BRORWER定点定理
非正式插图
有许多真实的例子,说明了Brouwer的定理,尽管它们有点违反直觉。最着名的是以下内容:
考虑一个国家的地图。如果将该地图放在该国家的任何地方,则在地图上总是有一个点代表该国的确切点。
同等,
给定两个不同大小的国家类似地图彼此依赖的国家,总是存在一个代表两个地图上相同位置的点。
这持有任何映射,包括该区域旋转的映射。在以下由a定义的映射中 旋转,三角形的中心是一个固定点:
这是另一个例子:
这是一个应用程序Borsuk-Ulam定理。Borsuk-Ulam定理意味着BRORWER固定点定理。
正式声明
一种袖珍的套装是一个都是一个有限的和关闭,这意味着以下:
- 所有点都躺在另一个(直观的情况下的固定距离内,没有任何东西无限较大)。存在一个数字 这样 小于或等于 无论什么可能是值 在域名。
- 该集合包含其所有限制点;即,如果集合中的一系列点接近某个值 ,该集合也包含 。
例如, 没有受束缚,因为它的元素无限大;然而,它是关闭的。间隔 没有关闭,作为限制点 和 不属于间隔的一部分,尽管界限界限(所有点在彼此的2内)。
一种凸套之前定义在上面。
布鲁沃的定理说,如果 是一个紧凑的凸起集, 是A.连续功能,那么存在一个点 这样 。请注意,所有这些条件都是必要的;例如,该功能
确实采取了该地区 本身,但没有固定点。同样,功能
也带来了该地区 本身,但也没有固定点 功能 但是,在1时具有固定点
一维案例
在Brouwer定理的一维案例中,定理状态
给定连续功能 ,存在一个 这样 。
事实上,这一陈述是一种直接的后果中间价值定理,也有一个非常直观的图形解释:
在这里,声明相当于
从左侧到右侧的任何连续路径(图片中的深绿色)必须在某些时候与绿线相交。
这直观地清晰了。
Brouwer定理证明
Brouwer的定理非常难以证明,但是有一个非常视觉且易于遵循的(如果有些没有动力)可用的证据Sperner的lemma.。
定义 -Simplex.成为所有人 - 统一时间总和为1.最有趣的案件是 ,随着较高尺寸通过诱导遵循(并且更难想象);在这种情况下,2-Simplex只是三角形。一种三角测量这个三角形是一个划分为较小的三角形:
一种尖锐着色这个三角测量是满足的
- 每个顶点都是彩色的 (三维外壳中的3)颜色;
- 躺在的顶点 Simplex的表面(二维外壳中的大三角形的边缘)仅在该面的角落上的颜色(在二维外壳中的大三角形的顶点)上。
然后尖锐的lemma状态如下:
Sperner的lemma:
对于Simplex的三角测量的任何斜氏扫描,存在三角测量(小三角形)的元素,其角落都具有不同的颜色。
实际上,上述尖锐着色确实包含这样的三角形(在右下方)。
现在将着色作为“家庭”,在每个边缘的每个边缘有“门”,其端点是红色和绿色的。首先需要表明边界有一个奇数的门。但只有大三角形的一侧可以包含门,因为点与两个主顶点中的一个相同,并且在每个门都表示颜色的交替(并且在最后,)显然是奇数。颜色已经交替)。
现在考虑通过三角形的路径从三角形外的某个点开始,只能通过门行走。这条路径是通过
- 走在三角形外,或
- 进入一个红绿蓝色三角形(因为从那里无处可去)。
此外,一旦输入三角形,就完全确定路径,因为没有三角形具有3个红色绿色边缘。这意味着在单个小三角形中没有两个路径相遇。
现在关键点:在三角形外部结束的路径在大三角形的边界上确定两个门,同时进入一个红绿蓝三角形确定一个。但是在大三角形的边界上有一个奇数门,所以一些路径必须进入一个红绿蓝色三角形,所以必须存在一个红色的蓝色三角形!这证明了Sperner的雷姆玛。
现在我们表明Sperner的Lemma意味着Brouwer的定理。对于每一点 在一个单纯x中,让 是它的形象。考虑矢量 ,这朝着单纯形的一些角落远离一些角落。颜色 与顶点的颜色,它大部分地远离(在领带的情况下任意选择)。
它相对容易看到这满足了舵纱着色约束:边缘上的任何点都会将大部分远离定义该边缘的两个顶点中的一个,因此它将与这两种颜色中的一个有色。因此,由Sperner的Lemma存在一个小三角形,其顶点都具有不同的颜色。在这个三角形内的点重复这个过程无限地给出了应该是所有三种颜色的点,同时也是可能的只要如果该点是固定点(因为所得到的向量,则不是指向任何顶点)。这证明了任何连续存在的固定点 从单纯x到单纯x,由于Simplex是ouroreomorphic.对于一个封闭的球,这证明了Brouwer的定理。