统计力学基础

在大多数现实情况下，我们只能预测一个粒子的运动和未来，如果

• 给出了初始条件;
• 我们已知作用在它上的力以及与它相互作用的粒子。

然而，对于像一盒气体这样的物体，我们可以把它想象成一个坚硬的球体，我们无法知道初始条件，因为它太复杂了，当然也很难测量。此外，如果我们观察到一种气体的形成(比如蒸发固体)，我们不能肯定甚至不能模糊地知道每一个气体原子/分子的初始速度。在这种情况下，由于缺乏信息，我们面临着不确定性，因此我们失去了预测的能力。

但即使是这样的情况也可以分析，只要我们假设以下合理的假设:

对于任意的系统，只要有足够的时间，系统就会假定最可能发生的状态。(例如，扔1000个硬币，你或多或少会得到一半正面，一半反面。)

所以现在我们要解释状态是什么意思以及如何定义哪个状态比其他状态更有可能出现。

我们有两种状态:

1. 微观状态:微观状态定义为每个粒子的精确排列(速度分布等)。

   • 例1:如果我们在自由空间中有一个粒子，它的能量是 $E,$那么它可以有两个速度 $+ V$和 $- v。$这两个是系统的微观状态。
   • 例2:如果我们连续有10枚硬币，每一枚都标有数字，那么一系列的状态(比如HTTHHHTHHT)就是一个微观状态。假设每个粒子/硬币都是相同的，那么每个微观状态的可能性是相等的(显然)。

2. 宏观状态:宏观状态是一组微观状态，对应于上面粒子例子中的一个公共量。的能量 $E$可以说是宏观状态对于微观状态 $+ V$和 $- v。$同样，6次正面4次反面也是宏观状态。然而，每个宏观状态的概率不一定相等，事实上，它的概率与它所拥有的微观状态的数量成正比。

对于一个气体分子系统，它的能量是宏观它在粒子间分配能量的方式是微观状态．现在定义明确了，我们需要量子化我们的想法。

考虑两个由固定的传导墙连接在一起的系统(能量可以通过，材料不能)。让系统的总能量 $E,$和每个系统的能量 $E_1$和 $E_2。$同时,让 $_{E_1}$和 $ω\ _ {E_2}$为对应于每个系统各自能量的微观状态数。然后，对于每个微状态1，我们有 $ω\ _ {E_2}$2的微状态，因此微状态的总数是 $ω _{E_1} ω _{E_2}$

根据我们的假设，它必须被最大化才能得到最可能的分布。所以，对 $E_1$等于0就得到

${\ω}_ {E_2} \压裂{d{\ω}_ {E_1}} {d {E} _{1}} +{\ω}_ {E_1} \压裂{d{\ω}_ {E_2}} {d {E} _{1}} = 0。$

现在我们调用能量对话来声明

$d{E}_{1}+d{E}_{2}=0$

代入得到

$\压裂{1}{{\ω}_ {E_1}} \压裂{d{\ω}_ {E_1}} {d {E} _{1}} = \压裂{1}{{\ω}_ {E_2}} \压裂{d{\ω}_ {E_2}} {d {E} _ {2}},$

相当于

$\ \压裂{d, {\ ln \大(ω\}_ {E_1} \大)}{d {E} _{1}} = \压裂{d \ {\ ln \大(ω\}_ {E_2} \大)}{d {E} _{2}}。$

现在，我们有一个非常有力的关系，一般来说 $n$热平衡系统。这个量必须对它们保持不变

$\ \压裂{d, {\ ln \大(ω\}_ {E} \大)}{d {E}}。$

我们称这个量为 $\frac {1}{kT}$(原因很快就会明白)。因此,对于 $n$热平衡系统， $T$对所有人都是一样的。我们称它为温度。

现在，我们使用上一节的结果来证明非常强大和一般的结果，我们可以使用它来处理大多数统计系统。想象一个小水箱连接到一个大水箱，如图二所示。还是让系统的总能量等于 $E。$因为储层很大，所以大部分能量都来自于储层。所以，让小罐子的能量吧 $\ε,$和热源的能量 $E - \ε。$

现在，我们做特殊的假设．让小坦克的每个宏观状态的微观状态数固定为 $n。$然后

$P(\ -) n{\ -}_{E-\ -}，$

在哪里 $P$是具有该能量的概率(它与微态的数量成正比)。现在,随着 $n$是固定的，我们可以进一步写吗

$P(ω) ω _{E- ω}。$

采取 $\ ln$双方都给予

${对齐}\ ln \ \开始大(P (\ varepsilon) \大)\ propto & \ ln({\ω}_ {E - \ε})\ \ & \大约\ ln({\ω}_ {E}) - \ε\压裂{d \ ln({\ω}_ {E})} {d \ε}\ \ & = \ ln({\ω}_ {E})——\压裂{\ε}{kT}。结束\{对齐}$

所以,

$P(\ε)= {e} ^{- \压裂{\ε}{kT}}。$

尽管我们对固定数量的微观状态做出了微妙的假设，但这个结果的重要性怎么强调都不过分。例如，让我们想象一维宇宙中的一个粒子。对于每一个能量 $E,$它可以有速度 $+ V$和 $- v,$这里 $n$值是2。

小罐不必是罐。在稳定状态下，气体中的任何单个分子都通过碰撞与其他几个分子相互作用，从而获得和失去能量。在这里可以把气体分子称为小罐，而把其余的大量气体分子称为储气罐。因此，气体分子具有能量的概率 $\ε$成正比 ${e}^{-\frac {\epsilon}{kT}}。$

在以后的编辑或另一个维基中，我们将使用这个推导麦克斯韦-玻尔兹曼分布。