伯努利分布
的伯努利分布本质上是模拟抛加权硬币的一次试验。它是一个随机变量只有两个值的概率分布, (“成功”) (“失败”)具有互补的概率 而且 分别。因此,伯努利分布描述的事件恰好有两种结果,这在现实生活中无处不在。这类事件的一些例子如下:一个球队将赢得冠军或没有,一个学生将通过或不通过考试,掷骰子将显示6或任何其他数字。
伯努利分布是离散分布的一个组成部分,这些离散分布模拟了伯努利试验,例如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布而且<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-distribution/" class="wiki_link" title="几何分布" target="_blank">几何分布.
定义
伯努利分布是随机变量的概率分布 有<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/continuous-random-variables-probability-density/" class="wiki_link" title="概率密度函数" target="_blank">概率密度函数
为 .
直观地说,它描述了一个有两个结果的单一实验:成功(“1”)有概率发生 失败(“0”)有概率发生 它描述了一个单独的试验<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/">伯努利实验.
伯努利分布的概率密度函数的封闭形式为 .
可以将伯努利分布图形表示如下:
在这里, .
一枚均匀的硬币被抛了一次。实验结果用伯努利分布来模拟 .
基本性质
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/expected-value/" class="wiki_link" title="" target="_blank">期望值伯努利分布的
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/variance-definition/" class="wiki_link" title="" target="_blank">方差为伯努利分布的
的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/data-mode/" class="wiki_link" title="" target="_blank">模式,即伯努利分布中发生概率最大的值为 如果 而且 如果 .如果 成功和失败的可能性是一样的,两者都有 而且 是模式。这在直觉上很清楚:由于只有两种概率互补的结果, 意味着成功的概率高于失败的概率。
伯努利分布的基本性质可以用 在<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布.
使用以下属性<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/linearity-of-expectation/" class="wiki_link" title="期望的线性" target="_blank">期望的线性和计算方差的规则,伯努利分布用于计算基于伯努利实验的分布的性质,如<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/binomial-distribution/" class="wiki_link" title="二项分布" target="_blank">二项分布.
例子
伯努利分布对以下情况进行建模:
- 新生儿不是男就是女。(这里孩子是男孩的概率大约是0.5。)
- 你考试不是及格就是不及格。
网球运动员在比赛中不是赢就是输。
投掷在圆形飞镖靶上的飞镖随机地落在其区域上方(<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/1-dimensional-geometric-probability/" class="wiki_link" title="例子" target="_blank">例子).省道要么离中心更近,要么离边缘更近(在第二种情况下,它要么离边缘更近,要么离中心和边缘同样远)。在这种情况下 .
一个整数 是随机选择的。我们考虑三个变量, 而且 . 假设值 的数字之和 能被 而且 否则; 假设值 如果 可以表示为四个整数的平方和和 否则; 假设值 而且 ,如果 剩下的是 而且 当除以 .
整数:一个正整数的数字和 能被 当且仅当 分 .一个随机选择的整数在 能被 是 因此, 是伯努利分布随机变量 .
每一个正整数都可以表示为a<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/fermats-sum-of-two-squares-theorem/" class="wiki_link" title="四个平方和" target="_blank">四个平方和,所以变量 不是随机变量,也不是伯努利分布。在伯努利分布的定义中 排除情况 .
的变量 为一个有两个以上结果的实验建模,因此它不是伯努利分布。
假设我们有 独立的伯努利 试用让 要把成功的数量放在第一位 这些试验,和 要把成功的次数放在最后 这些试验。利用伯努利分布的性质,我们可以这样说:
- ~二项 因为我们有 独立的伯努利 试用我们不关心最后一个 试用
- ~二项 因为我们有 独立的伯努利 试用我们不关心第一个 试用
- ~二项 因为所有的伯努利试验都是独立的,我们可以把它们看作是i.i.d。
- 而且 是独立的,因为两组试验(第一组 审判和最后的审判 试验)是独立的。