Brahmagupta的惯例

Brahmagupta的惯例是勃尔氏体公式的特殊情况，适用于循环四边形。

循环四边形的例子

Bretschneider的惯例指出了四边形的区域由

$\ delta ^ {2} =（s-a）（s-b）（s-c）（s-c） - abcd \ cos ^ {2} \ left（\ frac {b + d} {2}右），$

在哪里 $\三角洲$是四边形的地区， $B.$和 $D.$是角度， $A，B，C，$和 $D.$是四边形的两侧，和 $S.$是四边形的半边形，由 $s = \ frac {a + b + c + d} {2}$。

对于循环四边形，我们知道相反角度的总和是 $180 ^ {\ circ}$。因此，我们有 $b + d = 180 ^ {\ cirt}$。因此，称为Brahmagupta的公式的简化版本如下：

Brahmagupta的惯例

$\ delta ^ {2} =（S-A）（S-B）（S-C）（S-C）$

给定侧长度的循环四边形 $A B C D$，地区 $\三角洲$可以找到

$\ delta = \ sqrt {（s-a）（s-b）（s-c）（s-d）}。$

或者，我们可以使用Semipleyeter

$\三角洲=\frac{1}{4} \sqrt{(-a+b+c+d)(a-b+c+d)(a+b-c+d)(a+b+c-d)}.$

认为 $A B C D$是循环四边形的顶点， $p，q，r，s$侧面的长度 $广告，AB，BC，CD，$分别。然后

$\ begin {alpioned}（\ text {abcd）\ \ Equiv k＆=（\ try {triangle adb）+（\ text {triangle bdc的区域）\\\\＆= \ frac{pq \ sin a} {2} + \ frac {rs \ sin c} {2}。\结束{对齐}$

自四边形是循环的， $\ sin a = \ sin c，$所以

$\ begin {对齐} k＆= \ frac {pq \ sin a} {2} + \ frac {rs \ sin a} {2} \\ k ^ 2＆= \ frac {1} {4} {（pq + rs）} ^ {2} \ sin ^ {2} {a} \\ 4k ^ {2}＆= {\ left（pq + rs \ rice）} ^ {2} \ big（1- \ cos ^ {2} {} \ big）\\＆= {\ left（pq + rs \ light）} ^ {2} - {\ left（pq + rs \ revent）} ^ {2} \ big（\ cos ^ {2} {一个大的）。qquad（1）\结束{对齐}$

解决共同面 $D B$在三角形 $ADB.$和 $BDC.$我们使用余弦定律

${p} ^ {2} + {q} ^ {2} -2pq \ cos a = {r} ^ {2} + {s} ^ {2} -2rs \ cos c。$

作为角度 $一种$和 $C$是补充的， $\ cos a = - \ cos c$和

$2（pq + Rs）\ cos a = {p} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^ {2} - {s} ^ {2}。$

将其替换为区域的等式 $（1），$我们得到了

$16 {k} ^ {2} = {4（pq + Rs）} ^ {2} - {\ big（{p} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^ {2} -{s} ^ {2} \ big）} ^ {2}。$

等式的RHS是表格 ${a} ^ {2} - {b} ^ {2}$，所以它可以写成

$\ begin {对齐} \ big [2（pq + rs） - \ big（{p} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^ {2} - {s} ^ {2} \大）\ big] \ big [2（pq + rs）+ \ big（{p} ^ {2} + {q} ^ {2} - {r} ^ {2} - {s} ^ {2} \B.ig)\Big] &=\big[ { \left( r+s \right) }^{ 2 }-{ \left( p-q \right) }^{ 2 } \big] \big[ { \left( p+q \right) }^{ 2 }-{ \left( r-s \right) }^{ 2 } \big] \\ \\ &=(p+q+r-s)(p+q-r+s)(p-q+r+s)(-p+q+r+s). \end{aligned}$

所以，循环四边形的面积侧面 $A B C D$可以写成

$K.=\frac { 1 }{ 4 } \sqrt { (a+b+c-d)(a+b-c+d)(a-b+c+d)(-a+b+c+d) }.\ _\square$

• 苍鹭的公式