基本的三角函数

三角学来源于两个词根，trigonon(或“triangle”)和metria(或“measure”)。因此，研究三角就是研究三角形的尺寸。我们可以在三角形中测量什么?首先浮现在脑海中的可能是边长，三角形的内角，或者三角形所包含的面积。我们第一次探索三角函数通过侧面的长度连接角度的测量。

三角函数涉及右三角形的角度到侧面的比率。鉴于以下三角形：

$} \水平间距{4厘米$

定义基本三角函数 $0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2}$作为

$\ begin {array} {c}＆\ sin \ theta = \ frac {b} {c}，＆\ cos \ theta = \ frac {a} {c}，＆\ tan \ theta = \ frac {b} {一种}。\结束{array}$

如果我们考虑角度 $\ theta.$并标记双方 $\ theta.$， 然后 $一种$是“相邻”一侧的长度， $B.$是“对”边的长度，和 $C$是斜边的长度。然后基本三角函数可以表示如下：

$\ begin {array} {c}＆\ sin \ theta = \ frac {\ text {对比} {\ text {hevoteNuse}}，＆\ cos \ theta = \ frac {\ text {adjing} {\ text {斜边}}，＆\ tan \ theta = \ frac {\ text {对比}} {\ text {eadention}}。\结束{array}$

有关转换度和弧度之间的审查，请参阅<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/degrees-radian/" class="wiki_link" title="度和弧度" target="_blank">度和弧度．但是，更有用的定义来自于此<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/unit-circle-basic-concept-for-higher-trigonometry/" class="wiki_link" title="单位圈" target="_blank">单位圈．如果我们考虑一个半径为1个单位的圆圈，请以原点为中心，然后是角度 $\ theta.$当我们垂直于此时，圈子内部描述了右三角形 $X$- 从与圈子的交叉点的点。

单位圈

请注意，所描述的右三角形具有等于圆的半径的斜边，相邻侧等于 $X$点的坐标 $（x，y），$对边等于 $y$协调。这将自然产生以下精制定义：

$c \开始{数组}{}& \罪\θ= \压裂{y}{半径}}{\文本,& \ cosθ= \ \压裂{x}{半径}}{\文本,谭& \ \θ= \压裂{y} {x}。\结束{array}$

如上图所示，由于半径是 $1$在单位圆中，这个化简为 $x = \ cos \ theta$和 $y = \罪\θ$．

这些定义具有与上面的三角定义兼容的优点，以及允许评估与任何实数对应的角度。

这些函数的某些值是有用的，可以记住。他们是：

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\罪\θ& \压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\ cosθ& \ \压裂{\ sqrt {4}}{2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} &\infty{} \\ \hline \end{array}$

以这种方式写作它们的原因是帮助记住这些术语。例如，分子用于 $\ sin \ theta$只是平方根 $0 1 2 3$或 $4.$为了将这些值在单位圆上形象化，请看<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值．

什么值 $\ theta.$满足

$\begin{array}{c}&0 \leq \theta < 2 \pi &\text{and}& \cos \theta = 0?\结束{array}$

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一种良好的方法是解决问题的是想象上面所示的单位圆图。在本机圈图中， $\ \因为θ$是 $X$协调。因此，问题是问角度 $\ theta.$谁的 $X$- 科学等于 $0.$，这发生在单位圈与之相交的两个点处 $y$-轴： $\θ= \压裂{\π}{2}$和 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$．由于这些角度满足给定的条件，因此两种可能的角度是 $\θ= \压裂{\π}{2}$和 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$． $_\正方形$

如果 $\ theta.$角度是这样的吗 $\ cos \ theta = 0，$有什么可能的价值 $\ sin \ theta$？

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解决方案1：正如我们上面看到的， $\ cos \ theta = 0$对应于单位圆上的点 $X$协调是 $0.$．因为这些点在与 $y$- 轴，可能的价值 $\ sin \ theta$是可能的 $y$坐标, $1$和 $－１$． $_\正方形$

解决方案2：从第一个例子，如果 $\ \因为θ= 0$和 $0 \ leq \ theta <2 \ pi$， 然后 $\ theta = \ frac {\ pi} {2}$或 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$．请注意，对于所有其他值 $\ theta.$在这个范围之外，我们有 $\ sin \ theta = \ sin（\ theta \ pm 2 \ pi），$所以我们可以加减乘数 $2 \π$直到 $\ theta.$在这个范围内。为了 $\θ= \压裂{\π}{2}$， 我们有 $\ sin \ theta = 1$而对于 $3 \ \θ= \压裂{π}{2}$， 我们有 $sin = -1$．因此，可能的值 $\ sin \ theta$是 $1$和 $－１$． $_\正方形$

如果 $\ theta.$是右三角形的角度，这样 $sin = frac{1}{2}，$什么是值的 $\ cos \ theta$？

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自从 $\ theta.$是一个右三角形的角度，它一定是这种情况 $0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2}$．

从上表中，我们看到了价值 $\ theta.$这样 $\ sin（\ theta）= \ frac {1} {2}$是 $\ theta = \ frac {\ pi} {6} = 30 ^ {\ circ}。$也是，因为 $y$- 单位圈子上的点数越来越大 $\ theta.$去了 $0.$来 $\压裂{\π}{2}$， 价值 $\ theta = \ frac {\ pi} {6}$是一个独特的价值，这样 $0 <\ theta <\ frac {\ pi} {2}$和 $\ sin \ theta = \ frac {1} {2}$．然后,我们有 $\ cos \ theta = \ cos \ frac {\ pi} {2} = \ frac {\ sqrt {3}} {2}$． $_\正方形$

在上面的三角函数的特定值表中，为什么没有值 $\ tan \ frac {\ pi} {2}$？发生了什么 $谭\ \θ$作为 $\ theta.$靠近 $\压裂{\π}{2}$？

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由以上定义 $谭\ \θ$， 我们有 $谭\ \θ= \压裂{\罪\θ}{\ cosθ\}= \压裂{y} {x}$， 在哪里 $（x，y）$是 $X$- - - $y$角度点的坐标 $\ theta.$在单位圆上。作为 $\ theta.$走向 $\压裂{\π}{2}$那 $\ \因为θ$（这 $X$- 科学）变得越来越小，而且 $\ sin \ theta$（这 $y$-坐标)变得越来越接近 $1$．因此，分子 $\ tan \ theta = \ frac {y} {x}$方法 $1$分母趋于 $0.$，暗示 $谭\ \θ$趋向于无穷。 $_\正方形$

要学习其他三角函数，请阅读<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/reciprocal-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="互惠三角函数" target="_blank">互惠三角函数和<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/inverse-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="逆三角函数" target="_blank">逆三角函数．

存在一些可记住的基本三角函数的值。他们是：

$c c \开始{数组}{| | | | c c c | | |} \线\θ& 0 ^ \保监会& \压裂{\π}{6}= 30 ^ \保监会& \压裂{\π}{4}= 45 ^ \保监会& \压裂{\π}{3}= 60 ^ \保监会& \压裂{\π}{2}= 90 ^ \保监会\ \ \线\罪\θ& \压裂{\ sqrt{0}}{2} & \压裂{\ sqrt{1}}{2} & \压裂{\ sqrt{2}}{2} & \压裂{\ sqrt{3}}{2} & \压裂{\ sqrt{4}}{2} \ \ \线\ cosθ& \ \压裂{\ sqrt {4}}{2} & \frac {\sqrt{3}} {2} & \frac {\sqrt{2}} {2} & \frac {\sqrt{1}} {2} & \frac {\sqrt{0}} {2}\\ \hline \tan \theta & 0 & \frac { 1}{\sqrt{3} } & 1 & \sqrt{3} & \pm \infty \\ \hline \end{array}$

以这种方式写作它们的原因是帮助记住这些术语。例如，分子用于 $\ sin \ theta$就是√0 1 2 3 4。

单位圆可视化

我们也可以将单位圆中的余弦值和正弦值形象化:

由于余弦功能对应于 $X$值，余弦功能将是正的 $X$值是正的，当 $X$值是否定的。同样，由于正弦函数对应于 $y$值，正弦函数将是正的 $y$值是正的，当 $y$值是否定的。这使我们在飞机的四个象限中为我们提供了以下行为：

然后，通过使用第一象限的少数特定值，我们可以弄清楚余弦和所有象限中的正弦函数的特定值。以下是所有象限的可视化：

图片由commons.wikimedia.org

有什么价值 $\ theta.$范围内 $0 \ leq \ theta <2 \ pi$这样 $sin = cos$？

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从上面的单位圈可视化，我们看到了 $\ theta = \ frac {\ pi} {4}$和 $\ theta = \ frac {5 \ pi} {4}$满足

$\ begin {对齐} \ sin \ left（\ frac {\ pi} {4} \ revent）＆= \ cos \ left（\ frac {\ pi} {4} \ revent）= \ frac {\ sqrt {2}} {2} \\ \ sin \ left（\ frac {5 \ pi} {4} \右）＆= \ cos \ left（\ frac {5 \ pi} {4} \右）= - \ frac {\sqrt {2}} {2}。\结束{对齐}$

我们也观察到这条线 $y = x$只与这两个单位圆相交 $\ theta.$的值 $\ theta.$满足所需的条件是 $\ theta = \ frac {\ pi} {4}$和 $\ theta = \ frac {5 \ pi} {4}。\ _ \ square$

什么值 $\ theta.$范围内 $0 \ leq \ theta <2 \ pi$满足 ${sqrt{2}}{2}$？

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通过画线 $y = \ frac {\ sqrt {2}} {2}，$我们想求的是 $\ theta.$这样的话 $y$- 角度的值 $\ theta.$在单位圈子上呈现在这一行上方（自从 $\ sin \ theta$对应于 $y$- 单位圈的坐标）。这持有 $\ theta \ in \ left [\ frac {\ pi} {4}，\ frac {3 \ pi} {4} \右]$，所以这些是值的 $\ theta.$令人满意的 $\ sin \ theta \ geq \ frac {\ sqrt {2}} {2}。\ _ \ square$

有什么价值 $\ theta.$范围内 $0 \ leq \ theta <2 \ pi$这样 $sin = - cos$？

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从上面的单位圈可视化，我们看到了 $3 \ \θ= \压裂{π}{4}$和 $\ theta = \ frac {7 \ pi} {4}$满足

$罪\开始{对齐}\ \离开(\压裂{3 \π}{4}\右)& = - \因为\离开(\压裂{3 \π}{4}\右)= \压裂{\ sqrt{2}}{2} \ \ \罪\离开(\压裂{7 \π}{4}\右)& = - \因为\离开(\压裂{7 \π}{4}\右)= - \压裂{\ sqrt{2}}{2}。\结束{对齐}$

我们也观察到这条线 $y = - x$仅为这两个值与单位圈相交 $\ theta.$的值 $\ theta.$满足所需的条件是 $3 \ \θ= \压裂{π}{4}$和 $\ theta = \ frac {7 \ pi} {4}。\ _ \ square$

为了获得更多的值，我们将需要使用一些<一种target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/math/geometry/?subtopic=trigonometric-identities&chapter=sum-and-difference-trigonometric-formulas">三角函数的公式喜欢<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/sum-and-difference-formulas/" class="wiki_link" title="金额和差异" target="_blank">金额和差异和<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/product-to-sum-trigonometric-formulas/" class="wiki_link" title="产品总和" target="_blank">产品总和．如果你对它们不熟悉，请先跳过这一部分，待会再回来看。

让我们看看和和差公式的应用。

评估 $15 ^ \ \因为保监会$．

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使用差分公式 $\ cos.$， 我们有

$\ begin {对齐} \ cos 15 ^ \ cir＆= \ cos（45 ^ \ circ-30 ^ \ cir）\\＆= \ cos 45 ^ \ cir \ cos 30 ^ \ circ + \ sin 45 ^ \ cirSIN30 ^ \ rIC \\＆= \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ times \ frac {\ sqrt {3}} {2} + \ frac {\ sqrt {2}} {2} \ times \FRAC {1} {2} \\＆= \ frac {\ sqrt {2}（\ sqrt {3} + 1）} {4} \\＆= \ frac {\ sqrt {6} + \ sqrt {2}} {4}。\ _ \ square \结束{对齐}$

让我们看看双角配方的应用。

评估 $\ sin 15 ^ \ circ$．

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我们知道 $\ cos 30 ^ \ circ = 1 - 2 \ sin ^ 2 15 ^ \ cir$， 所以 $\ sin ^ 2 15 ^ \ circ = \ frac {2- \ sqrt {3}} {4}$．自从 $\ sin 15 ^ \ circ$是积极的，我们采取正方形的根源，得到那个

$\ sin 15 ^ \ circ = \ frac {\ sqrt {2 - \ sqrt {3}}} {2}。\ _\正方形$

多少个整数 $X$是否有这样的人 $0$和 $2 \ sin ^ 2 x ^ \循环<\ sin x ^ \ cir？$

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我们有 $2 sin^2 x^ circ - sin x^ circ = sin x^ circ (2 sin x^ circ - 1) < 0$或 $0 <\ sin x ^ \ circ <\ frac12$．

如果我们只考虑第一象限，那么 $y = \ sin x ^ \ circ$是一个越来越多的功能。所以

$0 = \ SIN 0 ^ \循环<\ SIN 1 ^ \循环<\ SIN 2 ^ \循环<\ cdots <\ SIN 29 ^ \循环<\ sin 30 ^ \ circ = \ frac12，$

也就是说有29个解。

使用相同的参数，我们在第二象限中有另外29个解决方案。这给了我们一个 $29 + 29 = 58$解决方案。 $_\正方形$

如果我们知道 $\tan 63^\circ < 2 < \tan 64^\circ$和 $\tan 84^\circ < 9 < \tan 85^\circ$，有多少整数 $X$是否有这样的人 $< x ^ 0 ^ \保监会\保监会< 90 ^ \保监会$和 $2 < tan x^\circ < 9?$

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因为 $Y = tanx$是一个递增函数，

$2 <\ tan 64 ^ \ rcir <\ tan 65 ^ \ cirt <\ tan 66 ^ \ cir <\ cdots <\ tan 84 ^ \ cir <9。$

这给了我们 $84-64 + 1 = 21$整数解决方案 $X$． $_\正方形$

存在某些类型的右三角形，其侧面长度的比率是有用的。这些也被发现<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/basic-trigonometric-functions/" class="wiki_link" title="三角函数的特定值" target="_blank">三角函数的特定值．

在右三角形的等腰中，角度是 $45 ^ \ circ$那 $45 ^ \ circ$, $90 ^ \保监会$．对于这样一个三角形，三角形的两条短边长度相等，斜边是 $\ sqrt {2}$较短一侧的长度：

我们也可以从定义中看出这种关系 $\ sin \ theta$和 $\ cos \ theta$并使用具体价值 $\ theta = 45 ^ \ circ$：

$45 ^ \ \开始{对齐}\罪保监会& = \罪\压裂{\π}{4}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相反}}{\文本{斜边}}\ \ \因为45 ^ \保监会& = \因为\压裂{\π}{4}= \压裂{1}{\ sqrt{2}} = \压裂{\文本{相邻}}{斜边}}{\文本。\结束{对齐}$

在这个直角三角形中，角是 $30 ^ \保监会,60 ^ \保监会$, $90 ^ \保监会$．

如果是对着 $30 ^ \ CIRC$角度有长度 $一种$，然后对面的一侧 $60 ^ \ circ$角度有长度 $a \ sqrt {3}$斜边有长度 $2$．我们也可以从定义中看到这一点 $\ sin \ theta$和 $\ cos \ theta$并使用具体价值 $\ theta = 60 ^ \ circ$：

$\ begin {对齐} \ sin 60 ^ \ cir＆= \ sin \ left（\ frac {\ pi} {3} \ rectle）= \ frac {\ sqrt {3}} {2} = \ frac {\ text {相反}}{\text{hypotenuse}}\\ \cos 60^\circ &= \cos \left( \frac{\pi}{3} \right)= \frac{1}{2} = \frac{\text{adjacent}}{\text{hypotenuse}}. \end{aligned}$

考虑以下正确的三角形：

假设我们已知三角形的两条边长:例如，斜边 $C$和对边 $B.$．然后我们发现

$\ sin \ theta = \ frac {\ text {对比}} {\ text {hypotenuse}} = \ frac {b} {c}。$

从这方面，我们可以确定 $\ cos \ theta？$由于三角形是一个正确的三角形，我们可以使用Pythagorean定理来找到侧面长度 $一种，$从这可以找到

$\ cosθ= \ \压裂{\文本{相邻}}{\文本{斜边}}= \压裂{一}{c}。$

我们用一个例子来说明这一点:

在下面的右三角形，两侧长度 $A = 3.$和 $B = 4.$给出了。找到 $\ sin \ theta$和 $\ cos \ theta。$

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自从 $\ tan \θ= \压裂{\文本{相反}}{\文本{相邻}}= \压裂{b} {},$我们有 $\ tan \ theta = \ frac {4} {3}。$此外，毕达哥拉斯定理意味着斜边 $C$正确的三角形满足 $C ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 = 3 ^ 2 + 4 ^ 2 = 25$,或 $c = 5$．所以，

$罪\开始{对齐}\ \θ= \压裂{b} {c} = \压裂{4}{5}\ \ \因为\θ= \压裂{一}{c} = \压裂{3}{5}。\ _ \ square \结束{对齐}$

我们将在wiki中进一步研究直角三角形上的三角函数之间的关系<一种href="//www.parkandroid.com/wiki/pythagorean-identities/" class="wiki_link" title="毕达哥兰身份" target="_blank">毕达哥兰身份．

现在，假设我们给出了右三角形的急性角度，以及三角形的一个侧面。我们可以使用三角函数来找到三角形的另一面的值吗？

考虑以下正确的三角形：

如果角度 $\ theta.$= $\ frac {\ pi} {3}$和一侧长度 $一种$是 $5.$，找到一侧长度 $B.$．

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我们有

$\ begin {对齐} \ tan \ theta = \ tan \ left（\ frac {\ pi} {3} \ revent）= \ frac {b} {a}＆= \ frac {b} {5} \\ \ sqrt{3}＆= \ frac {b} {5} \\ b＆= 5 \ sqrt {3}。\ _ \ square \结束{对齐}$