公理的选择gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba选择公理gydF4y2Ba公理在吗gydF4y2Ba集理论gydF4y2Ba影响广泛，有时甚至违反直觉。它指出，对于任何集合，可以从原始集合中的每个集合构造一个包含元素的新集合。换句话说，可以从集合中的每个集合中选择一个元素。gydF4y2Ba

直观地说，选择公理保证了通过一系列选择获得的数学对象的存在，因此可以将其视为有限过程（从箱子中选择对象）的扩展虽然这个扩展看起来是显而易见的，合理的，但它也相当强大；即使这样，也会导致一些意想不到的，也许看起来不自然的后果。gydF4y2Ba

20世纪逻辑学的发展gydF4y2Ba $^\文本{th}gydF4y2Ba$世纪确立了选择公理独立于普遍接受的公理gydF4y2Ba集理论gydF4y2Ba由于Zermelo和Fraenkel；也就是说，具有选择公理的Zermelo-Fraenkel集合论(gydF4y2BaZFCgydF4y2Ba)和不带选择公理的泽梅洛-弗伦克尔集合理论(ZFgydF4y2Ba $\负数gydF4y2Ba$C)都是逻辑上一致的理论。然而，大多数数学家普遍接受选择公理为真，并在必要时使用它。gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $\数学{I}gydF4y2Ba$是一个集。一个集合gydF4y2Ba索引gydF4y2Ba $\数学{I}gydF4y2Ba$是集合的集合吗gydF4y2Ba $我\ \ {S_i \} _ {\ mathcal{我}}gydF4y2Ba$．换句话说，集合包含的每个元素的一个集合gydF4y2Ba $\数学{I}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

一个gydF4y2Ba选择函数gydF4y2Ba是一个函数gydF4y2Ba $f: \mathcal{I} \to \bigcup_{I \in \mathcal{I}} S_igydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $f(我)在S_i \gydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $我\ \ mathcal{我}gydF4y2Ba$．选择公理表明，对于任何非空集的索引集合，都存在一个选择函数。gydF4y2Ba

选择公理的另一个表述是gydF4y2Ba笛卡儿积gydF4y2Ba关于集合，选择公理是这样的陈述gydF4y2Ba非空集的索引集合的笛卡尔积是非空的gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $S_i \ne \emptyset \，\， \forall\，\， i\in {mathcal{i}} \Rightarrow \prod_{i\in mathcal{i}} S_i \ne \emptyset。gydF4y2Ba$

注意，当索引集合时，选择公理只是一个有趣的语句gydF4y2Ba $\数学{I}gydF4y2Ba$是gydF4y2Ba无限gydF4y2Ba:证明非空集的有限积是非空集是很容易的，不需要使用选择公理，例如:gydF4y2Ba就职gydF4y2Ba集合的数量。虽然选择公理似乎是对这一性质的直接概括，但它有许多令人惊讶的结果，其中一些将在接下来的两部分中列出。gydF4y2Ba

选择公理最初是由Zermelo提出的，目的是为了证明以下定理:gydF4y2Ba

井序定理gydF4y2Ba

每一套都可以井然有序：也就是说，有一个gydF4y2Ba总订单gydF4y2Ba在集合上，使每个非空子集都有最小的元素。gydF4y2Ba

这个顺序可能不是最明显的顺序。例如，通常顺序的实数集不是有序的，因为有许多子集gydF4y2Ba $\马瑟布RgydF4y2Ba$(包括gydF4y2Ba $\马瑟布RgydF4y2Ba$本身）没有最小元素。另一方面gydF4y2Ba $\马修gydF4y2Ba$它通常的秩序是井然有序的;这就是内容gydF4y2Ba良序原则gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

事实证明，良序定理在逻辑上等价于选择公理——也就是说，仅使用ZF集理论，每一个都暗示着另一个。下面是另一个在证明中经常使用的等价语句：gydF4y2Ba

佐恩引理gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$是一个gydF4y2Ba偏序集gydF4y2Ba它的性质是gydF4y2Ba链条gydF4y2Ba在里面gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$有上界吗gydF4y2Ba $X。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$包含一个极大元素。gydF4y2Ba

回忆一下，链是元素的集合gydF4y2Ba $XgydF4y2Ba$哪些是可以相互比较的gydF4y2Ba上限gydF4y2Ba链的最大元素是与链的所有元素可比且“大于”的元素，最大元素是元素gydF4y2Ba $x\in xgydF4y2Ba$这样就没有了gydF4y2Ba $在X y \gydF4y2Ba$与gydF4y2Ba $x\prec y。gydF4y2Ba$

总结如下：gydF4y2Ba

在ZF集合论中，gydF4y2Ba
$\text{选择公理}\Leftrightarrow\text{井序定理}\Leftrightarrow\text{Zorn引理}gydF4y2Ba$

下面是数学其他领域的其他陈述的部分列表，这些陈述在逻辑上等同于选择公理。请注意，他们中的许多人断言一个对象的存在，但没有给出计算公式，这与选择公理本身很相似。直观地说，这些非结构化的存在结果正是选择公理的有用之处。gydF4y2Ba

• 每一个gydF4y2Ba向量空间gydF4y2Ba有一个gydF4y2Ba原因gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

• 每一个平凡的gydF4y2Ba环gydF4y2Ba有一个gydF4y2Ba极大理想gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

• (任意多)的笛卡尔积gydF4y2Ba契约gydF4y2Ba拓扑空间gydF4y2Ba是紧凑的(gydF4y2Ba第乔诺夫定理gydF4y2Ba).gydF4y2Ba

• 任何两组都有相同的gydF4y2Ba基数gydF4y2Ba，或者其中一个基数比另一个小。gydF4y2Ba

• 每一个gydF4y2Ba连通图gydF4y2Ba有一个gydF4y2Ba生成树gydF4y2Ba．gydF4y2Ba

• 每一个gydF4y2Ba满射gydF4y2Ba作用gydF4y2Ba $f\冒号X\到YgydF4y2Ba$具有右逆，即函数gydF4y2Ba $g\冒号Y\到XgydF4y2Ba$这样gydF4y2Ba $f\big（g（y）\big）=ygydF4y2Ba$对所有gydF4y2Ba $y \在y中。gydF4y2Ba$

有相当多的陈述比选择公理弱——选择公理可以用来证明它们，但相反的含义是不正确的。gydF4y2Ba

• 数不清的许多人的联盟gydF4y2Ba可数名词gydF4y2Ba集合是可数的。gydF4y2Ba

• 每一个gydF4y2Ba领域gydF4y2Ba具有代数闭包；也就是说，如果gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$是一个字段，有一个扩展名gydF4y2Ba $\上划线{k}gydF4y2Ba$的gydF4y2Ba $kgydF4y2Ba$通过相邻gydF4y2Ba代数gydF4y2Ba元素，使得每个系数为gydF4y2Ba $\上划线{k}gydF4y2Ba$扎根于gydF4y2Ba $\上划线{k}。gydF4y2Ba$

• 每一个gydF4y2Ba希尔伯特空间gydF4y2Ba具有正交基。gydF4y2Ba

• 的gydF4y2Ba巴纳赫-塔斯基悖论gydF4y2Ba：三维球可以分解为有限多个不相交的子集，这些子集可以重新组合为球的两个副本。gydF4y2Ba $（gydF4y2Ba$这个想法是，尽管这违反了我们对体积的概念，但这些概念并不是对所有体积的子集都有意义gydF4y2Ba ${\mathb R}^3。gydF4y2Ba$需要选择公理来构造分解中的“不可测量”子集。gydF4y2Ba $）gydF4y2Ba$

一个常见的笑话[1]如下：“选择公理显然是正确的；有序的[定理]显然是错误的；谁能说出Zorn引理？”当然，这三种说法在逻辑上是等价的；关键是，选择公理的某些形式比其他形式更直观可信。gydF4y2Ba

哥德尔在1938年证明了ZFC在逻辑上是一致的，保罗·科恩证明了ZFgydF4y2Ba $\负数gydF4y2Ba$C在1962年在逻辑上是一致的。这项工作的结果是，没有办法用ZF的公理来解决选择公理的真假问题。是假设选择公理还是否定选择公理的问题或多或少是一个“品味”的问题数学界的共识是，ZFC宇宙似乎比ZF宇宙更自然gydF4y2Ba $\负数gydF4y2Ba$C的宇宙。gydF4y2Ba

然而，有些数学家要么不“相信”选择公理，要么对在他们的集合理论中不允许这个公理的逻辑反响感兴趣。例如，一些被认定为“构造主义者”的数学家认为，数学对象只有在能够被明确构造时才存在，因此选择公理及其非构造性是不可接受的。大多数(非逻辑学家)数学家认为，接受选择公理至少在一定程度上是为了方便;选择公理所提供的理论工具允许在它适用的许多情况下更丰富的理论。例如，知道每个向量空间都有一组基对证明和其他构造都是有帮助的，即使不能构造出显式的基。gydF4y2Ba

对于数学家来说，追踪哪些结果需要选择公理，哪些结果不需要选择公理就可以证明，这是标准的。ZF集合理论的其余公理基本上是被普遍接受的，所以准确地确定什么时候选择公理是不可避免的是有帮助的。gydF4y2Ba

这里有一个证明，证明良好排序定理隐含了选择公理。(反过来就更复杂了。)gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $苏伊gydF4y2Ba$索引为的非空集的集合gydF4y2Ba $\数学{I}。gydF4y2Ba$然后是gydF4y2Ba $苏伊gydF4y2Ba$可以通过好序定理好序。因此，联合的每个子集都有一个最小元素；所以每gydF4y2Ba $苏伊gydF4y2Ba$元素最少gydF4y2Ba $m_i。gydF4y2Ba$定义gydF4y2Ba $f\colon{\mathcal{I}}\to\cup{I\in{\mathcal{I}}sigydF4y2Ba$通过gydF4y2Ba $f (i) = m_i。gydF4y2Ba$然后gydF4y2Ba $fgydF4y2Ba$是一个选择函数。gydF4y2Ba $_ \广场gydF4y2Ba$

关键是，必要的选择是由良好排序定理免费提供给我们的。gydF4y2Ba

下面是一个典型的例子，它使用了佐恩引理来证明每个向量空间都有一个基:gydF4y2Ba

让gydF4y2Ba $VgydF4y2Ba$是一个向量空间gydF4y2Ba $\数学{S}gydF4y2Ba$收藏gydF4y2Ba线性无关的gydF4y2Ba的子集gydF4y2Ba $V,gydF4y2Ba$由包含部分有序的。假设我们有一个线性无关的子集链。那么链上子集的并集是一个上界，并且是线性独立的:设gydF4y2Ba $a_1v_1 + \ cdots + a_nv_n = 0gydF4y2Ba$对于一些gydF4y2Ba $v_igydF4y2Ba$在联邦和gydF4y2Ba $aigydF4y2Ba$在常数域中。因为每一gydF4y2Ba $v_igydF4y2Ba$在链的子集中，链中一定有包含它们的子集。这个子集是线性无关的，所以所有的gydF4y2Ba $aigydF4y2Ba$必须是gydF4y2Ba $0.gydF4y2Ba$
$\幻影{和}gydF4y2Ba$
因此，根据佐恩的引理，gydF4y2Ba $\数学{S}gydF4y2Ba$具有极大元;叫它gydF4y2Ba $B。gydF4y2Ba$因为gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是极大的吗gydF4y2Ba $B \杯\ {v \}gydF4y2Ba$是线性相关的gydF4y2Ba $v范围内随意抽查,\ B。gydF4y2Ba$由此产生的依赖关系可以简化为gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$的元素的线性组合gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$：gydF4y2Ba
$\开始{aligned}av+\sum{i=1}^n a_i b_i&=0\\右箭头v&=\sum{i=1}^n-\frac{a_i}{a}b_i\结束{对齐}gydF4y2Ba$
关键是gydF4y2Ba $一个东北\ 0gydF4y2Ba$否则就会有依赖关系gydF4y2Ba $b_i,gydF4y2Ba$这是不可能的，因为gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是线性无关的。所以gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$在张成的空间中gydF4y2Ba $B,gydF4y2Ba$所有人都是这样gydF4y2Ba $v范围内随意抽查,\ B,gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$跨越gydF4y2Ba $V。gydF4y2Ba$所以gydF4y2Ba $BgydF4y2Ba$是一个基础。gydF4y2Ba

同样，这也不是一个显而易见的结果。例如,gydF4y2Ba $\马瑟布RgydF4y2Ba$向量空间在上面吗gydF4y2Ba $\ mathbb Q。gydF4y2Ba$选择公理意味着它有一个基础（不难证明这样的基础一定是不可数的）；但找到明确的基础基本上是不可能的。gydF4y2Ba

以下(困难的)问题探讨了选择公理的其他一些后果:gydF4y2Ba

[1]这要归功于Jerry Bona，引用自:Schechter, Eric。gydF4y2Ba分析手册及其基础gydF4y2Ba．学术出版社，1997，第145页。gydF4y2Ba