毕奥萨伐尔定律

的毕奥萨伐尔定律提供以下定义微分磁场， $d \ vec {B},$当电流， $我,$流过一根无穷小长度的导线， $vec {l d \},$在远处， $r,$走了。

$vec {B} = d \ \压裂{{}\ mu_0 \文本我文本{}\ d vec {l} \ \ * \帽子{r}}{4 \πr ^ 2}$

比奥-萨伐尔定律对于找出电流作用下磁场的方向是必要的，而且对于计算不同导线结构的磁场非常方便。

^[1]

磁场的方向来自 $d vec {l} \ \ * \帽子{r}$而且叉积性质．

• $vec {l d \}$是导线的差动长度。它的方向与流过它的电流的方向相同。

• $r \帽子{}$是一个单位向量从电线到调查地点。

$$

$$

电流沿负x方向流过位于原点的一根无穷小长度的导线。求负z轴上一点的磁场方向。

---

为了确定方向，先写下来 $vec {l d \}$而且 ${r} \的帽子。$因为电流是负x方向的，

$D \vec{l} = -\hat{x}。$

导线位于原点而研究点在负z轴上，所以

$\hat{r} = -\hat{z}。$

求叉乘。

$d vec {l} \ \ * \帽子{r} =(- \帽子{x}) \ *(- \帽子{z}) = - \帽子{y}$

在实际计算磁场时，遵循这些一般步骤是有帮助的。

1)评估 $d vec {l} \ \ * \帽子{r}。$

2)改变变量。

3)集成。

一根长度棒 $l$躺在 $y$带电流轴 $我$跑步在 $+ y$-direction，结束于 $y_1$而且 $y_2。$磁场在什么位置 $(x_1,0) ?$

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1)评估 $d vec {l} \ \ * \帽子{r}。$

由于电流沿y轴向上， $D \vec{l} = D \hat{y}。$

$d vec {l} \ \ * \帽子{r} = dy | | \帽子{r} | | \罪\θ\帽子{z} =θdy \罪\ \帽子{z}$

2)改变变量。

自 $\θ$y轴和位移向量之间的夹角是从y轴指向的吗 $(x_1, 0),$

$\sin\theta = \frac{x_1}{r}$

因此,

$R = \frac{x_1}{\sin\theta}。$

同时,

$\tan\theta = \frac{x_1}{y}$

$Y = \frac{x_1}{\tan\theta} = x_1 \cot\theta$

$Dy = x_1 (-\csc^2\) d\ = -x_1 \csc^2\ d\$

比奥-萨伐尔定律是这样的

$vec {B} = d \ \压裂{{}\ mu_0 \文本我文本{}\ d vec {l} \ \ * \帽子{r}}{4 \πr ^ 2} = \压裂{{}\ mu_0 \文本我罪\文本{}dy \ \θ\帽子{z}}{4π\ \大(\压裂{x_1}{θ罪\ \}\大)^ 2}= \压裂{\ mu_0 \文本{}\文本{}(-x_1 \ csc ^ 2 \θd \θ)\罪^ 3 \θ\帽子{z}}{4 \πx_1 ^ 2}$

$vec {B} = - d \ \压裂{{}\ mu_0 \文本我罪\文本{}\ \θd \θ}{4 \πx_1} \帽子{z}$

3)集成。

$vec {B} = - \ \压裂{\ mu_0我}{4 \πx_1} \帽子{z} \ int_ {\ theta_1} ^ {\ theta_2} \罪\ \θ=θd \压裂{\ mu_0我}{4 \πx_1} (\ cos \ theta_2 - \因为\ theta_1) \帽子{z}$

$\cos\theta =\frac{y}{r}=\frac{y}{\√{y^2+r^2}}$

如果上面例子中的棒子是无限长的，磁场是多少?

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开始

$vec {B} = \ \压裂{\ mu_0我}{4 \πx_1} (\ cos \ theta_2 - \因为\ theta_1) \帽子{z}。$

当长度接近无穷大时， $\theta_2 \右tarrow 0^\circ$而且 $\theta_1 \右tarrow 180^\circ，$所以

$vec {B} = \ \压裂{\ mu_0我}{4 \πx_1} (\ cos 0 ^ \保监会\因为180 ^ \保监会)\帽子{z} = \压裂{\ mu_0我}{2 \πx_1}。$

这对于研究过的人来说应该很熟悉磁场．

1. Vandegrift G。磁场元件(毕奥-萨伐尔定律)．检索2016年6月8日，从https://commons.wikimedia.org/wiki/File Magnetic_field_element_ (Biot-Savart_Law) . jpg