伯努利分布

的伯努利分布本质上模拟了一次投掷加权硬币的试验。它是一个只有两个值的随机变量的概率分布， $1$(“成功”) $0$(“失败”)的概率是互补的 $p$和 $1 - p,$分别。因此，伯努利分布描述的事件只有两种结果，这在现实生活中是普遍存在的。这类事件的一些例子如下:一支队伍将赢得一个冠军或没有，一个学生将通过或不通过考试，和一个骰子将显示6或任何其他数字。

伯努利分布是建立伯努利试验模型的离散分布的基石，例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-distribution/" class="wiki_link" title="几何分布" target="_blank">几何分布．

伯努利分布是随机变量的概率分布 $X$有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-probability-density/" class="wiki_link" title="概率密度函数" target="_blank">概率密度函数

${公关}\文本(X = X) = \ p{病例}& &开始X = 1 \ \ 1 - p & & X = 0 \ \ \{病例}结束$

为 $0 < p < 1$．

直观地说，它描述了一个具有两种结果的单一实验:成功(“1”)发生的概率 $p,$失败(“0”)与概率发生 $1 - p。$它描述了一个单一的试验<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/">伯努利实验．

伯努利分布概率密度函数的封闭形式是 $P (x) = ^ {x} (1 - P) ^ {1 - x}$．

我们可以将伯努利分布图形表示如下:

在这里, $p = 0.3$．

一枚均匀的硬币被抛一次。用伯努利分布来模拟实验结果 $p = 0.5$．

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/" class="wiki_link" title="" target="_blank">期望值伯努利分布的

$E(X) = 0\乘以(1-p) + 1\乘以p = p。$

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/variance-definition/" class="wiki_link" title="" target="_blank">方差伯努利分布的

$Var (X) = E (X ^ 2) - E (X) ^ 2 = 1 ^ 2 \ * p + 0 ^ 2 \ * (1 - p) - p ^ 2 = p - p ^ 2 = p (1 - p)。$

的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/data-mode/" class="wiki_link" title="" target="_blank">模式，伯努利分布中出现概率最高的值是 $1$如果 $p > 0.5$和 $0$如果 $p < 0.5$．如果 $p = 0.5$在美国，成功和失败的可能性是一样的，而且两者都有 $0$和 $1$是模式。这一点直觉上很清楚:因为只有两种结果的概率是互补的， $p > 0.5$意味着成功的概率高于失败的概率。

伯努利分布的基本性质可以通过取 $n = 1$在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布．

使用属性，例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="线性的期望" target="_blank">线性的期望和计算方差的规则，伯努利分布被用于计算基于伯努利实验的分布性质，例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布．

伯努利分布模型的情况如下:

• 新生儿有男有女。(这里孩子是男性的概率大约是0.5。)
• 你考试不是及格就是不及格。

• 网球运动员不是赢就是输一场比赛。

• 掷向圆形飞镖的飞镖随机地落在它的区域(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/1-dimensional-geometric-probability/" class="wiki_link" title="例子" target="_blank">例子）.省道着陆时，要么离中心更近，要么离边缘更近(在第二种情况下，要么离边缘更近，要么离中心和边缘的距离相等)。在这种情况下 $p = 0.25$．

一个整数 $N \in \{1，\ldots, 999999 \}$是随机选择的。我们考虑三个变量， $X_1、X_2$和 $X_3$． $X_1$假设值 $1$数的数字和 $n$是整除 $9$和 $0$否则; $X_2$假设值 $1$如果 $n$可以表示为四个整数的平方和 $0$否则; $X_3$假设值 $0 1$和 $2$分别,如果 $n$剩下 $0 1$和 $2$当除以 $3.$．

• 一个正整数的数字和 $n$是整除 $9$当且仅当 $9$分 $n$．一个随机选择的整数的概率 $\ \{1日ldots 999999 \}$能被整除 $9$是 $\压裂{1}{9}。$因此, $X_1$伯努利分布随机变量是什么 $p = \压裂{1}{9}$．

• 每个正整数都可以表示为a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="四平方和" target="_blank">四平方和，所以变量 $X_2$不是随机变量，也不是伯努利分布。在伯努利分布的定义中 $0 < p < 1$排除了情况 $p = 1$．

• 的变量 $X_3$为一个有两种以上结果的实验建模，因此它不是伯努利分布。

假设我们有 $a + b$独立的伯努利 $(p)$试用让 $N_a$就是第一次成功的次数 $一个$在这些试验中 $N_b$就是最后成功的次数 $b$这些试验。利用伯努利分布的性质，我们可以得出以下结论:

• $N_a$~二项 $(a, p)$因为我们有 $一个$独立的伯努利 $(p)$试用我们不关心最后一个 $b$试用
• $N_b$~二项 $(b、p)$因为我们有 $b$独立的伯努利 $(p)$试用我们不关心第一个 $一个$试用
• $N_a + N_b$~二项 $(a + b, p)$因为所有的伯努利实验都是独立的，我们可以把它们当作i.i.d。
• $N_a$和 $N_b$是独立的，因为两组试验(第一组 $一个$审判与最后 $b$试验)是独立的。