黑体辐射

许多人认为马克斯·普朗克在20世纪初对黑体辐射的研究是量子力学和现代物理学的开端。毕竟，考虑到普朗克时代的技术，黑体可能代表了最简单的宏观系统，它显示出了与经典物理学的明显偏差，这很容易测量。

一个理想的黑体吸收所有入射的电磁辐射，所有这些都是随后发生的再次辐射．在热平衡时，黑体吸收能量的速率等于它辐射能量的速率。利用统计物理原理，可以证明黑体辐射的光谱分布只取决于它的温度 $T$．

从热力学的角度来说，我们可以把黑体模拟成光子气体。一般来说，我们可以认为每个光子都有一些能量 $E (f)$作为频率的函数 $f。^ \文本{[1]}$经典的假设是 $E$是独立于 $f$此外, $E$允许连续变化。在哪里 $k$表示玻尔兹曼常数，这些假设导致Rayleigh-Jeans法律

$u (f, T) = \压裂{8 f \πh ^ 3} {c ^ 3} \ cdot \压裂{1}{e ^{高频/ (kT)} 1} \大约\压裂{8 f ^ \π2}{c ^ 3} kT,$

它给出了黑体的光谱能量密度(功率/体积/频率)。

谱能量密度为

$u(f, T) = \bar{E} N(f)，$

在哪里 $酒吧\ {E}$光子的平均能量是多少 $N (f)$表示每频率的光子密度 $f$．统计力学认为光子遵循玻耳兹曼分布 $e ^ {- e / (kT)}$，所以平均能量是

$\酒吧{E} = \压裂{\ int_0 ^ ^ \ infty E E {- E / (kT)} \, dE} {\ int_0 ^ ^ \ infty E {- E / (kT)} \, dE} = \压裂{(kT) ^ 2} {kT} = kT。$

同时，可以看出光子的密度为

$N(f) = frac{8\ f^2}{c^3}。$

因此

$u(f, T) = frac{8\ f^2}{c^3} kT。\ _ \广场$

对小 $f$，瑞利-詹定律与实验值相当吻合。然而,对于更大的 $f$，例如光谱的紫外线部分，瑞利-牛仔裤分布完全失效。更糟糕的是 $u$是无限的 $f$生长大。当把整个光谱综合起来时，瑞利-琼斯分布表明黑体辐射出无限的能量，这个问题后来被称为“紫外线灾难”。

解决紫外线灾难的方法有很多都失败了。普朗克的关键见解是，如果光子不被允许具有任意的能量，而是只能具有任意的能量量化(离散)倍数与频率成比例，然后得到正确的频谱。特别地，普朗克认为存在某个常数 $h$具有频率的光子能量 $f$可以是任意整数倍 $高频$,或

$E (f) = nhf$

为正整数 $n$．

当全部加起来 $n$，可以得到光子的平均能量，得到的能谱具有

$u (f, T) = \压裂{8 f ^ \π2}{c ^ 3} \离开(\压裂{高频}{e ^{高频/ (kT)} - 1} \右),$

和瑞利-牛仔裤定律不同的是 $f$生长大。

就像对平均光子能量的瑞利-詹定律的推导一样 $酒吧\ {E}$和光子密度 $N (f)$，谱能量密度为

$u(f, T) = \bar{E} N(f)，$

在哪里 $酒吧\ {E}$光子的平均能量是多少 $N (f)$表示每频率的光子密度 $f$．假设光子能量的离散分布 $E (f) = nhf$，平均能量可以通过计算得到

$酒吧\ displaystyle \ {E} = \压裂{\ sum_ {n = 0} ^ \ infty nhf E ^ {-nhf / (kT)}} {\ sum_ {n = 0} ^ \ infty E ^ {-nhf / (kT)}} = \压裂{高频}{E ^{高频/ (kT)} - 1}。$

(求和可以用标准几何级数方法计算。)

和之前一样，光子密度是

$N(f) = frac{8\ f^2}{c^3}。$

因此,

$u (f, T) = \压裂{8 f ^ \π2}{c ^ 3} \离开(\压裂{高频}{e ^{高频/ (kT)} - 1} \右),$

也就是普朗克分布。 $_ \广场$

当时，普朗克认为量子化 $E$这是一个纯粹的数学“把戏”，但最终我们清楚地看到，光的量子化有一个物理基础，这被爱因斯坦几年后在他的解释中充实了光电效应．

因为黑体发出的辐射是各向同性(各方向相同)，它认为强度(单位面积的功率)是简单的 $我= \压裂{铜}4$．因此，我们可以用强度和波长来表示普朗克定律

$我(\λ,T) = \压裂{2 \π}{\λ^ 5}\离开(\压裂{hc ^ 2} {e ^ {hc /(\λkT)} - 1} \右)。$

可以看出，达到最大强度的波长与 $\压裂{1}T$：

$文本\ lambda_{\{马克斯}}\ propto \压裂{1}{T},$

这个结果被称为维恩位移定律．比例常数是维恩位移不变 $b \近似2900 \，\mu\text{m} \cdot \text{K}$．

一般来说，当黑体升温时，它的发射光谱会转变为高能光谱，以更短的波长或更高的频率表示。

作为第一近似值，许多物体，如恒星，可以被视为适用普朗克定律的理想黑体。例如，可以通过实验确定太阳的峰值强度约为 $500 \ \文字{nm}$，所以维恩位移定律给出了太阳的温度是

$T_ \文本识别{太阳}= \压裂{2900 \ \μ\ {m} \ cdot \文本{K}}{500 \ \文字{nm}} = 5800 \ \文字{K}。$

(恒星的温度实际上是通过测量它们的发射光谱来确定的。)

普朗克分布可以对整个光谱进行积分，以表明辐射强度(单位面积功率) $我$正比于温度的四次方 $T$，这一结果被称为斯蒂芬玻尔兹曼定律：

$I =∑T^4，$

在哪里 $\σ$是斯蒂芬玻尔兹曼常数

${2 \pi^5 k^4}{15 c^2 h^3}。$

这使我们能够计算，例如，总功率 $P$由太阳放射出来的因为太阳的辐射是在一个半径为1的球面上发射的 $r_ \文本{太阳}$,你会发现

$P = 4 \pi r_\text{sun}^2 I = 4 \pi r_\text{sun}^2 \sigma T_\text{sun}^4$

使用的价值 $T_\text{sun} = 5800 \， \text{K}$获得, $R_ \text{sun} = 6.96 \cdot 10^8 \， \text{m}$收益率 $P_\text{sun} = 3.8 \cdot 10^{26} \， \text{W}$．

宇宙温度:

宇宙微波背景(CMB)起源于早期宇宙中的热等离子体。假设我们把宇宙微波背景辐射的源看作是一个黑体。如果宇宙以恒定的速度膨胀，那么它的体积 $V$是由

$V = H_0，$

在哪里 $H_0$是哈勃常数，则CMB发射的总能量为

$E =∑T^4 V =∑T^4 H_0 T，$

在哪里 $T$是CMB的温度。因为能量是守恒的，随着时间的推移，宇宙的温度会变得

$左(T = \ \压裂{E}{\σH_0 T} \右)^ {\ frac14}。$

换句话说，随着宇宙的膨胀，它的温度会逐渐降低 $（$CMB的当前温度约为 $2.7 \， \text{K})。$

从历史上看，科学家们不会把电磁辐射称为光子，而是称为振荡波(第一个这样做的是爱因斯坦)。但同样的论点基本上适用。