双射，注射，和射gydF4y2Ba

函数可以gydF4y2Ba注射gydF4y2Ba（gydF4y2Ba一对一的函数gydF4y2Ba），gydF4y2Ba满射gydF4y2Ba（gydF4y2Ba在函数gydF4y2Ba)或gydF4y2Ba双射gydF4y2Ba(包括gydF4y2Ba一对一的gydF4y2Ba和gydF4y2Ba到gydF4y2Ba）.非正式地说，一个注入的每个输出至多被一个输入映射到，一个反射包括输出中的整个可能范围，而一个双反射有两个条件都为真。gydF4y2Ba

这个概念允许比较gydF4y2Ba基数gydF4y2Ba集,gydF4y2Ba证明gydF4y2Ba比较有限集和无限集的大小。gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba函数gydF4y2Ba $f \: X\到YgydF4y2Ba$每个元素都有这样的规则吗gydF4y2Ba $在x, x \gydF4y2Ba$同事一个元素gydF4y2Ba $f (x) \ Y。gydF4y2Ba$的元素gydF4y2Ba $f (x)gydF4y2Ba$有时被称为gydF4y2Ba $x,gydF4y2Ba$和的子集gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$由元素的图像组成的gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是什么形象gydF4y2Ba $f。gydF4y2Ba$也就是说,gydF4y2Ba

$(x = x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x, x)gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $f \: X \到YgydF4y2Ba$是一个函数。然后gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba内射gydF4y2Ba如果不同的元素gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$映射到不同的元素gydF4y2Ba $Y。gydF4y2Ba$

也就是说,如果gydF4y2Ba $x_1gydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $x_2gydF4y2Ba$在gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $x_1 \ ne x_2gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $f (x_1)、ne f (x_2)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

这等价于ifgydF4y2Ba $f (x_1) = f (x_2)gydF4y2Ba$,然后gydF4y2Ba $x_1 = x_2gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

“单射”的同义词是“一对一”。gydF4y2Ba

这个函数gydF4y2Ba $f\冒号{\mathbb Z}到{\mathbb Z}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f (n) = 2 ngydF4y2Ba$是单射:如果gydF4y2Ba $2 x_1 = 2 x_2,gydF4y2Ba$两边同时除以gydF4y2Ba $2gydF4y2Ba$收益率gydF4y2Ba $x_1 = x_2。gydF4y2Ba$

这个函数gydF4y2Ba $f\冒号{\mathbb Z}到{\mathbb Z}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $F (n) =大层压裂n2大层压裂gydF4y2Ba$不是单射;例如,gydF4y2Ba $F (2) = 1gydF4y2Ba$但gydF4y2Ba $2 \ 3。gydF4y2Ba$

这个函数gydF4y2Ba $f\冒号{text{德国足球运动员为2014年世界杯决赛穿的衣服}\}{mathbb N}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f(A) = \text{球衣号码gydF4y2Ba$是单射;不允许两名球员穿相同号码的衣服。gydF4y2Ba

单射函数的存在性给出了关于其定义域和值域的相对大小的信息:gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$是有限集gydF4y2Ba $f \结肠X、YgydF4y2Ba$是内射,那么gydF4y2Ba $| X Y | | \ le |。gydF4y2Ba$

让gydF4y2Ba $f \: X\到YgydF4y2Ba$是一个函数。然后gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba满射gydF4y2Ba如果每个元素gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$图像中是否至少有一个元素gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$也就是说,gydF4y2Ba $文本\{形象}(f) = Y。gydF4y2Ba$

象征性地,gydF4y2Ba

$对于所有y在y中，在x中存在x，在x中存在x，这样的话，f(x) = y。gydF4y2Ba$

“满射”的同义词是“onto”。gydF4y2Ba

这个函数gydF4y2Ba $f\冒号{\mathbb Z}到{\mathbb Z}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f (n) = 2 ngydF4y2Ba$不是满射:没有整数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $f (n) = 3,gydF4y2Ba$因为gydF4y2Ba $2 n = 3gydF4y2Ba$没有解gydF4y2Ba $\ mathbb Z。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $3.gydF4y2Ba$是不是在想象中gydF4y2Ba $f。gydF4y2Ba$

这个函数gydF4y2Ba $f\冒号{\mathbb Z}到{\mathbb Z}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $F (n) =大层压裂n2大层压裂gydF4y2Ba$是满射。对于任何一个整数gydF4y2Ba $米,gydF4y2Ba$请注意,gydF4y2Ba $F (2m) =大\lfloor \frac{2m}2大\rfloor = m，gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $米gydF4y2Ba$是在影像中吗gydF4y2Ba $f。gydF4y2Ba$所以像gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$=gydF4y2Ba $\ mathbb Z。gydF4y2Ba$

这个函数gydF4y2Ba $f \冒号\{text{US senators}\} to \{text{US states}\}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f(A) = \text{A \text{所代表的状态}gydF4y2Ba$是满射;每个州至少有一名参议员。gydF4y2Ba

满射函数的存在给出了关于其定义域和值域的相对大小的信息:gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$是有限集gydF4y2Ba $f \结肠X、YgydF4y2Ba$是满射,那么gydF4y2Ba $| X Y | | \通用电气|。gydF4y2Ba$

如果一个集合的每个元素只与另一个集合的一个元素配对，而第二个集合的每个元素只与第一个集合的一个元素配对，则该函数是两个集合的双射函数。这意味着所有元素都是成对的。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $f \: X \到YgydF4y2Ba$是一个函数。然后gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba双射gydF4y2Ba如果它是内射和满射;也就是说，每个元素gydF4y2Ba $在y y \gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba一个gydF4y2Ba元素gydF4y2Ba $在x x \。gydF4y2Ba$

这个函数gydF4y2Ba $f \冒号{mathbb R} \到{mathbb R}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f (x) = 2 xgydF4y2Ba$是一个双射。gydF4y2Ba

这个函数gydF4y2Ba $f \冒号{\mathbb Z}到{\mathbb Z}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $F (n) = \begin{cases} n+1 &\text{if} n \text{是奇数}\ \ n-1&\text{if} n \text{是偶数}\end{cases}gydF4y2Ba$是一个双射。gydF4y2Ba

这个函数gydF4y2Ba $结肠f \ \{\文本{个月}\}\ \ {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12 \}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f(M) = \text{the number} n \text{使}M \text{是}n^\text{th} \text{month}gydF4y2Ba$是一个双射。gydF4y2Ba

注意，上面的讨论暗示了以下事实(见gydF4y2Ba双射函数gydF4y2Bawiki为例):gydF4y2Ba

如果gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $YgydF4y2Ba$是有限集gydF4y2Ba $f \结肠X、YgydF4y2Ba$是双射的,那么gydF4y2Ba $| | X = Y | |。gydF4y2Ba$

下面是对双射的另一种描述，在证明中经常有用:gydF4y2Ba

假设gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$非空的。然后gydF4y2Ba $f \: X \到YgydF4y2Ba$双射是否当且仅当存在一个函数gydF4y2Ba $g\: Y \到XgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $g \保监会fgydF4y2Ba$身份是gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f \保监会ggydF4y2Ba$身份是gydF4y2Ba $Y;gydF4y2Ba$也就是说,gydF4y2Ba $g \大(f (x) \大)= xgydF4y2Ba$和gydF4y2Ba $f \大(g (y) \大)= ygydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $x在x, y在y。gydF4y2Ba$当这种情况发生时，函数gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba逆函数gydF4y2Ba的gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$这也是一种双射。gydF4y2Ba

证明函数gydF4y2Ba $f\冒号{mathbb R} \到{mathbb R}gydF4y2Ba$定义为gydF4y2Ba $f (x) = x ^ 3gydF4y2Ba$是一个双射。gydF4y2Ba

---

而不是显示gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是单射还是满射更容易定义gydF4y2Ba $g\冒号{mathbb R} \to {mathbb R}gydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $g (x) = x ^ {1/3}gydF4y2Ba$为了证明这一点gydF4y2Ba $ggydF4y2Ba$是gydF4y2Ba $f。gydF4y2Ba$这是恒等式的结果gydF4y2Ba $\big(x^{1/3}\big)^3 = x。gydF4y2Ba$ $\大(gydF4y2Ba$接下来的问题，同样的证明并不适用gydF4y2Ba $f (x) = x ^ 2。gydF4y2Ba$为什么不呢?gydF4y2Ba $\大)gydF4y2Ba$