巴拿赫好矛盾

的Banach-Tarski悖论是几何和定理吗集理论这表明 $3.$-维度的球可以被分解成有限的许多块，然后这些块可以以一种方式重新组装，产生原始球的两个副本。

巴纳奇-塔尔斯基说，一个球可以被拆开和重新组装，以产生两个相同的球副本。

这被认为是一个悖论，因为它与几何直觉相反，一个人可以把一个物体切成块，并严格地重新安排这些块。事实上，球被分解成的碎片并没有明确的体积。这样的存在不可测欧几里得空间的子集取决于公理的选择．

而不是分解固体 $3.$-维球，本文将呈现一个分解 $2$球 $S ^ 2$哪一份可以重新排列成两份 $S ^ 2$．回想一下, $x^2 + y^2 + z^2 = 1\}$．从这里，可以得到所需的分解 $3.$从球的中心取射线并集 $3.$球的碎片，它的边界 $S ^ 2$已分解。

证明的思想是代数的。一个与集团旋转的 $S ^ 2$这是本文所指的 $G \ mathbf {}$．子群的 $G \ mathbf {}$被分解为自相似的子集，并且这个子组被允许对 $S ^ 2$．的轨道这一行动将是我们所期望的 $S ^ 2$．

让 $F \ mathbf {} _2$表示两个发电机上的自由群 $一个$和 $b$．也就是说, $F \ mathbf {} _2$由字母组成的单词组成 $一个$和 $b$，其中连接是组操作。例如，一些元素 $F \ mathbf {} _2$是 $阿坝^ ^ b {1} {1}$和 $^ 2 b ^ {1}$；这些元素的连接是 $a^{-1} b^{-1} b^{-1} b^{-1}$．

让 $(一)$表示 $F \ mathbf {} _2$开始 $一个$，并同样定义 $年代(b)$， $大S \(^{1} \大)$, $年代\大(b ^{1} \大)$．然后 $F \ mathbf{} _2 = \{1 \} \杯S (a) \杯(b) \杯年代\大(^{1}\大)\杯年代\大(b ^{1} \大),$在哪里 $1$的标识元素 $F \ mathbf {} ^ 2$．然而，一个人也有 $\mathbf{F}_2 = a S\big(a^{-1}\big) \cup S(a)$自 $大S \(^{1} \大)$究竟是什么元素 $F \ mathbf {} _2$开始 $一个^ {1}$， $b$,或 $b ^ {1}$．同样的, $\mathbf{F}_2 = b S\big(b^{-1}\big) \cup S(b)$．这样，就可以分解了 $F \ mathbf {} _2$分成四份，“翻译”其中的两份(其中一份认为分组乘法是一种翻译)，然后重新组合四份，以获得两份副本 $F \ mathbf {} _2$．

现在，我们找到一个子群 $le \ \ mathbf {H} \ mathbf {G}$同构, $F \ mathbf {} _2$．让 $大(\ \ arccosθ= \ \ frac13 \大)$,让 $一个$被旋转 $\θ$关于 $x$设在,让 $B$被旋转 $\θ$关于 $z$设在。一个人可以展示群体 $\mathbf{H} =角A, B \角$是同构的 $F \ mathbf {} _2$．的轨道 $\ mathbf {H}$作用于 $S ^ 2$然后证明给出所期望的矛盾分解 $S ^ 2$！