渐近

一个渐近一个曲线是一条线，该曲线收敛。换句话说，曲线和它的渐近线得到无限接近，但他们从来没有遇见过。渐近线有多种应用：它们在使用大O符号他们是简单的近似复杂的方程式，他们是有用的绘图理性方程。在这个wiki，我们将看到如何确定任何给定曲线渐近线。

在大多数情况下，曲线的渐近线可以通过在函数没有定义的地方取一个值的极限来找到。典型的例子有 $\ infty$和 $- - - - - - \ infty,$或者有理函数的分母为零的点。渐近线一般为直线，除非另有提及。渐近线大致可分为三类：水平，垂直和倾斜。当每种类型的渐近线的出现，我们现在明白了。

主要文章：垂直渐近。

一个曲线的最简单的例子与渐近线会 $y = \压裂{1}{x}。$请注意，这是一种理性的功能。为了找到它的渐近线，我们就在那里没有定义函数的所有值的限制，这是 $- - - - - - \ infty 0$和 $\ infty。$为了 $X \ RIGHTARROW 0，$我们应该检查右侧和左侧均在限制。然后我们有

${对齐}\ \开始lim_ {x \ rightarrow - \ infty} \压裂{1}{x} & = 0 ^ {-} \ \ \ lim_ {x \ rightarrow \ infty} \压裂{1}{x} & = 0 ^ {+} \ \ \ lim_ {x \ rightarrow0 ^{-}} \压裂{1}{x} & = - \ infty \ \ \ lim_ {x \ rightarrow0 ^{+}} \压裂{1}{x} & = \ infty。\结束{对齐}$

因此，我们可以得出如下结论:

（1）当 $x \ \ infty rightarrow,$曲线收敛至的下部和负侧 $X$-轴。
（2）当 $X \ RIGHTARROW \ infty，$曲线收敛到的上侧和正侧 $X$-轴。
(3)当 $x \ rightarrow0 ^ {-},$曲线无限向下，收敛到负的边 $y$-轴。
（4）当 $X \ rightarrow0 ^ {+}，$曲线无限向上，收敛于 $y$-轴。

因此，的渐近线 $y = \压裂{1}{x}$是 $X$- - - $y$相互重合。现在你自己看看这张曲线图，看看我们的结论是否与图相符。

您可能已经注意到，简单地画图是找到渐近线的最好方法，您是对的!所以，如果我们要处理的曲线的图像很熟悉，就把它画出来试着掌握渐近线的位置。对于复函数，用微分法估计其图是有帮助的。让我们看一些案例，看看是怎么做的。

下面显示的是四个不同的功能的曲线图，并且可以看出，该第一图不具有水平渐近线，第二和第三图形具有水平渐近线，和第四曲线具有两个水平渐近线。你能认出哪些因素影响功能的水平渐近线的数量？

$$ $Y = {x^2+ 5x + 6}{x - 2}$

$$ $y = \压裂{1}{x}$

$$ $Y = E 1 { - X}$

$$ $Y = \反正切X$

$$

• 在第一个图中，两个极限 $\displaystyle \lim _{x \to \ inty} f(x)$和 $\displaystyle \lim _{x \to - \ inty} f(x)$不是有限的。这就是为什么在第一个图中没有水平渐近线。
• 在第二个图中，仅其中一种限制是有限的，因此，它仅具有一个水平渐近线。
• 在第三个图中，两个极限都是常数，但两个极限相等，所以只有一条水平渐近线。
• 在第四个图中，两个极限都是有限的，两个极限都是不同的，所以它有两条不同的水平渐近线。

你能想出一个有三条或三条以上水平渐近线的函数吗?

一个函数不可能有两条以上的水平渐近线。但是，我们可以有曲线，它不是有两条以上渐近线的函数。

求的水平渐近线 $Y = \反正切X$。

---

的水平渐近线 $Y = \反正切X$是 $Y = {frac{pi} {2}$和 $Y = - frac{pi} {2}$。 $_\正方形$

• 例子

• 例子

曲线的渐近线是什么 $Y =（1-x）的E 1 X？$

---

让 $y = f (x),$然后 $F（0）= 1$和 $F（1）= 0，$这给该曲线经过两点： $(0,1)$和 $(1,0)。$下面要获得该表也将给我们的曲线看起来像什么了。

的第一和第二导 $f（x）$是

$\开始{对齐} F '（X）= - E 1 X +（1-x）的E 1 X = -xe ^ X \\ F''（X）=＆ - E 1 X-XE ^ X = - （1 + x）的E 1 X。\结束{对齐}$

卖 $f (x) = xe ^ x = 0,$我们有 $x = 0。$
同时,让 $f (x) = (1 + x) e ^ x = 0$给 $X = -1。$
然后检查的迹象 $F'（x）的$和 $F ''（x）的$周围 $x = -1$和 $x = 0,$我们得到如下表:

$\begin{array} { c c c c c c } x & \cdots & -1 & \cdots & 0 & \cdots \\ \\ f'(x) & (+) & (+) & (+) & 0 & (-) \\ f''(x) & (+) & 0 & (-) &(-) & (-) \\ f(x) & \text{(concave up)} & \frac{2}{e} & \text{(concave down)} & 1 & \text{(concave down)} \end{array}$

现在，检查的范围 $f（x）$作为我们的最后一步，我们有

$\ lim_ {X \ RIGHTARROW \ infty} F（X）= - \ infty，\ lim_ {X \ RIGHTARROW - \ infty} F（X）= 0。$

因此，在区间内 $[1 \ infty)$曲线是向下凹的，在 $x = 0.$并无限期下降为价值 $X$方法 $\ infty。$
在间隔 $(1) - \ infty$该曲线是向上凹，让无限接近 $X$的值 $X$方法 $- - - - - - \ infty。$利用这些信息，我们可以大致得出的图表 $y = f (x),$这看起来如下图所示：

因此，给定的曲线的渐近线是 $X$-轴。 $_\正方形$

曲线的渐近线是什么 $Y = \压裂{X ^ 2 + 1} {2×}？$

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让 $y = f (x),$然后域 $f（x）$所有的数字都是实数吗 $X$这样 $X \ 0 NE$因为分母不能为零。此外，该图 $y = f (x)$是对称的，因为相对于原点 $F（-x）= - F（X）。$

现在，拥有的图形看起来像什么更好的主意，我们得到的第一和第二导 $f（x）$如下:

$\开始{对齐} F'（X）= \压裂{（2×）\ CDOT（2×） - （X ^ 2 + 1）\ CDOT 2} {（2×）^ 2} \\＆= \压裂{2×^ 2-2} {4倍^ 2} \\＆= \压裂{（X + 1）（X-1）} {2×^ 2} \\\\ F ''（X）=＆\压裂{（2×）\cdot(2x^2)-(x^2-1)\cdot (4x)}{\left(2x^2\right)^2}\\ &=\frac{1}{x^3}. \end{aligned}$

卖 $f (x) = \压裂{(x + 1) (x - 1)} {2 x ^ 2} = 0,$我们有 $x = -1$或 $x = 1。$
卖 $f (x) = \压裂{1}{x ^ 3} = 0$没有给出解，这意味着图没有拐点。

然后检查的迹象 $F'（x）的$和 $F ''（x）的$周围 $x = 1, x = 0,$和 $x = 1,$我们得到如下表:

$\开始{数组}{c c c c c c c} x & \ cdots & 1 & \ cdots四维& \ cdots & 1 & \ cdots \ \ \ \ f (x ) & (+) & 0 &(-) & & (-) & 0 & (+) \\ f (x ) & (-) & (-) &(-) & & (+) &(+) & (+) \\ f (x) & \文本{(凹)}&-1 & \文本{(凹)}& & \文本{(凹)}& 1 &文本{(凹)}\ \{数组}结束$

现在，观察 $f（x）$可以重写为 $F（X）= \压裂{X ^ 2 + 1} {2×} = \压裂{1} {2×} + \压裂{1} {2} X。$然后检查的范围 $f（x）$正如我们最后一步所给出的

$if (x) =- inty, if (x) =- inty, if (x) =- inty, if (x) =- inty$

和

$\ lim_ {X \ RIGHTARROW \ infty} \左（F（X） - \压裂{1} {2} X \右）= 0，\ lim_ {X \ RIGHTARROW - \ infty} \左（F（X） -\压裂{1} {2} X \右）= 0。$

因此，在区间内 $（0，\ infty），$该曲线是凹下去，让无限接近 $y$-axis $X \ RIGHTARROW 0$直到最后 $Y = \压裂{1} {2} X$作为 $x \ rightarrow \ infty。$

同样，在区间内 $(0) - \ infty$该曲线是向上凹，让无限接近 $y$-axis $X \ RIGHTARROW 0$直到最后 $Y = \压裂{1} {2} X$作为 $X \ RIGHTARROW - \ infty。$现在，我们可以得出的图表 $y = f (x),$这看起来如下图所示：

因此，给定图的渐近线是 $y$-轴和直线 $Y = \压裂{1} {2} X。$ $_\正方形$

曲线的渐近线是什么 $y = x 2 x ^ 2 - \ ln ?$

---

让 $y = f (x),$则由于对数函数是在正数定义的域 $f（x）$所有的数字都是实数吗 $X$这样 $x > 0。$

现在，为了更好地了解曲线是什么样的，我们得到的是的一阶和二阶导数 $f（x）$如下:

$\开始{对齐} F'（X）= 4x- \压裂{1} {X} \\＆= \压裂{4倍^ 2-1} {X} \\＆= \压裂{（2×+ 1）（2X-1）} {X} \\\\ F ''（X）= 4 + \压裂{1} {X ^ 2}。\结束{对齐}$

卖 $F'（X）= \压裂{（2X + 1）（2X-1）} {X} = 0，$我们有 $x = \压裂{1}{2}$自 $x > 0。$
卖 $F ''（X）= 4 + \压裂{1} {X ^ 2} = 0$没有给出解决方案，因为 $4+ \压裂{1} {X ^ 2}> 0，$这意味着该曲线没有拐点。

然后检查的迹象 $F'（x）的$和 $F ''（x）的$周围 $x = \压裂{1}{2},$我们得到如下表:

$\{数组}{c c c c}开始x四维& \ cdots & \压裂{1}{2}& \ cdots \ \ \ \ f (x ) & & (-) & 0 & (+) \\ f (x ) & & (+) & (+) & (+) \\ f (x) & & \文本{(凹)}& \离开(\压裂{1}{2}- \ ln \压裂{1}{2}\右)& \文本{(凹)}\{数组}结束$

现在，检查的范围 $f（x）$作为我们的最后一步，我们有

$\ lim_ {X \ RIGHTARROW 0} F（X）= \ infty，\ lim_ {X \ RIGHTARROW \ infty} F（X）= \ infty。$

因此，在区间内 $（0，\ infty），$该曲线是凹形时，在打底 $x = \压裂{1}{2}$并无限期上升为价值 $X$方法要么 $0.$或 $\ infty。$现在，我们可以大致得出的图表 $y = f (x),$这看起来如下图所示：

因此，给定的曲线的渐近线是 $y$-轴。 $_\正方形$