方位-文字问题

大多数涉及三角和角度的承重应用题都可以简化为寻找角度和边长之间的关系三角形．在这种情况下，找到正确的基本的三角函数联系到一起角测量对于正确设置和解决问题至关重要。

角和边的三角函数可以在日常工作中使用，如木工，建筑工作，工程等。

在跳到应用题之前，这里有一些你需要熟悉的基本定义:

的仰角观察者所看到的物体的角度是水平线与从该物体到观察者眼睛的直线之间的夹角视线）.

上图中的仰角为 $α^ \ \中国保监会$．

如果物体在观察者的水平线以下，那么水平线与观察者的视线之间的角度称为抑郁症的角．

上图中的下沉角度为 $β^ \ \中国保监会$．

通常，画一个图表并记住是很有用的基本的三角函数把直角三角形的边的角和长度联系起来。找到正确的三角函数来联系角度和测量是解决问题的关键。我们将通过几个例子演示建立和解决三角应用题的原理。

一名测量员在海拔1000米的直升机上测量到岛屿远端边缘的下沉角度 $24 ^ \保监会$与近边的凹陷角为 $31日^ \保监会$．这个岛有多宽，以米计?

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设直升机与岛之间的水平距离为 $d$和岛的宽度 $w$．然后 $\tan 24^\circ = \frac{1000}{d+w}$而且 $\tan 31^\circ = \frac{1000}{d}$,这意味着 $D = \frac{1000}{\tan 31^\circ}$．用这个 $\tan 24^\circ = \frac{1000}{d+w}$给了

$24 ^ \ \开始{对齐}\ tan保监会& = \压裂{1000}{\压裂{1000}{\ tan 31 ^ \保监会}+ w} \ \ \ tan 24 ^ \保监会\离开(\压裂{1000}{\ tan 31 ^ \保监会}+ w \右)& = 1000 \ \ w & = \压裂{1000 \(1 - \压裂{\ tan 24 ^ \保监会}{\ tan 31 ^ \保监会}\右)}{\ tan 24 ^ \保监会 } \\\\ & \ 大约581.75。结束\{对齐}$

因此，该岛的宽度为582米

或者，您可以计算两者之间的差 $24 ^ \ \床保监会$而且 $31 ^ \ \床保监会$(即0.581757292)乘以1000米。 $_ \广场$

安德鲁正在山上放风筝，但他把风筝扔到了下面的池塘里。如果风筝线的长度是150米，从他的位置到风筝的凹陷角度是 $30 ^ \保监会$那么他所站的山有多高呢?

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为了更好地理解这个问题，让我们先画一个图表:

所以这是一个底角为直角的三角形 $30 ^ \保监会$斜边150米，边150米 $h$与给定角的对边等于山的高度。我们用正弦比来求高度:

$30 ^ \ \开始{对齐}\罪保监会= \ dfrac {h} {150} \ \ \ dfrac 12 & = \ dfrac {h} {150} \ \ \ \ \ Rightarrow h = 75 {(m)} \文本。结束\{对齐}$

因此，这座山高出湖面75米。 $_ \广场$

水平距离为100米时，不完全垂直柱子顶部的仰角为45度。如果完整柱的顶部从同一点的仰角为60度，那么不完整柱的高度应增加多少?

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让我们画一个图表来说明情况:

让 $公元前$是不完整的柱子的高度，和 $双相障碍$整个柱子的高度。我们已经知道了 $=100\text{m}， \角度BAC = 45^\circ，$而且 $\角度BAD = 60^\circ$．我们假设的长度 $CD$是 $x$米。

在三角形 $美国广播公司$，我们知道

$45 ^ \ \开始{对齐}\ tan保监会& = \压裂公元前{}{AB} \ \ \ \ AB & = BC \ \ & = 100 \文本{m}。\{对齐}结束$

同样,在三角形 $ABD$，我们知道

$\begin{aligned} \tan 60^\circ & =\frac{BD}{AB} \\\ sqrt 3 & =\frac{BD}{100} \\\\ \Rightarrow BD & =100 \sqrt 3 \text{m}.\end{aligned}$

从上图中，

$\begin{aligned} BD&=BC+CD \\ 100\sqrt3 &=100+x \\\\ \Rightarrow x&=100 \大(\sqrt3 -1 \大)\text{m}. \结束\{对齐}$

因此，不完整的柱子的高度将增加 $100 \大(\sqrt3 -1 \大)\text{m}$完成柱子。 $_ \广场$

吉姆和泰德住在河的一边，玛莎住在河的另一边。这条河的对岸距离是100码。泰德住在玛莎的下游，他测量了海岸线和通往玛莎家的直线之间的35度角。吉姆住在玛莎的上游，他测量的角度是60度。泰德和吉姆住得有多远?

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首先，一张照片会有帮助(让你的“举止”——没有双关语的意思)。

玛莎、吉姆和泰德的相对位置如下图所示:

现在，更容易想象发生了什么。从吉姆到马莎河对面的位置，以码为单位的距离为

$\tan 60^\circ = \frac{100}{x}。$

从吉姆到马莎河对面的位置，以码为单位的距离为

$\tan 35^\circ = \frac{100}{y}。$

泰德到吉姆的距离是

${对齐}\ \开始文本{距离}& = x + y \ \ & = \压裂{100}{\ tan 60 ^ \保监会}+ \压裂{100}{\ tan 35 ^ \保监会}\ \ \ \ & = 57.7 + 142.8 \ \ & = 200.5 \文本{(码)}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

一架私人飞机以每小时110英里的速度以40°的角度飞行1.3小时。然后转向，以同样的速度继续运行1.5小时，但在130°的方位上。在这段时间结束时，飞机离它的起点有多远?

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方位告诉我们从“正北”往顺时针方向的角度。由于130 - 40 = 90，这两个方位构成了一个直角三角形。从时间和价格来看，我们有

$\begin{aligned} 1.3 × 110 &= 143\\ 1.5 × 110 &= 165。结束\{对齐}$

现在，让我们给我们的问题一个几何形状，建立一个三角形:

使用勾股定理,我们得到

$\begin{aligned} m^2 & =143^2 + 165^2 \\ & =20449 + 27225 \\ & =47674 \\\\ \ righttarrow m & = 218.34。结束\{对齐}$

因此，在时间结束时，飞机大约在218英里以外。 $_ \广场$

试试下面的负重应用题:

本部分旨在提高学生解决应用题的能力。下面是一个例子，下面有一些问题供你尝试:

一架六米长的梯子靠在一栋建筑物上。如果梯子成一个角度 $60 ^ \保监会$与地面,

(1)梯子能爬多高的墙，以及
(2)梯子的底座离墙有多远?

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为了了解情况，让我们画一个图表:

• (1)由上图，我们得到下式，得到的值 $h:$ $\begin{aligned} \sin 60^\circ & =\dfrac h6 \\ \\ Rightarrow h & =6 \times \sin 60^\circ \\ & =3 \sqrt 3。结束\{对齐}$所以梯子够得着 $3 \ sqrt3$几米高的墙。 $$

• (2)同理，我们可以得到的值 $b$如下: $\begin{aligned} \cos 60^\circ &=\dfrac b6 \\ \\ Rightarrow b&=6 \times \cos 60^\circ \\ &=3。结束\{对齐}$因此梯子的底部离墙有3米。 $_ \广场$

这里有一些问题，以获得一个强有力的抓住轴承的概念:

• 直角三角形的长度

• 正弦规律

• 三角方程