF4y2Ba$,gydF4y2Ba轨道gydF4y2Ba $G。xgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是集gydF4y2Ba $\ {g。x | g \in g \}gydF4y2Ba$；也就是说，所有可能的转化结果gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

群体理论的结果是轨道gydF4y2Ba分区gydF4y2Ba套装gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$；也就是说，如果gydF4y2Ba $在X \gydF4y2Ba$有轨道gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，然后是所有的元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$也有轨道gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$，以及每个元素gydF4y2Ba $“不\ \gydF4y2Ba$的轨道gydF4y2Ba $一种'gydF4y2Ba$不共享任何元素gydF4y2Ba $一个gydF4y2Ba$．因此，讨论轨道的数量是有意义的:gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba的轨道gydF4y2Ba $X / GgydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$由gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $\ {G。x | x \in x \}gydF4y2Ba$；也就是说，它是所有元素的轨道集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$，不包括重复。的gydF4y2Ba数量的轨道gydF4y2Ba仅仅是它的基数吗gydF4y2Ba $| x / g |gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这些都是理解伯恩赛德引理所需要的定义。gydF4y2Ba

伯恩赛德引理经常被用于计算物体，在计算物体时需要考虑对称性。考虑下面的例子。gydF4y2Ba

正方形的边可以用红色或蓝色着色。有多少种不同的安排gydF4y2Ba

1. 考虑一种可由另一种旋转得到的着色gydF4y2Ba不同的gydF4y2Ba,或gydF4y2Ba
2. 考虑一种可由另一种旋转得到的着色gydF4y2Ba相同的gydF4y2Ba？gydF4y2Ba

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对于第一个问题，这很简单。由于不考虑对称性，我们可以简单地使用常用的计数方法。每一边都有两种可能的选择，所有这些都是独立的，所以我们可以把所有东西相乘:gydF4y2Ba $2 ^ 4 = 16gydF4y2Ba$四。gydF4y2Ba

第二个问题要困难得多，因为我们需要小心不要重复计算通过旋转得到的东西。我们可以逐个案例分析:gydF4y2Ba

• 所有红色都是一个。所有蓝色也是一个。gydF4y2Ba
• 一个红色的(其余的蓝色)有四种可能，它们都可以通过旋转相互获得。因此，这里只有一种独特的颜色。gydF4y2Ba
• 一种蓝色(其余的红色)也只有一种独特的颜色。gydF4y2Ba
• 在两种红色和两种蓝色中，有两种可能的方法。要么是相邻的红色，其中有四种颜色，但它们都是相同的，要么是不相邻的，其中只有两种颜色，但也是相同的。这个箱子给了我们两种独特的色彩。gydF4y2Ba

总的来说，有gydF4y2Ba $1 + 1 + 1 + 1 + 2 = 6gydF4y2Ba$这种色素:gydF4y2Ba

但是，我们可以把Burnside引理应用到这里。gydF4y2Ba

该集团gydF4y2Ba $GgydF4y2Ba$是由四个元素组成的:“旋转通过?gydF4y2Ba $0 ^ \保监会gydF4y2Ba$，“”旋转gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$，“”旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$和“转转”gydF4y2Ba $270 ^ \ circgydF4y2Ba$”(顺时针)。gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$这个基团也被称为4阶循环基团gydF4y2Ba $C_4)。gydF4y2Ba$一组gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$包含所有gydF4y2Ba $2 ^ 4 = 16gydF4y2Ba$如果我们假设旋转是不同的(如第一个问题)着色。现在，我们需要计算固定点的数量:gydF4y2Ba

• “旋转gydF4y2Ba $0 ^ \保监会gydF4y2Ba$“是恒等变换这显然不改变任何的16个着色的;有16个固定点。gydF4y2Ba
• 确定“旋转通过”的固定点gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$，“我们可以检查两侧。顶面将成为右侧;如果它们是不同的颜色，显然着色不是一个固定点（因为右侧将是不同的）。例如，如果是顶部是红色的，右侧是蓝色的，旋转后，我们有右侧变红;由于右侧在转换之前和之后有不同的颜色，这不是一个固定点。同样，右侧，右侧和底部必须具有相同的颜色。与底部和左侧，左侧和顶部也是如此。换句话说，所有两侧都必须具有相同的颜色。只有两个这样的着色，全红色或全蓝色，因此2个固定点。gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $270 ^ \ circgydF4y2Ba$有类似的论点;这里也有2个不动点。gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$“有点复杂。顶部和底面必须是相同的颜色，因此必须左侧和右侧，但否则还有其他。实际上，我们可以独立给出颜色：顶部和底部的颜色，左侧和右侧的另一个（可能是相同的），给予gydF4y2Ba $2 ^ 2 = 4gydF4y2Ba$固定的点。gydF4y2Ba

总的来说，我们有gydF4y2Ba $16 + 2 + 2 + 4 = 24gydF4y2Ba$固定点，超过4个组元素。通过伯恩赛德的引理，轨道数，因此包括旋转的不同颜色的数量是gydF4y2Ba $\压裂{24}{4}= 6gydF4y2Ba$．这与我们的案例工作相匹配。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

在上面的例子中，通过逐例工作识别所有可能的颜色非常容易。但是如果有三种颜色可用怎么办？或者我们如何概括它？Burnside的Lemma使我们能够轻松地推广：gydF4y2Ba

正方形的边沿是用颜色标出的gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$颜色(每一面都有一种颜色，但一种颜色可以涂上许多一面)。如果通过旋转可以得到的两种排列是相同的那么有多少种不同的排列呢?gydF4y2Ba

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我们可以在这里使用Burnside的Lemma来避免完全造成案例。我们已经确定了上面的所有四个要素：gydF4y2Ba

• “旋转gydF4y2Ba $0 ^ \保监会gydF4y2Ba$“修复所有gydF4y2Ba $n ^ 4gydF4y2Ba$元素,gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $90 ^ \保监会gydF4y2Ba$和“转转。gydF4y2Ba $270 ^ \ circgydF4y2Ba$“修复gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$每个元素,gydF4y2Ba
• “旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$“修复gydF4y2Ba $n ^ 2gydF4y2Ba$元素。gydF4y2Ba

总的来说,这是gydF4y2Ba $N ^4 + N ^2 + 2ngydF4y2Ba$元素，然后除以变换的数量4就得到了所需的不同颜色的数量，gydF4y2Ba $\ frac {n ^ 4 + n ^ 2 + 2n} {4}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这让我们可以计算，例如，通过简单地代入公式，2016颜色的不同颜色的数量是4129545225456。理论上我们可以做案件调查，但会很麻烦。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

相关的组织不仅仅是轮调。gydF4y2Ba

矩形(非正方形)的边被涂上红色或蓝色。有多少种可能的颜色，如果两种颜色可以相互获得gydF4y2Ba旋转和/或反射gydF4y2Ba被认为是相同的吗?gydF4y2Ba

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所讨论的基团是二面角组的顺序2，也被称为gydF4y2Ba $D_2gydF4y2Ba$，有以下四个要素:gydF4y2Ba

• 恒等变换gydF4y2Ba
• 旋转的gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$
• 沿着短边反射gydF4y2Ba
• 沿着长边反射。gydF4y2Ba

现在我们再次使用Burnside引理:gydF4y2Ba

• 身份转换修复gydF4y2Ba $2 ^ 4 = 16gydF4y2Ba$元素。对阵营没有限制。gydF4y2Ba
• 通过旋转gydF4y2Ba $180 ^ \保监会gydF4y2Ba$修复gydF4y2Ba $2 ^ 2 = 4gydF4y2Ba$元素。长边必须匹配，短边也必须匹配。gydF4y2Ba
• 反射沿短边修正gydF4y2Ba $2 ^ 3 = 8gydF4y2Ba$元素。短边必须匹配，但长边可以不匹配。gydF4y2Ba
• 沿着长边固定反射gydF4y2Ba $2 ^ 3 = 8gydF4y2Ba$元素。长边必须匹配，但短边可以不匹配。gydF4y2Ba

这给了一个gydF4y2Ba $(16+4+8+8) = 9gydF4y2Ba$轨道。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

六个无法区分的球将分发给三个无法区分的盒子。有多少种方法要这样做？gydF4y2Ba

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起初，这看起来并不像伯恩赛德的引理问题。但是，无论如何，我们仍然可以用伯恩赛德的引理来解决它。gydF4y2Ba

相关群是三元上的排列群，又称gydF4y2Ba $S_3.gydF4y2Ba$，它包含以下元素:gydF4y2Ba

• 不要移动这些盒子。gydF4y2Ba
• 交换第一个和第二个盒子。gydF4y2Ba
• 交换第一个和第三个盒子。gydF4y2Ba
• 交换第二个和第三个盒子。gydF4y2Ba
• 让第一个盒子成为第二个，并以圆形的方式推动其他盒子。gydF4y2Ba
• 让第一个盒子成为第三个，并以圆形的方式推动其他盒子。gydF4y2Ba

或者，代表置换，gydF4y2Ba

• $(1、2、3)gydF4y2Ba$保持一样gydF4y2Ba $(1、2、3)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(2, 1, 3)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(3、2、1)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $（1,3,2）gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(2、3、1)gydF4y2Ba$；gydF4y2Ba
• $(1、2、3)gydF4y2Ba$就变成了gydF4y2Ba $(3、1、2)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这次我们可以简化一下我们的工作:gydF4y2Ba

• 恒等置换固定了所有可能的配置。gydF4y2Ba
• 交换两个盒子的三种排列固定了两个交换盒子的内容相等的配置。gydF4y2Ba
• 旋转盒子的两种排列固定了所有盒子内容相等的配置。gydF4y2Ba

现在的问题是，计算每种可能性有多少个可能的构型。gydF4y2Ba

恒等置换是最难的。我们可以想象这些盒子现在是可以区分的(因为我们不再移动它们，我们不妨将它们命名为第一、第二和第三个盒子)。将6个无法区分的球放入3个可区分的盒子里的问题可以用gydF4y2Ba星条旗法gydF4y2Ba，这告诉我们有gydF4y2Ba $\ binom {8} {2} = 28gydF4y2Ba$配置。gydF4y2Ba

第二种方法，交换两个盒子，更简单，因为我们可以做一个简单的例子。交换的两个盒子的内容必须为0、1、2或3个球，其余盒子的内容依次为(6、4、2或0个球)。每对交换的盒子有4个配置。gydF4y2Ba

第三个，盒子旋转的，是最简单的：因为所有这些都有相同数量的球，所有这些都必须有2个球。在这种情况下，有一个配置。gydF4y2Ba

把所有东西加起来，我们得到gydF4y2Ba $(28+4+4+4+1+1) = 7gydF4y2Ba$轨道;也就是说，有7种方法可以让它们。我们可以用案例工作验证：gydF4y2Ba $6 + 0 + 0 \ 5 + 1 + 0 \ 4 + 2 + 0 \ 4 + 1 + 1, \ 3 + 3 + 0、3 + 2 + 1,、2 + 2 + 2gydF4y2Ba$都是。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

这些工具将允许其中解决以下问题：gydF4y2Ba

首先使用总和gydF4y2Ba $\ \和limits_ {g \ g} | X ^ g |。gydF4y2Ba$这个可以变成求和gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba $\开始{对齐}\ sum_ {g \ g} | X ^ g | & = \ sum_ {g g \} \大| \ {X在X: \ g \ cdot X = X \} \大| \ \ & = \ | \ {(g, X):在g, g \ \在X, g \ cdot X = X \} \大| \ \ & = \ sum_大| {X X \} \ \ {g \ g: g \ cdot X = X \} \大| \ \ & = \ sum_ {X X \} | G_x |。结束\{对齐}gydF4y2Ba$在这里gydF4y2Ba $G_xgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba稳定剂gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$

的gydF4y2Baorbit-stabilizergydF4y2Ba定理给出了gydF4y2Ba $| G_x | = \压裂{| G |} {| O_x |},gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $O_xgydF4y2Ba$的轨道gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$所以总和变成了gydF4y2Ba ${对齐}\ \开始sum_ {x x \} | G_x | & = \ sum_ {x x \} \压裂{| G |} {| O_x |} \\ &= | G | \ sum_ {x x \} \压裂{1}{| O_x |}。结束\{对齐}gydF4y2Ba$为了计算最后的总和，考虑所有的gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在给定的轨道上gydF4y2Ba $O。gydF4y2Ba$每一个gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在轨道上gydF4y2Ba $\压裂{1}{O | |}gydF4y2Ba$总的来说，有gydF4y2Ba $| O |gydF4y2Ba$这样的gydF4y2Ba $x。gydF4y2Ba$所以对所有的总和的贡献gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在给定的轨道上是精确的gydF4y2Ba $1，gydF4y2Ba$因此，总和等于轨道的数量，gydF4y2Ba $| | X / G。gydF4y2Ba$

把这一切放在一起gydF4y2Ba $* * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * * *gydF4y2Ba$引理是这样的。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$