二项堆gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba二项堆gydF4y2Ba是具体实现的吗gydF4y2Ba堆gydF4y2Ba数据结构。二项堆是集合gydF4y2Ba二项树gydF4y2Ba它们连接在一起，每棵树都是一个有序堆。在二叉树堆中，有一棵二叉树或零棵二叉树gydF4y2Ba $k,gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$帮助描述给定树的元素数量:gydF4y2Ba $2 ^ kgydF4y2Ba$．二项堆类似于gydF4y2Ba二进制堆gydF4y2Ba但二项堆有一个更具体的结构，并允许高效地合并堆。堆通常用于实现gydF4y2Ba优先级队列gydF4y2Ba它们又被用于许多类型的算法的实现中，比如gydF4y2Ba最短路径查找算法gydF4y2Ba-这些快速的操作有助于使这些算法更有效。gydF4y2Ba

二项树gydF4y2Ba^{［1］gydF4y2Ba}

二项堆是由gydF4y2Ba二项树gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

二项树gydF4y2Ba $B_kgydF4y2Ba$是由两棵二叉树组成的吗gydF4y2Ba $B_ {k - 1}gydF4y2Ba$连接在一起，使得一个根是另一个根的最左边的子结点。gydF4y2Ba^{［2］gydF4y2Ba}

二项式树递归定义如下:gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}

• 0阶的二叉树是一个单节点。gydF4y2Ba
• 一个k阶的二叉树有一个根节点，它的子节点是k - 1, k - 2，…、2,1,0(按此顺序)。gydF4y2Ba

下图是顺序为0、1、2和3的二项式树的集合(从左到右)。顺序表示根节点能够拥有多少个子节点。例如，order3节点有三个子节点，而order0节点没有子节点。gydF4y2Ba

在这个图中，显示了顺序为0到3的二项式树，它们的子树高亮显示:不同顺序的子树有不同的高亮颜色。例如，顺序3的二叉树连接到顺序2、1和0(分别以蓝色、绿色和红色突出显示)的二叉树。gydF4y2Ba^{［1］gydF4y2Ba}

二项树的性质gydF4y2Ba^{［４］gydF4y2Ba}

一个订单gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$二项树gydF4y2Ba $B_kgydF4y2Ba$具有以下属性:gydF4y2Ba

• 这棵树的高度是gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．例如，在上图中，如果树只包含0gydF4y2Ba $^ \文本{th}gydF4y2Ba$顺序节点，高度是gydF4y2Ba $0gydF4y2Ba$．因为整个树是有序的gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$，其高度为gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$
• 总共有gydF4y2Ba $2 ^ kgydF4y2Ba$树中的节点。gydF4y2Ba
• 这棵树已经gydF4y2Ba ${k \选择我}gydF4y2Ba$节点深度gydF4y2Ba $我。gydF4y2Ba$
• 根的度是gydF4y2Ba $k。gydF4y2Ba$
• 删除根产量gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$二叉树:gydF4y2Ba $B_k-1 \ cdots B_0。gydF4y2Ba$

二项堆可以使用gydF4y2Ba双链表gydF4y2Ba存储根节点。每个节点存储关于父指针、左、右兄弟指针、左多数子指针、子指针的数量和键的信息。由于列表是双向链接的，父节点有指向子节点的指针，子节点有指向父节点的指针。使用双链表可以在固定时间内插入和删除根列表，将两个根列表合并在一起需要固定时间，等等。gydF4y2Ba

二项堆的结构类似于gydF4y2Ba二进制数gydF4y2Ba系统。例如，二项堆包含gydF4y2Ba $63gydF4y2Ba$元素将包含有序的二项式树gydF4y2Ba $1, 2, 3, 4, 5，gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $6gydF4y2Ba$因为把十进制的63写成二进制需要6位数字。63的二进制数是111111。gydF4y2Ba

二项堆的性质gydF4y2Ba^{［４］gydF4y2Ba}

对于二项堆gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$节点,gydF4y2Ba

• 包含最小元素的节点是任一元素的根gydF4y2Ba $B_0、B_1 \ ldotsgydF4y2Ba$或gydF4y2Ba $B_k;gydF4y2Ba$
• 总的来说，堆有gydF4y2Ba $leq \lfloor \log_2 n \rfloor + 1gydF4y2Ba$二叉树;gydF4y2Ba
• 堆的高度是gydF4y2Ba $leq \lfloor \log_2 n \rfloorgydF4y2Ba$

二项堆必须满足gydF4y2Ba二项堆属性gydF4y2Ba．物业情况如下:gydF4y2Ba^{［3］gydF4y2Ba}

二项堆属性gydF4y2Ba

• 二项最小堆中的每一棵二项树都服从gydF4y2Ba最小堆属性gydF4y2Ba(一个节点的键值大于或等于其父节点的键值)，并且在二叉树Max堆中的每棵二叉树都服从gydF4y2Bamax-heap财产gydF4y2Ba(一个节点的键小于或等于其父节点的键)。gydF4y2Ba

• 每一阶只能有一棵或零棵二叉树。换句话说，对于每一个gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$，最多有一个有序的二叉树gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$在堆中。gydF4y2Ba

第一个属性确保min/max堆属性在整个堆中保持不变。gydF4y2Ba

第二个属性意味着二项堆具有gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$节点最多由gydF4y2Ba $\log n + 1gydF4y2Ba$二叉树，这是二叉堆的一个性质。gydF4y2Ba^{［2］gydF4y2Ba}为了维护此属性，可能需要在操作后合并堆。例如，如果一个操作导致两个二阶堆，则必须采取步骤来纠正这个错误，以便保持二项堆属性。gydF4y2Ba

包含13个具有不同键的节点的二项堆示例。堆由三棵二项式树组成，顺序为0、2和3。gydF4y2Ba^{［5］gydF4y2Ba}

节点的子节点在一个双链表中链接在一起。每个子节点都有一个指向其父节点的指针，而其父节点又有一个指向其中一个子节点的指针。这是上面的二项堆的样子gydF4y2Ba链表gydF4y2Ba根:gydF4y2Ba^{［6］gydF4y2Ba}

下面是二项堆如何实现堆的基本功能和每个操作的时间复杂度。这些操作用最小二项堆来描述，但可以很容易地调整为最大二项堆。gydF4y2Ba

找到最小gydF4y2Ba

使用gydF4y2Bafind-mingydF4y2Ba函数查找堆中的最小元素，并在根列表中查找最小元素。最多有gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$树gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$因此gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$根gydF4y2Ba $)，gydF4y2Ba$所以我们来看看gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$求最小元素需要的根gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$时间。gydF4y2Ba

哪些节点gydF4y2Bafind-mingydF4y2Ba函数搜索在堆中显示在上面的部分?gydF4y2Ba

显示答案gydF4y2Ba

它将搜索包含树的根的链表。这个列表是gydF4y2Ba $(9、5、12)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

合并gydF4y2Ba

二项堆gydF4y2Ba合并gydF4y2Ba函数生成一个新的堆gydF4y2Ba联盟gydF4y2Ba两个二项堆。二叉树的根节点是最小的元素。另一棵二叉树变成了新根的一个子树。比较待合并树的根节点的键值，节点就成为新树的根节点。gydF4y2Ba

例如，要合并下面的两个二项式树，请比较根节点。自gydF4y2Ba $7 > 3gydF4y2Ba$，左边的黑树(根节点7)作为一棵子树连接到右边的灰树(根节点3)。结果是一个3阶的树。gydF4y2Ba

^{［7］gydF4y2Ba}

合并操作的运行时间为gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$是两个堆中较大的那个堆中的节点数。gydF4y2Ba

合并二项树gydF4y2Ba

下面是描述二项式树合并操作的伪代码。gydF4y2Ba^{［8］gydF4y2Ba}

1 2 3 4 5 5gydF4y2Ba

如果p.root.key <= q.root.key返回p. addsubtree (q) else返回q. addsubtree (p)gydF4y2Ba

合并二项堆gydF4y2Ba这显示了两个二项堆的合并。这是通过合并两个相同顺序的二叉树来实现的。如果合并后的树与两个堆中的一棵二项树的顺序相同，那么这两棵树将再次合并。gydF4y2Ba^{［9］gydF4y2Ba}

下面是描述如何合并二项式堆的伪代码。gydF4y2Ba^{［8］gydF4y2Ba}

1 2 3 4 5 6 7 8 9gydF4y2Ba

//当p和q是堆而不是(p.end()和q.end()) tree = mergeTree(p. currenttree ()， q. currenttree ()) if not heap.currentTree().empty() tree = mergeTree(tree, heap.currentTree()) heap.addTree(tree) heap.next();p.next ();q.next ()gydF4y2Ba

解释了为什么gydF4y2Ba合并gydF4y2Ba需要gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$时间。gydF4y2Ba

显示答案gydF4y2Ba

合并gydF4y2Ba在gydF4y2Ba $h_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $h_2gydF4y2Ba$遍历根的链表gydF4y2Ba $h_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $h_2gydF4y2Ba$．让gydF4y2Ba $n_1gydF4y2Ba$的节点数gydF4y2Ba $h_1,gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $甲烷、gydF4y2Ba$的节点数gydF4y2Ba $h_2gydF4y2Ba$．换句话说，它至多遍历一次gydF4y2Ba $log n_1 + log n_2 + 2 leq 2 + log n + 2gydF4y2Ba$节点。gydF4y2Ba

运行时间与根列表中的树的数量成正比。因此,需要gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$在最坏情况下合并两个堆的时间。gydF4y2Ba^{［10］gydF4y2Ba} $_ \广场gydF4y2Ba$

提取最小gydF4y2Ba

该操作删除二项堆中键值最小的节点。为此，该函数找到根gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$与gydF4y2Bafind-mingydF4y2Ba函数，然后删除它。这将原始堆分成两个，因此需要使用gydF4y2Ba合并gydF4y2Ba函数。这个操作需要gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$时间。gydF4y2Ba

下面是描述如何删除或提取最小元素的伪代码。gydF4y2Ba^{［8］gydF4y2Ba}

1 2 3 4 5 6 7 8gydF4y2Ba

函数deleteMin(heap) min = heap.trees().first() for each current in heap.trees() if current。tmp. addtree (tree) heap. removetree (min) merge(heap, tmp)gydF4y2Ba

插入gydF4y2Ba

插入gydF4y2Ba取二项式堆gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$和插入元素gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$进去。它创建了一个新的堆gydF4y2Ba $H”gydF4y2Ba$和插入gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$进去。然后合并gydF4y2Ba $H”gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $HgydF4y2Ba$以获得最终的组合堆。gydF4y2Ba

这个操作需要gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$时间，但是平摊的时间gydF4y2Ba插入gydF4y2Ba是gydF4y2Ba $O (1)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

删除gydF4y2Ba

把一个元素gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$．如果gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$在堆中，使用gydF4y2Ba降低关键gydF4y2Ba的值gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$的键指向负无穷，并使用gydF4y2Ba取出最小值gydF4y2Ba函数。gydF4y2Ba

此操作的运行时间为gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

降低关键gydF4y2Ba

这个函数接受一个元素gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$从二项堆中减小其键值gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$．如果gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$是二叉树吗gydF4y2Ba $B_kgydF4y2Ba$,反复交换gydF4y2Ba $xgydF4y2Ba$直到堆顺序恢复。gydF4y2Ba

此操作的运行时间为gydF4y2Ba $O (\ log n)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

下面是二项堆的伪代码实现:gydF4y2Ba^{[１１]gydF4y2Ba［2］gydF4y2Ba}

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17日18 19 20 21日22日23日24日25日26日27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101gydF4y2Ba

Make-Binomial-Heap()头[H] = NIL返回H Binomial-Heap-Minimum (H) y: = NIL x: =头[H]分钟:=无穷而x < >零如果关键[x] <分钟然后分钟:=关键[x] y: = x x: y =兄弟[x]返回Binomial-Link (y, z) p [y]: z =兄弟[y]: =孩子[z] [z]: = y学位[z]: [z] =度+ 1 Binomial-HeapMerge (H1, H2) =交头接耳(H1) b = (H1) = (H2)的头Min-Degree (,b)如果头(H1) = NIL返回头(H1) = b b = =头(H1),而b < >如果兄弟[a] = NIL做零然后兄弟[a] = b返回else if学位[兄弟[一]]<学位[b]然后=其他兄弟姐妹(一)c =兄弟姐妹兄弟[b] = [b]兄弟(一)兄弟(一)= b =兄弟[a] b = c Binomial-Heap-Union (H1, H2) H: = Make-Binomial-Heap()头[H]: =Binomial-Heap-Merge (H1, H2)免费H1和H2的对象而不是列出他们指出,如果头[H] = NIL然后返回H prev-x: = NIL x: =头[H]后x: =兄弟[x]虽然后x < >零如果(学位[x] < >学位[后x])或(兄弟姐妹(后x) < >零和程度[兄弟[后x]] = [x])程度然后prev-x: = x x: =后x else if键[x] < =键(后x)然后兄弟[x]: =兄弟[后x] Binomial-Link(后x, x)其他如果prev-x = NIL然后[H] =后x其他兄弟[prev-x]: =后x Binomial-Link (x,后x) x: =后x后x: =兄弟[x]返回H Binomial-Heap-Insert (H (x) H ': = Make-Binomial-Heap () p (x): = NIL孩子[x]: = NIL兄弟[x]: = NIL学位[x]: = 0头[H]: = x H: =在H的根列表中找到具有最小键的根x，和删除x从根的H H ': = Make-Binomial-Heap()反向链表的顺序x的儿童套头[H]指结果列表的H: = Binomial-Heap-Union (H, H)返回x Binomial-Heap-Decrease-Key (H, x, k)如果k >键[x]然后错误“凿键大于当前键”键[x]: y = k: = x z:当z = p (y)<> NIL and key[y] < key[z] do exchange key[y] and key[z] if y and z have satellite fields, exchange them, too. y := z z := p[y] Binomial-Heap-Delete(H,x) Binomial-Heap-Decrease-Key(H,x,-infinity) Binomial-Heap-Extract-Min(H)

Python对二项式堆的实现要比这个伪代码长得多。可以找到一些Python实现的例子gydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba，gydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba,gydF4y2Ba在这里gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

• 二进制堆gydF4y2Ba

• 斐波那契堆gydF4y2Ba

• 配对堆gydF4y2Ba

• 堆排序gydF4y2Ba

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