算术谜题-运算符搜索

操作符搜索是一种算术难题，你需要在给定的方程中找到合适的数学运算符，使方程成立。在下面的例子中，如果我们考虑4个数学运算符 $（+， - ，\ times，\ div）$，则有 $4 ^ 3 = 64$可能的组合：

$\水平间距{5厘米}1 \ \ \平方,2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ = 10。$

我们要列出64种可能的组合来解它吗?不一定!当然有办法减少需要检查的病例数量。然而，你应该记住，不一定有唯一的解决方案，有些谜题甚至可能没有解决方案!

在这个wiki中，我们将只使用4个数学运算符 $(+， -， \times， \div)$， 和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations/" class="wiki_link" title="BODMAS运营顺序" target="_blank">BODMAS运营顺序，除非另有说明。最后，您应该能够识别一些可以帮助您轻松解决这些问题的技巧。

操作员搜索谜题与他们的姐妹页相似，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-puzzles-fill-in-the-blanks/" class="wiki_link" title="填空" target="_blank">填空，因为前者要填写数字，但是后者是填写数学运算符的数字。

1.每一个 $\正方形$只能用数学运算符代替。 $$

例如， $\ \ \广场,b = \开始{病例}{a + b \ \文字{或}}\ \ {a - b \ \文字{或}}\ \ {\ b \ \文本{或}}\ \ {a \ div。}\{病例}结束$ $$

2.每一个都需要进行数学运算 $\广场。$ $$

特别是，数字没有组合。例如， $1 \，\ square \，2 = 12$是不允许的。 $$

3.数字以给定的顺序固定。 $$

请记住，我们不能重新排列数字，即。 $8平方4 ne 4平方8$．这是因为每个正方形代表一个数学运算符，假设数字的位置是固定的。

另一个明确的例子是， $A，正方形，B，正方形，C$并不与下列任何一项相同:

$\开始{数组}{c}和\ \ \,c \ \ \广场,B, B \, \ \广场,一个\ \ \广场,c,乙\,\ \广场,c \ \ \广场,,明目的功效\,\广场\ B \ \ \广场,,明目的功效\,\ \广场,一个\ \广场\ B \最终数组{}$ $$

4.遵守操作顺序。 $$

像往常一样，跟着<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations-parentheses/" class="wiki_link" title="约定的BODMAS" target="_blank">约定的BODMAS，我们应该先解圆括号、乘法和除法。例如，下面的表达式:

$大2 \平方2 \平方2 \平方(2 \平方2 \平方)$

如果五个正方形(从左到右)代表 $+ \times \times \div -，$然后

$\{对齐}\ \广场2号开始\ \ \广场2号\ \ \广场2号\ [2 \ \ \ 2 \ \ \ 2)& = & 2 + 2 \ times2 \ * (2 \ div2-2) \ \ & = & 2 + 4 \ * (1 - 2) \ \ & = & 2 + 4 \ * (1) \ \ & = & 2 + (4 ) \\ &=& - 2。结束\{对齐}$

这是一个简单的例子是一个开始：

$\大3 \ \ square \ 3 \ \ square \ 3 \ square \ 3 \ square \ 3$

确定上面表达式的值，其中4个平方(从左到右)表示以下操作符: $$

$\begin{array}{r r l} & \text{i)} & + - \times \div\\ & \text{ii)} & - \times \div + \\ & \text{iii)} & \times \div + -\\ & \text{iv)} & \div + - \times \end{array}$

---

通过服从操作的顺序，我们得到的答案 $三，三，三，五$为 $\text{i)， ii)， iii)， iv)，}$分别。 $_ \广场$

我们将如何解决操作员搜索问题?如果我们不知道更多的话，我们就从抛出随机的操作符序列开始。尽管不是最有效的方法<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/trial-and-error/" class="wiki_link" title="试验和错误" target="_blank">试验和错误方法允许我们通过完成所有可能的情况来获得所有可能的结果，并确定满足给定标准的解决方案。

注意，由于每个正方形被限制为只有四个运算符，因此由<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rule-of-product/" class="wiki_link" title="规则的产品" target="_blank">规则的产品可能的情况的数量 $N$广场是 $\ displaystyle 4 ^ N$．因此，当有更多方块时，这个过程就会变得更加乏味。

$大2平方3平方6 = 1$

确定所有数学运算符，使上述算术拼图为真。

---

列出所有 $4 ^ 2 = 16$可能的组合，我们有

$\开始{数组}{c c c c | | | | c } & + & - & \ * & \ div \ \ \线+ & 2 + 3 + 6 = 11 & 2 + 3 - 6 = 1 & 2 + 3 \ * 6 = 20 & div 6 = 2 + 3 \ \压裂{5}2 \ \ \线- 2 - 3 + 6 = 5 & 2 - 3 - 6 = 7 & 2 - 3 \ * 6 = -16 & 2 - 3 \ div 6 = \压裂{3}2 \ \ \线\ * & 2 \ * 3 + 6 = 12 & 2 \ * 3 - 6 = 0 & 2 \ * 3 \ * 6 = 36 &\color{#3D99F6}{2 \times 3 \div6 = 1} \\ \hline \div & 2 \div3 + 6 = - frac{20}3 & 2 \div3 - 6 = - frac{16}3 & 2 \div3 \times 6 = 4 & 2 \div3 \div6 = frac{16}9 \\ \end{array}$

通过列出所有可能的组合，我们可以得出结论，只有一个解，即 $2 \times3\div6 = 1$．因此，满足给定等式的两个数学运算符（左右侧）是 $\ *$和 $\ div。$ $_ \广场$

我们应该记住，即使我们已经找到了一个合适的解决方案，我们仍然必须继续寻找其他可能的解决方案。这是因为并非所有问题都有唯一的解决方案。

$\大3 \ \ square \ 5 \ \ square \ 6$

确定所有的数学运算符对，使上述算术难题产生一个整数。

---

列出所有 $4 ^ 2 = 16$可能的组合，我们有

$\开始{数组}{c c c c | | | | c } & + & - & \ * & \ div \颜色\ \线+ & \ {# 20 a900}{3 + 5 + 6 = 14} &颜色\ {# 20 a900}{3 + 5 - 6 = 2} &颜色\ {# 20 a900} {3 + 5 \ * 6 = 33} & 3 + 5 \ div 6 = \压裂{23}6 \ \ \线- & \彩色{# 20 a900}{3 - 5 + 6 = 4} &颜色\ {# 20 a900}{3 - 5 - 6 = 8} &颜色\ {# 20 a900}{3——5 \ * 6 = -27}& 3 - 5 \ div 6 = 6 \ \ \压裂{13}\hline \times & \color{#20A900}{3 \times 5 + 6 = 21} & \color{#20A900}{3 \times 5 - 6 = 9} & \color{#20A900}{3 \times 5 \times 6= 90} & 3 \times 5 \div 6 = \frac{5}{2} \\ \hline \div & 3 \div5 + 6 = \frac{33}5 & 3 \div5- 6 = -\frac{27}5 & 3 \div5 \times 6 = \frac{18}5& 3 \div5 \div6 = \frac1{10} \\ \end{array}$

通过列出所有可能的组合，我们可以得出这样的结论:有9个解，这样算术题就会产生一个整数解。 $_ \广场$

对于本例，真的有必要处理所有16个案例吗?这似乎很乏味，不是吗?嗯，是的，有一个漂亮的小技巧来减少你的工作。

请注意, $3 \ div 5$不是整数，所以呢 $3 \ div 5 \ \ square \ 6$永远不能是整数。这是因为 $6$不是分母的倍数吗 $5$．同样的, $5 \ div6$不是整数，所以呢 $3\ \平方\ 5 \div$永远不能是整数。这是因为 $3.$不是分母的倍数吗 $6$．换句话说，两个平方都没有 $3平方5平方6$能有除号吗 $（\ div）$使表达式生成一个整数。

有了这个整洁的小技巧，你可以解决介绍性的例子： $1 \ \ square \ 2 \ \ square \ 3 \ \ square \ 4 = 10$？

在某些问题中，我们对找出可能的解的数目不感兴趣，而是需要找出结果数的所有可能。我们想知道可能的最大值和最小值是什么，这可以帮助我们确定是否可以达到某个数字。尝试和错误可以让我们得到所有的结果，但如果有很多可能性，那就需要更多的工作。

1.最大的解决方案

假设我们对一个算子搜索问题的最大可能结果数感兴趣。如果不列出所有可能的结果，我们怎么能找到它呢?

$大5平方6平方7平方8$

以上面的表达式为例。于是，我想到了一个想法，我们应该把它们加起来: $5 + 6 + 7 + 8 = 26$．但是，最大值将形成从乘以所有这些数字： $5 \ times6 \ times7 \ times8 = 1680$．

一般来说，将所有术语乘以总是更好的。当涉及数字1时，此规则有轻微的异常。在这种情况下，因为 $1 + x > 1 \乘以x$在美国，需要稍微谨慎地考虑这些可能性。

下列运算员搜索谜题的最大可能结果数是多少? $$

$\开始{数组}{r r l} \ \ & \文本{i)} & 2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ \广场\ 5 \ \ & \文本{ii)} & 1 \ \ \平方,2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ \广场\ 5 \{数组}结束$

---

我)要使表达式最大化，所有的平方必须是乘法号 $(\)。$因此答案是 $2 \ times3 \ times4 \ times5 = 120$．

(二)就像在 ${我)}\文本,$你可能会想让所有的平方都有乘号。但是你可以稍微改进一下。因为任何乘以1的数都是它本身，我们可以使用另一个运算符来增加结果数。在本例中，它是加号 $（+）$因此最大值是

$1\，平方\，2\，平方\，3\，平方\，4 \，平方\，5 = 1+2乘以3乘以4乘以5 = 121。\ _ \广场$

2.正负值

在前面的例子中 $3平方5平方6$，我们能确定，所有的 $4 ^ 2 = 16$可能的值，负数的数量而不列出它们?

嗯,是的!注意 $+ \时报\ div$不会改变结果数的符号。因此，如果两个平方都不是负号，那么结果数必须是正的。换句话说，要使结果为负，两个平方中至少有一个必须是减号。

由于这只是一个必要条件，我们仍然必须检查所有的场景，以防其中一些场景产生正值。

$\{对齐}开始3 - 5 - 6 & = & 8 < 0 \ qquad \ qquad \ qquad(1) \ \ \ \广场3 - 5 \ \ \ 6 &:& \开始{病例}{3 - 5 + 6 = 4}\ \ {3 - 5 \ * 6 = -27 < 0 \ qquad (2)} \ \ {3 - 5 6 \ div6 = \压裂{13}}\结束{病例}\ \ \ \ 3 \ \ \广场5 - 6 &:& \开始{病例}{3 + 5 - 6 = 2}\ \ {3 \ times5-6 = 9} \ \ {3 \ div5-6 = - \压裂{27}5 < 0。\qquad (3)} \end{cases} \\ \end{aligned}$

所以有3个解决方案 $3平方5平方6$产生一个负数。看到快了多少吗?我们不用再查这16个案子了!现在，把你所学到的应用到下面的问题上:

3.最小的解决方案

与上面讨论的最大解一样，假设我们对算子搜索问题的最小可能结果数感兴趣。如果不列出所有可能的结果，我们怎么能找到它呢?最小的解可能有点棘手。让我们考虑一下上面的同样的问题。

$大5平方6平方7平方8$

我们是否应该考虑所有减法符号: $5-6-7 -8 = -16?$那么所有的除号呢: $5 \ div 6 \ div 7 \ div 8 = \ frac5 {336}？$事实证明，它们都没有工作。一个更小的价值是 $5 - 6 \ times7 \ times8 = -331$．但我怎么知道我没查过 $4 ^ 3 = 64$组合？这很简单！我们只需要减去最大的数量！自从我们开始 $5$在这个例子中，我们只需要从中减去最大的可能值，即，即 $6 \ times7 \ times8$．简单,是吧?就像最大解一样，这个规则可能会有轻微的例外，特别是当涉及数字1时。

例如， $广场2 \ \ \ 1 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 \ \ \广场,5$当前两个平方是减号时，产生较小的值。也就是说, $2 - 1 - 3 \ times4 \ times5 <2-1 \ times3 \ times4 \ times5$．

现在，所有这些的范围 $4 ^ 3 = 64$不同的数不一定是最大的和最小的结果数之间的差。

$大2平方3平方4平方5$

有 $4 ^ 3 = 64$我们可以用这些方法来填充上面的方块 $+， -，乘以，div$．找到所有这些的范围 $4 ^ 3 = 64$数字。

---

最大可能的值是 $2 \ times3 \ times4 \ times5 = 120$．最小可能值为 $2 - 3 \ times4 \ times5 = -58$．因此，范围是 $120 - （-58）= 178. \ _ \ Square$

4.多种解决方案

如果我们对确定算子搜索方程成立的所有可能解感兴趣，几乎每次都要进行试错。考虑下面的方程:

$（1 \，\ square \，2 \，\ square \,3）\，\ square \,4 = 6。$

首先处理括号里的这些

$\ begin {array} {c |C |C |C |C}＆+＆＆＆＆＆\ dive＆\ div \ div \\ \ hlinal + + 2 + 3 = 6＆1 + 2 - 3 = 0＆1 + 2 \ times 3 = 7＆1 + 2 \ div 3 =\ frac {5} 3 \\ \ hline - ＆1 - 2+ 3 = 2＆1 - 2 - 3 = -4＆1 - 2 \ times 3 = -5＆1 - 2 \ div 3 = \ frac {1}3.\\ \hline \times & 1 \times 2 + 3 = 5 & 1 \times 2 - 3 = -1 & 1 \times 2 \times3= 6 & 1 \times 2 \div 3 = \frac23 \\ \hline \div & 1 \div2 + 3 = \frac{7}2 & 1 \div2 - 3 = -\frac{5}2 & 1 \div2 \times 3 =\frac32 & 1\div2 \div3= \frac16 \\ \end{array}$

经过反复试验，在这16个数字中，只有2个满足条件，即。 $1 \ div2 \ times3 \ times4 = 6$和 $1-2 + 3 + 4 = 6$．

如果允许我们使用所有4个操作符，那么我们必须使用试错和检查大多数情况。然而，如果我们将运算符限制为只做加法 $（+）$和减法 $(-),$然后有几个我们可以应用的其他诀窍来解决问题。

1.最大值和最小值 $$

要找到最大值，我们只需要所有的平方都是加号 $（+）。$类似地，为了求最小值，我们只需要所有的平方都是减号 $(-)。$作为显式示例，最大值和最小值 $1平方2平方3平方4$是 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$和 $1 - 2- 3- 4 = -8，$分别。 $$

2.平价论证 $$

在本节中，我们将应用奇偶性来解决这些算术难题。如果你不熟悉这个概念，请阅读<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/modular-arithmetic-parity/" class="wiki_link" title="模算术-奇偶性" target="_blank">模算术-奇偶性．

$大1 \，平方\，2 \，平方\，3 \，平方\，4 = 5$

考虑上面的方程。在只有两个算子的约束下，如何确定所有可能的解?

让我们使用类比，在那里我们认为所有的正方形都是灯开关！

想象一下，打开灯泡作为加法标志 $（+）。$
把关灯当成减法符号 $(-)。$

对于方程的左侧，打开所有灯泡，我们具有总价值 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$，我们称之为初始状态．注意，如果我们改变任何符号，那么表达式的值将改变两倍的数字。这意味着结果的奇偶性仍然不变!我们已经找到了<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/invariant-principle-definition/" class="wiki_link" title="不变的" target="_blank">不变的:无论我们改变多少个符号，表达式必须仍然具有相同的奇偶性。

找到所有的解决方案 $$

$广场1 \ \ \ 2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 = 5。$

---

自 $1 + 2 + 3 + 4 = 10$是偶数，我们知道改变符号仍然是偶数，因此没有办法得到奇数5。因此没有解决办法。 $_ \广场$

3.副标题 $$

$\ \ \ \大1 \ \广场,2 \ \ \平方,3 \ \ \广场,4 = 6。$

现在，这个问题是上面提前示例问题的略有变化。如下式所示，我们首先添加所有原始号码，然后仅使用减法标志减去数字 $（-）$两次。

$\开始{对齐}1 + 2 + 3 - 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4)- \颜色20 a900}{# 2(4) = 10 - 8 = 2 \ \ 1 + 2 - 3 + 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(3) = 10 - 6 = 4 \ \ 1 - 2 + 3 + 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(2) = 10 - 4 = 6 \ \ 1 - 2 - 3 + 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900} {# 2 (2 + 3) = 10 - 10 = 0 1 - 2 + 3 \ \ 4 & = & (1 + 2 + 3 + 4) -颜色\ {# 20 a900} 2(2 + 4) = 10 - 12 = 2 \ \ 1 + 2 - 3 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色{# 20 a900} 2(3 + 4) = 10 - 14 = 4 \ \ 1 - 2 3 4 & = &(1 + 2 + 3 + 4) - \颜色20 a900}{# 2(2 + 3 + 4) = 10 - 18 = 8。结束\{对齐}$

换句话说，我们寻找一个或多个值的和的两倍 $\{2、3、4 \}$和和的两倍之差初始状态真的是等式的RHS上的数字，即 $6$在这个问题上。

简而言之，在这个问题中，我们寻找的是 $\{2、3、4 \}$使其元素的和等于

$\ frac12((1 + 2 + 3 + 4) 6) = 2。$

简单,是吧?我们可以通过使用灯泡类比来解决这个难题！

让我们试试另一种情况。使用上面的灯泡类比，我们还可以解决一个运算符搜索难题，它只有2的幂。假设我们想解以下方程:

$大1平方2平方2^2平方2^3平方2^4平方2^5 = 15。$

通过考虑初始状态,我们有 $1 + 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 = 63$，我们想找到价值 $x$这样 $63 - 2x = 15$．解决它的收益率 $x = 24日$这意味着我们现在需要找到的是 $2$加起来等于 $24$．所以我们应该关掉对应的灯泡 $2 ^ 3$和 $2 ^ 4$因为 $2 ^ 3 + 2 ^ 4 = 8 + 16 = 24。$也就是说,

$1 + 2 + 2^2 - 2^3 - 2^4 + 2^5 = 15。$

$\大1 \ \ square \ 2 \ square \ 2 ^ 2 \ square \ 2 ^ 3 \ \ square \ 2 ^ 4 \ \ square \ 2 ^ 5 \ \ square \ 2 ^ 6 \ \ square \ 2 ^ 7= 47$

有 $2 ^ 7 = 128$我们可以用它来填充正方形 $+、-$．确定这两个数学运算符的正确组合，使上述方程得以满足。

---

通过灯泡类比，我们首先得到初始状态: $1 + 2 + 2 ^ 2 + 2 ^ 3 + 2 ^ 4 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6 + 2 ^ 7 = 255，$哪个是a的和<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/geometric-progression-sum/" class="wiki_link" title="几何级数" target="_blank">几何级数．解 $x,$我们有 $255 - 2x = 47 \右x = 104。$

我们想求出不同的2的幂的和，得到104。104的产量减去2的最高次幂 $104 - 2^6 = 40$．我们重复这个过程来得到 $40 - 2^5 = 8$并最终 $104 = 2 ^ 3 + 2 ^ 5 + 2 ^ 6。$因此，下列方程成立:

$1 + 2 + 2^2 - 2^3 + 2^4 - 2^5 - 2^6 + 2^7 = 47。$

因此，正确的数学运算符组合是 $\begin{array}{c}&+ &+ &- & &- &+。\ \ _ \广场结束数组{}$

的24个游戏是一种用一副扑克牌玩的算子搜索谜题。我们鼓励你和一群朋友一起玩这个游戏，看看你是否能打败他们。

要玩游戏，从一副标准的52张牌中抽出4张。数字牌有对应数字的值，而杰克、皇后、国王和Ace的值分别是11、12、13和1。目标是第一个使用包含所有4个数字的基本算术运算正确地组成数字24的人。要想在这个游戏中获胜，你需要快速思考，良好的心算，以及大量的练习!

符合此页面，我们仅限于添加，减法，乘法和划分的操作。但是，我们被允许

1. 由于没有指定订单，请按我们的要求重新安排订单
2. 可以随意使用括号。

用下面的手玩24号游戏:

有多种解决方案，所以在看答案之前给这个尝试！

$开始\{对齐}4 + 6 + 6 + 8 & = 24 \ \ (4 - 6 \ div 6) \乘以8 & = 24 \ \ -(4 \ * 6)+(6 \ * 8)& = 24 \ \ 4 + 6 \ * 6 - 8 & = 24 \ \(6 + 6)\乘以8 \ div 4 & = 24。结束\{对齐}$

如果你发现了更多，请加入!

作为一个挑战，用下面的手来玩24号游戏:

这并不容易，所以在看下面的解决方案之前要花一些时间思考。

$8 \ div（3 - 8 \ div 3）= 8 \ div \ frac {1} {3} = 24。$

基于以上的成功，任何4张牌的手牌是否总是24张?出了 ${4 + 13 - 1 \选择4}= 1820$可能的四张手（审查<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/integer-equations-star-and-bars/" class="wiki_link" title="恒星和酒吧" target="_blank">恒星和酒吧有关详细信息，事实证明大约1362年 $(约72 \%)$其中有解。给出一张4张牌的手牌，主要的方法是证明有没有解决方案将经营所有可能的数字和操作组合。如果您有兴趣，您可以编写计算机程序以显示下面的手没有解决方案：

1. 订单的操作．
2. 算术拼图 - 填补空白．