bellman算法GydF4y2Ba

这GydF4y2BaBellman-Ford算法GydF4y2Ba是一个GydF4y2Ba图GydF4y2Ba在给定的源顶点和图中所有其他顶点之间找到最短路径的搜索算法。该算法既适用于加权图，也适用于非加权图。GydF4y2Ba

就像GydF4y2BaDijkstra最短路径算法GydF4y2Ba， Bellman-Ford算法保证能在图中找到最短路径。尽管Bellman-Ford算法比Dijkstra算法慢，但它能够处理包含负边权的图，因此它更加通用。值得注意的是，如果图中存在一个负循环，那么就不存在最短路径。沿着负循环无限次会继续降低路径成本(即使路径长度在增加)。正因为如此，Bellman-Ford还可以检测负循环，这是一个有用的特性。GydF4y2Ba

想象一下，您需要从您家到棒球比赛的场景。一路上，在每条道路上，可能发生两件事之一。首先，有时你正在使用的道路是一个收费路，你必须支付一定数量的钱。其次，有时候你知道生活在那条街上（如家庭成员或朋友）。那些人可以给你钱来帮助你补充钱包。你需要跨越城里，你想尽可能多地抵乡，所以你可以买热狗。鉴于你知道哪条道路是通行费，哪条道路有能给你钱的人，你可以使用Bellman-Ford来帮助计划最佳路线。GydF4y2Ba

棒球比赛路线的图形表示GydF4y2Ba

Bellman-Ford观察的不是你的家，不是棒球比赛，不是从你那里拿走钱或给你钱的街道，而是一个加权图。图是连接图中不同顶点的边的集合，就像道路一样。这些边是有代价的。要么是正成本(如通行费)，要么是负成本(如朋友会给你钱)。在上面的图表中，红色箭头表示你需要花钱才能使用这条路，绿色箭头表示你需要花钱才能使用这条路。在图中，源顶点是你的家，目标顶点是棒球场。在这个过程中，你想要最大化负加权边的数量和绝对值。相反地，你想要最小化正加权边的数量和值。Bellman-Ford就是这么做的。GydF4y2Ba

Bellman-Ford算法作用于输入图，GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$,GydF4y2Ba $| V |GydF4y2Ba$顶点,GydF4y2Ba $| e |GydF4y2Ba$边缘。单个源顶点，GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$，因为Bellman-Ford算法是一种单源最短路径算法。但是，不需要提供目标顶点，因为Bellman-Ford计算的是到目的地的最短距离GydF4y2Ba所有GydF4y2Ba图中来自源顶点的顶点。GydF4y2Ba

Bellman-Ford算法GydF4y2Badijkstra的算法GydF4y2Ba，使用的原则GydF4y2Ba松弛GydF4y2Ba找到越来越精确的路径长度。不过，Bellman-Ford在这个过程中解决了两个主要问题:GydF4y2Ba

1. 如果存在负重循环，则搜索最短路径将永远持续下去。GydF4y2Ba
2. 选择一个糟糕的松弛顺序会导致指数松弛。GydF4y2Ba

的检测GydF4y2Ba消极的周期GydF4y2Ba是重要的，但该算法的主要贡献在于松弛的排序。Dijkstra算法是GydF4y2Ba贪婪算法GydF4y2Ba选择最近的未被处理的顶点。另一方面，Bellman-Ford放松了GydF4y2Ba所有GydF4y2Ba的边缘。GydF4y2Ba

Bellman-Ford标记了图的边GydF4y2Ba $GGydF4y2Ba$作为GydF4y2Ba

$e_1、e_2、…e_m,GydF4y2Ba$

这组边是完全松弛的GydF4y2Ba $| | V - 1GydF4y2Ba$时代，在那里GydF4y2Ba $| V |GydF4y2Ba$为图中顶点的数目。GydF4y2Ba

Bellman-Ford算法的伪代码非常短。GydF4y2Ba

这是用伪代码编写的Bellman-Ford的高级描述，而不是一个实现。GydF4y2Ba

1 2 3 4 5 6 7GydF4y2Ba

对于v中的v：v.distance = Infinity v.p = none source.distance = 0，i for i为1到| v |-  1：在E中的（U，V）：放松（U，V）GydF4y2Ba

第一个GydF4y2Ba为GydF4y2BaLoop将图中每个顶点的距离设置为无穷大。稍后，源顶点将更改为0。在第一次GydF4y2Ba为GydF4y2Ba循环,GydF4y2BaP.GydF4y2Ba每个顶点的值都设置为任何内容。此值是指向前任顶点的指针，以便我们稍后可以创建路径。GydF4y2Ba

下一个GydF4y2Ba为GydF4y2Ba循环只是通过每条边GydF4y2Ba(u, v)GydF4y2Ba在GydF4y2BaE.GydF4y2Ba和GydF4y2Ba放松GydF4y2Ba它。这个过程完成了GydF4y2Ba| | V - 1GydF4y2Ba时代。GydF4y2Ba

放松是Bellman-Ford中最重要的一步。这是将距离的准确性提高到任何给定顶点的准确性。放松通过不断缩短顶点之间的计算距离，比较与其他已知距离的距离之间的计算距离。GydF4y2Ba

从早些时候拿棒球例子。假设我认为与棒球体育场的距离是20英里。但是，我知道在体育场前到角落的距离是10英里，我知道从角落到体育场，距离是1英里。显然，与我到体育场的距离是GydF4y2Ba最多GydF4y2Ba11英里。因此，我可以更新我的信念来反映这一点。这是一个松弛的循环，不断重复直到找到最短路径。GydF4y2Ba

这是放松方程。GydF4y2Ba

放松方程GydF4y2Ba

1 2 3 4GydF4y2Ba

放松（U，V）：如果v.distance> u.distance +重量（u，v）：v.distance = u.distance +重量（u，v）v.p = uGydF4y2Ba

请记住，除了源之外的每个顶点的距离在Infinity开始，因此该算法的明确起点是源顶点的边缘。想象一下，源顶点有一个边缘，GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$，到另一个顶点，GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$．这条边的权值是5。所以,GydF4y2Ba如果GydF4y2Ba松弛函数中的表述对于这条边是这样的GydF4y2Ba $(,):GydF4y2Ba$

${如果}\文本。D.一世S.T.一种N.CE.>S.。D.一世S.T.一种N.CE.+W.eight(S, A),$

哪个和GydF4y2Ba

$\文本{if} \ idty> 0 + 5。GydF4y2Ba$

因为这当然是正确的，所以函数的其余部分将被执行。GydF4y2BaA.distanceGydF4y2Ba被设置为5，并且前身GydF4y2Ba一种GydF4y2Ba被设置为GydF4y2BaS.GydF4y2Ba，源顶点。GydF4y2Ba

放松是安全的，因为它遵守GydF4y2Ba三角不等式GydF4y2Ba的另一种说法是“去的最近的距离”GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$应该小于或等于到达的最短距离吗GydF4y2Ba $一种GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$加上最短距离GydF4y2Ba $B.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $CGydF4y2Ba$“：GydF4y2Ba

$距离（A，C）\ LEQ距离（A，B）+距离（B，C）。GydF4y2Ba$

对于Bellman-Ford算法的一个非常简单和简单的补充可以允许它检测负周期，这是非常重要的，因为它不允许完全最短的路径查找。在显示的Bellman-Ford算法之后GydF4y2Ba以上GydF4y2Ba已经运行，需要一个更多的短环来检查负重循环。GydF4y2Ba

此伪代码被写入算法的高级描述，而不是实现。GydF4y2Ba

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10GydF4y2Ba

对于v中的v：v.distance = Infinity v.p = none source.distance = 0，i for i为1到| v |-  1：在E中的（U，V）：放松（U，V）为(u, v)在E.：如果v.distance> u.distance + weight(u, v): print "A negative weight cycle exists"

证明Bellman-Ford有几个简短的步骤。第一步表明，Bellman-Ford的每次迭代以适当的方式降低了每个顶点的距离。第二步示出，一旦算法终止，如果没有负重循环，则产生的距离是完全正确的。最后的步骤表明，如果不是这种情况，那么确实存在负重循环，这证明了贝尔曼 - 福特负周期检测。GydF4y2Ba

步骤1:GydF4y2Ba

索赔:GydF4y2Ba在交互影响GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$,尽管GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $v.dGydF4y2Ba$最多是每条路径的权值吗GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$使用最多的GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba

在迭代之前GydF4y2Ba $一世GydF4y2Ba$， 的价值GydF4y2Ba $v.dGydF4y2Ba$是否受下列方程约束GydF4y2Ba

$v - d \leq min{w(p): |p| \leq I - 1}，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $w（p）GydF4y2Ba$是给定路径的重量和GydF4y2Ba $p | |GydF4y2Ba$是那条路径上的边数。随后的松弛只会减少GydF4y2Ba $v.dGydF4y2Ba$，所以这将永远保持真实。这GydF4y2Ba $我^ \ text {th}GydF4y2Ba$迭代将考虑所有传入的边缘GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$的路径GydF4y2Ba $\ Leq I.GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba

在这方面GydF4y2Ba $我^ \ text {th}GydF4y2Ba$迭代GydF4y2Ba

步骤2:GydF4y2Ba

索赔:GydF4y2Ba如果输入图没有任何负权环，那么Bellman-Ford将准确地给出到每个顶点的距离GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$在图表中从来源。GydF4y2Ba

重要的是要注意的是，没有负重循环，最短的路径将永远很简单。没有任何重复的边缘。所以，每个最短的路径都有GydF4y2Ba $| v ^ {*} |GydF4y2Ba$顶点,GydF4y2Ba $| | V ^ {*} - 1GydF4y2Ba$边缘（取决于我们计算距离的顶点）。更普遍，GydF4y2Ba $| V ^ {*} | \ leq V | |GydF4y2Ba$，所以每条路径都有GydF4y2Ba $V \ leq | |GydF4y2Ba$顶点,GydF4y2Ba ${*} - 1|GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba

考虑从GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$,在那里GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$．在这方面GydF4y2Ba $（i - 1）^ \ text {th}GydF4y2Ba$迭代，我们发现了最短的路径GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$使用最多的GydF4y2Ba $我- 1GydF4y2Ba$边缘。GydF4y2Ba $v.distanceGydF4y2Ba$在这个路径的重量。所以，GydF4y2Ba $v.距离+重量(u, v)GydF4y2Ba$最多是距离吗GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$．在这方面GydF4y2Ba $我^ \ text {th}GydF4y2Ba$迭代，我们所做的只是比较GydF4y2Ba $v.距离+重量(u, v)GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $U.distance.GydF4y2Ba$．唯一可能发生的就是GydF4y2Ba $U.distance.GydF4y2Ba$变小。所以,后GydF4y2Ba $我^ \ text {th}GydF4y2Ba$迭代,GydF4y2Ba $U.distance.GydF4y2Ba$最多是距离吗GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$．因为它不可能是真的GydF4y2Ba小GydF4y2Ba而不是来自最短的路径GydF4y2Ba $S.GydF4y2Ba$到GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$，是完全相等的。GydF4y2Ba

第3步：GydF4y2Ba

索赔:GydF4y2BaBellman-Ford可以报告负权环。GydF4y2Ba

使用我们的GydF4y2Ba步骤2GydF4y2Ba，如果我们返回所有边缘，我们应该看到所有人GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$在GydF4y2Ba $V.GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $v =距离(s, v)GydF4y2Ba$．Bellman-Ford只有在GydF4y2Ba $v.距离+重量(u, v)GydF4y2Ba$，所以不可能有任何关于负权环的虚假报告。GydF4y2Ba

如果有一个负权环，那么这个环的一条边可以GydF4y2Ba总是GydF4y2Ba放松(因为它会在循环过程中不断减少)。假设这条边就是那条边GydF4y2Ba $(u, v),GydF4y2Ba$这意味着GydF4y2Ba $U.distance +重量（U，V）GydF4y2Ba$实际会小于GydF4y2Ba $v.distanceGydF4y2Ba$，这将触发一个负面循环报告。GydF4y2Ba

所述GydF4y2Ba以上GydF4y2Ba, bellman使GydF4y2Ba $| e |GydF4y2Ba$每次迭代都可以放松，确实如此GydF4y2Ba $| | V - 1GydF4y2Ba$迭代。因此，最坏的情况是Bellman-Ford运行GydF4y2Ba $o \ big（| v | \ cdot | e | \ big）GydF4y2Ba$时间。GydF4y2Ba

然而，在某些场景中，迭代的次数可能要低得多。对于某些图，只需要一次迭代，因此在最好的情况下，只需要一次GydF4y2Ba $o \ big（| e | \ big）GydF4y2Ba$时间是必要的。一个只需要一轮松弛的图的例子是一个图，其中每个顶点只以线性方式连接到下一个顶点，如下图所示:GydF4y2Ba

这张图只需要一轮放松。GydF4y2Ba

也可以看看：GydF4y2Ba大O符号GydF4y2Ba．GydF4y2Ba

距离矢量路由协议使用Bellman-Ford的一个版本。该协议决定如何在网络上路由数据包。距离方程(决定网络中的权重)是某条路径到达目的地必须经过的路由器数量。GydF4y2Ba

特别是对于Internet，有许多协议使用Bellman-Ford。一个例子是路由信息协议。这是最古老的互联网协议之一，它通过限制数据包在到达目的地的路上的跳数来防止循环。第二个例子是内部网关路由协议。这个专有协议用于帮助机器在系统中交换路由数据。GydF4y2Ba