贝尔定理

贝尔定理是哲学和数学理论中的一个重要命题吗量子力学．它表明有一类物理理论叫做局部隐变量理论不能解释自旋之间的相关性程度纠缠量子理论预测的电子。这个定理的普遍结论是，量子理论在某种程度上内在是非局部的，尽管这是一个激烈的哲学辩论的话题。

在数学上，贝尔定理是由一个重要的引理来证明的CHSH不等式．这个不等式限制了隐藏变量理论中电子自旋之间可能存在的相关性。在量子力学的理论和实验结果中，CHSH不等式的违背证明了该定理。

贝尔定理在历史上的重要性在于，它证明了爱因斯坦、波多斯基和罗森[EPR]对宇宙的讨论是错误的EPR佯谬．EPR提倡一种科学哲学叫做当地的现实主义．这一理论明确指出，相互作用不应该能够在违反相对论的长距离(非本地)进行即时通信，并且在测量这些量之前，系统应该有一个“现实的”确定值。

然而，测量纠缠电子自旋间相关性的实验似乎能在不同位置之间即时(非局域)传递自旋态。EPR因此得出量子力学是不完整的结论;在实验开始时，当两个电子都在同一个位置产生时，一定有一些额外的隐藏变量使纠缠电子的响应设置为自旋测量。

贝尔定理证明了这种解释是不正确的:为了使理论与量子力学的实验结果相一致，局部性和实在论必须被拒绝。其实，在流行哥本哈根解释在量子力学中，量子力学不仅即时地“传递”自旋状态，而且在量被测量之前，系统并不取这些量的确定值:局域性和实在性都被拒绝。

贝尔定理:没有任何理论能像局部隐变量理论那样解释量子力学所预测的纠缠电子之间的相关性。

量子力学的实验结果有几个漏洞，过去50年的量子理论研究一直在努力弥补这些漏洞。下面讨论两个主要的漏洞:

检测漏洞

有可能在自旋测量点的探测器的效率低于100%，并且只能探测到高度相关的自旋，使得不相关的自旋无法被探测到。因此，实验报告的相关性会高于实际存在的相关性，这意味着实际的相关性数量可能可以用局部隐变量理论来解释。在最好的情况下，任何效率低于67%的探测器都无法填补这个漏洞;在标准情况下，大约83%的效率是必需的。

传统的贝尔试验忽略了这个漏洞，假设集市的假设，该理论指出，在每个探测器上测量到的自旋是产生的纠缠量子态的实际分布的公平代表。虽然从物理上看，这似乎是合理的，但却无法证明。

通信的漏洞

因为它需要小而非零的时间实际执行旋转测量和报告结果,有可能是一个旋转测量后,探测器以某种方式沟通结果以光速其他探测器,这是能够影响另一个粒子的自旋在测量时间。封闭通信漏洞的唯一方法是将两个探测器隔开一段很大的距离，并在如此短的时间内进行自旋测量，以致于光无法在两个探测器之间穿行。这自然而然地将每个检测器与其他检测器的影响分开。

在2015年末,^［1］这个实验的结果发表在自然声称已经进行了一个完全漏洞的钟声实验，证明了违反CHSH不平等。类似的最近的纸张要求对缠结的光子偏振进行无漏洞的钟实验，类似于电子旋转。

有人认为，2015年末的结果并没有完全堵上所有的漏洞，因为在纠缠电子发射之前，探测器之间可能存在通信，这可能在某种程度上使探测器相互关联。这被称为设置独立的漏洞．目前已经有一个提议的实验^[２]为了绕过这个漏洞，探测器设置使用了来自两个非常遥远的星系的光，这两个星系距离太远，自大爆炸以来，光就没有在这两个星系之间传播过。因此，探测器设置将来源于非因果接触的来源，这意味着探测器不可能在任何时间点变得相关。

贝尔定理的证明考虑了任意局部隐变量理论，并表明任何这样的经典理论试图模拟量子力学的结果，给出的测量结果受一个不等式的约束，称为CHSH不等式克劳瑟，霍恩，西莫尼和霍尔特，尽管这种不平等也经常被稍微错误地称为贝尔不等式．

CHSH不等式如下:

$E(a'，b)+E(a'，b)+E(a'，b') +E(a'，b'$

在哪里 $一个$和 $一个“$一个人有两个可能的方向吗施特恩-格拉赫探测器在贝尔的实验中 $b$和 $b”$第二个探测器有两个可能的方向。的值 $E (a, b)$给出了沿着这些方向的自旋的相关性，并由量子力学中沿着每个方向的自旋态乘积的期望定义。

这些不等式的形式推导是相当广泛的，因为它引入了一个可能的隐藏变量，然后用包含这个变量的积分来定义期望。然而，它背后的直觉很简单:每个期望沿着方向 $一个$， $一个“$， $b$, $b”$最多为1，因为在经典理论中每个关联最多为1。一个有三个正号和负号这些项的和的绝对值为1;因此，这个和是有界的 $2$．求导的棘手之处在于操纵定义相关关系的积分表达式，以获得不依赖于隐藏变量或检测器角度的良好不等式。

违反CHSH不等式的一个简单例子发生在测量纠缠体自旋的实验中单重态两个自旋- $\ frac12$粒子:

$|\Psi\rangle = frac{1}{\sqrt{2}}(|\上移\rangle\otimes|\下移\rangle - |\下移\rangle\otimes|\上移\rangle)。$

量子力学中期望的相关性可以通过在两个Stern-Gerlach装置上进行自旋测量得到。让 $(一)$是在仪器a上进行的定向测量 $一个$类似地，考虑以下四种可能的测量方法:

$\开始{对齐}(一)& = \帽子{年代}_z \ otimes我\ \(的)& = \帽子{年代}值\ otimes我\ \ B (B) & = - \压裂{1}{\ sqrt{2}}我\ otimes(\帽子{年代}_z + \帽子{年代}值)\ \ B (B) & = \压裂{1}{\ sqrt{2}}我\ otimes(\帽子{年代}_z -{年代}\帽子值)\{对齐}结束$在那里 $b$和 $b”$方向被旋转 $135$相对度 $一个$和 $一个“$，使得在单态状态下取期望值: $\ begin {对齐} e（a，b）＆= \ langle a（a）b（b）\ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ e（a，b'）＆= \langle a（a）b（b'）\ rangle = - \ frac {1} \\ e（a'，b）＆= \ langle a（a'）b（b）\ rangle= \ frac {1} {\ sqrt {2}} \\ e（a'，b'）＆= \ langle a（a'）b（b'）\ rangle = \ frac {1} {\ sqrt {2}} \结束{对齐}$上面给出的值的计算是乏味的，但在形式的自旋测量的例行练习;看到量子纠缠维基有关如何执行它们的详细信息。

代入CHSH不等式的左边，可以发现:

$| E (a, b) - E (a, b) + E (a, b) + E (a, b) | = \压裂{4}{\ sqrt{2}} = 2 \√{2}。$

这违反了在局部隐变量理论中预测的界限2，作为量子纠缠的结果!

下面的关系 $E (a, b)$作为方向间角度的函数 $一个$和 $b$是绘制。经典和量子预测之间的差异是明显的，特别是在 $135$以上计算中使用的度差，其中每个相关取值 $\压裂{1}{\ sqrt {2}}$它们之间的相关性最大 $\ frac12$在局部隐变量理论中。

量子力学的最佳预测(蓝色)和局部隐藏变量理论(红色)之间的相关性电子自旋在一个特定的纠缠态。局部隐变量理论不能解释观察到的相关程度^［3］．

1. 使用电子自旋间隔1.3公里的无漏洞贝尔不等式违反。自然，526, 682-686(2015年10月29日)．
2. 用宇宙光子检验贝尔的不平等:堵住设置独立漏洞。物理评论快报，112, 110405 - 2014年3月18日发布．
3. 吉尔,R。贝尔．2013年12月22日，从https://en.wikipedia.org/w/index.php?curid=41434416