算术谜题-填空

一个填空问题是一种算术拼图，其中单位数整数适合空间，使得它们满足给定的约束。这些谜题有多种形式，无论是等式，盒子的精心构造的网格，甚至长分区。用手解决这些谜题需要一些逻辑扣除和了解各种算术运算符的某些数字选择的行为。

在方框中填入不同的整数1到5，使下列等式成立:

$\广场 \, + \, \ 广场 \, - \, \ 广场\ \ * \ \广场\ \ div \ \平方= 6。$

填写空白（fitb）拼图类似于<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/arithmetic-puzzles-operator-search/" class="wiki_link" title="操作符搜索" target="_blank">操作符搜索谜题，使用运算符而不是数字来完成谜题。在本页，我们将遵守以下规则:

• 一排正方形 $\underbrace{\square\square\ cdots \square}_{n \text{square}}$代表一个 $n$-digit整数，每个方形包含一个数字，第一正方形是非零。它不代表乘法 $广场\广场\ \ * \ \ \ \ * \ \广场\ \ * \ \ cdots \ \ * \ \广场。$

• 适当的<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/order-of-operations/" class="wiki_link" title="订单的操作" target="_blank">订单的操作， BODMAS，紧随其后。

在开始解决FITB方程之前，我们必须首先知道如何解释这些方框/空格。在这一节中，我们将教你两件事:如何将给定的方程转换成我们都熟悉的东西，以及如何直接从数学上解释这些方框。

1）将方程式恢复为更熟悉的版本 $$

喜欢解决密码图，因为在框中写出数学表达式罕见，作为初学者，我们应该始终尝试将方程式化为更熟悉的版本：正式的数学符号。

例如，如果下面的框表示不同的整数6到9，我们如何正确填写盒子？

$盒装{\ phantom0} \ boxed {\ phantom0} \ boxed {\ phantom0} - \ boxed {\ phantom0} = 788$

对于初学者来说，因为有4个正方形和4个数字来填充它们，(by<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/rule-of-product/" class="wiki_link" title="规则的产品" target="_blank">规则的产品）我们可以尝试所有 $4！= 24.$找出解决方案是否存在的可能性。但这将是乏味和疲惫的。那么我们如何以系统的方式解决这个难题？只需将它转换为我们熟悉的东西：代数符号！

如果我们表示3位整数 $盒装{\ phantom0} \ boxed {\ phantom0} \ boxed {\ phantom0}$和1位整数 $\盒装{\ phantom0}$作为 $x$和 $y，$分别获得等式 $x-y = 788$．因为有 $3 != 6$可能的值 $x$和4个可能的值 $y$，就简单得多了 $y$因为可能性更小。

• 如果 $Y = 6.$,然后 $X = 788+ y = 788+ 6 = 794$，暗示 $\ boxed7 \ boxed9 \ boxed4 - \ boxed6 = 788。$但这并不能满足框表示所有整数6到9的约束。
• 如果 $y = 7.$,然后 $x = 788+ y = 788+ 7 = 795$，暗示 $\ boxed7 \ boxed9 \ boxed5- \ boxed7 = 788。$但这并不能满足框表示所有整数6到9的约束。
• 如果 $Y = 8.$,然后 $x = 788+ y = 788+ 8 = 796$，暗示 $\ boxed7 \ boxed9 \ boxed6- \ boxed8 = 788。$这确实满足框表示所有整数6到9的约束。
• 如果 $Y = 9.$,然后 $x = 788+ y = 788+ 9 = 797$，暗示 $\ boxed7 \ boxed9 \ boxed7- \ boxed9 = 788。$但这并不能满足框表示所有整数6到9的约束。

所以， $Y = 8.$是唯一可能的解决方案，所以我们确实知道如何正确填写盒子！

$\ boxed7 \ boxed9 \ boxed6- \ boxed8 = 788。$

现在我们知道了如何将方框转换为正确的符号，反之亦然，让我们尝试一些新的东西:从提供的方框中立即读取数字。阅读以下部分!

2)直接读出盒子里的数字 $$

知道盒子代表什么后，我们可以立即解释数字 $\盒装{\ phantom0} \ boxed2 \盒装{\ phantom0}$作为一个带有Tens数字的3位整数2.所以是的，它可能方便或更容易将Fitb方程转换为更熟悉的东西，但有时它不值得努力。让我们看看以下等式：

$盒装{\ phantom0} \ boxed8 \ div \ boxed3 \ boxed {\ phantom0} = 2。$

我们是否真的需要将它转换为具有正确符号等方程式的等式 $（10p + 8）\ div（30 + q）= 2$解决吗?不一定。下面是我们要怎么做:

将双方乘以 $\ boxed3 \盒装{\ phantom0}$,我们得到 $\boxed3 \boxed3 \ boxed0 {\phantom0}，$这意味着 $\ boxed8$值的最后一位是 $2 \ \盒装{\ phantom0}。$那么我们有两种可能: $2 \ times \ boxed4 = 8$或 $2 \ \ boxed9 = 18,$这相当于 $8 \ div 4 = 2$或 $18 \ div 9 = 2，$分别。

所以现在我们有 $\box {\phantom0}\boxed8 \div \boxed3 \ boxed0 = 2$或 $\盒装{\ phantom0} \ boxed8 \ div \ boxed3 \ boxed {9} = 2$．完成它会产生所需的数字：

$\boxed8 \div \boxed3 \boxed3 = 2， \quad \ boxedbb1 \boxed8 \div \boxed3 \ boxed0 = 2。$

让我们尝试以下一个更难的例子：

填入空格，使下列方程满足: $$

$\ boxed7 \盒装{\ phantom0} \ times \ boxed {\ phantom0} \ boxed2 = \ boxed {\ phantom0} \ boxed7 \ times \ boxed2 \ boxed {\ phantom0} = 888。$

---

考虑第888号，我们得到了 $888 = 2 ^ 3 \ times 3 \ times 37。$因为888是用两个2位整数的乘积编写的，我们知道

• 至少一个整数 $\ boxed7 \盒装{\ phantom0}$和 $\盒装{\ phantom0} \盒装2$能被37整除; $QQuad（1）$
• 至少一个整数 $盒装{\ phantom0} \ boxed7$和 $\盒装2 \盒装{\ phantom0}$能被37整除。 $QQuad（2）$

37的唯一倍数是2位整数 $37 \ times1 = 37$和 $37 \ times2 = 74$， 所以

• 其中一个数字 $（1）$是 $74.$因此另一个数字是 $888 \ div74 = 12$；
• 其中一个数字 $（2）$是 $37.$因此另一个数字是 $888 \ div37 = 24$．

因此答案是

$\ boxed7 \ boxed {4} \ times \ capped {1} \ boxed2 =盒子{3} \ boxed7 \ times \ boxed2 \ boxed2 \ boxed {4} = 888。$

现在你能直接解读这些盒子了吗?来看看下面的问题:

前一节向我们展示了如何解决一个方程式的Fitb难题。现在我们提供更多等式吗？它会使拼图更难吗？好吧，不太。与解决一个人没有那么不同<一个target="_blank" rel="nofollow" href="//www.parkandroid.com/wiki/systems-of-equations/">方程式系统．因为我们已经有了上一节中需要的所有基础知识，让我们从一个例子开始:

用从1到5的不同整数填充下面的框，这样方程组的数组就成立了。 $$

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & \盒装{\ phantom0 } & & & & \\ & & - & & & & \\ \ 盒装{\ phantom0} & + & \盒装{\ phantom0} & \ * & \盒装11 \ \ {\ phantom0} & = & & & \ div & & & & \\ & & \ 盒装{\ phantom0 } & & & & \\ & & = & & & & \\ & & 1 & & & & \\ \ 结束{数组}}$

---

让我们从除号正下方的两个方框( $\ div.$），并打电话给他们 $X$和 $y，$分别。因为所有框都代表整数的数字， $X$必须被整除 $y。$还， $1\leq X,Y \leq 5 \leq$和 $x \ ne y。$因此，可能性是 $（x，y）=（4,2），（5,1），（4,1），（3,1），（2,1）$只有。

让 $Z$是顶部框中的数字，然后我们可以分析这5个可能性，如下所示：

如果 $（x，y）=（4,2）$,然后 $z - （x \ div y）= 1 \ lightarrow z = 3$．所以这两个未使用的整数是1和5，它们必须满足方程 $盒装{\ phantom0} + \ boxed4 \ times \ boxed {\ phantom0} = 11$．反复试验表明没有解决方案，因此 $（x，y）=（4,2）$不能成为解决方案。

如果 $（x，y）=（5,1）$,然后 $z - （x \ div y）= 1 \ lightarrow z = 6$．但自 $Z$必须是1到5之间的整数， $（x，y）=（5,1）$不能成为解决方案。

如果 $(X, Y) = (4,1)$,然后 $z - （x \ div y）= 1 \ lightarrow z = 5$．所以两个未使用的整数是2和3，它们必须满足方程 $盒装{\ phantom0} + \ boxed4 \ times \ boxed {\ phantom0} = 11$．试验和错误显示 $\盒装{3} + \ boxed4 \ times \ boxed {2} = 11$， 因此 $(X, Y) = (4,1)$可以是解决方案。

如果 $(X, Y) = (1)$,然后 $z - （x \ div y）= 1 \ lightarrow z = 4$．因此，两个未使用的整数为2和5，必须满足方程式 $\boxed3 \times \ boxed0 {\phantom0} = 11$．试验和错误显示 $\盒装{5} + \ boxed3 \ times \ boxed {2} = 11$， 因此 $(X, Y) = (1)$可以是解决方案。

如果 $(X, Y) = (2, 1)$,然后 $z - （x \ div y）= 1 \ lightarrow z = 3$．因此，两个未使用的整数为4和5，必须满足方程式 $盒装{\ phantom0} + \ boxed4 \ times \ boxed {\ phantom0} = 11$．反复试验表明没有解决方案，因此 $(X, Y) = (2, 1)$不能成为解决方案。

因此，存在两种解决方案，即

$大型{\ \{数组}{ccccccc}开始& & \ boxed4 & & & & \\ & & - & & & & \\ \ boxed5 & + & \ boxed3 & \ * & \ boxed2 & = & 11文本{和}\四\四\ \四\四\ \ & & \ div & & & & \\ & & \ 盒装1 & & & & \\ & & = & & & & \\ & & 1 & & & & \\ \ 结束{数组}}\大型{\开始{数组}{ccccccc} & & \ boxed5 & & & & \\ & & - & & & & \\ \ boxed3 & + & \ boxed4 & \ *&\boxed2 & = & 11。\ \ & & \ div & & & & \\ & & \ 盒装1 & & & & \\ & & = & & & & \\ & & 1 & & & & \\ \ 结束{数组}}$

虽然上面的例子占据了更多案例，但我们仍然可以以合理的方式解决它！您是否准备尝试使用一系列方程式尝试举例？

涉及最大化/最小化表达值的问题是娱乐数学中最常见和有趣的问题。虽然这些类型的谜题没有固定规则，但通常通常使用三种类型的技术，如下所示。

让我们来看看应用这些技术的以下示例：

$\large {square \times \square + square \times \square}$

用所有整数1、2、3和4填充方框，使表达式的值尽可能大。

---

要解决这个问题，我们可以申请（1）试验和错误求出方程中所有数的可能排列，并求出其中的最大值。但是，因为总共有 $4！= 24$在这种情况下，这种方法可能会很乏味。

注意到上面的表达式是两对数字相乘的和，我们可以应用(2)二元运算性质的运用： 自从 $A乘以b等于b乘以A$有一个换向财产，我们不需要列出所有24个案件。现在让我们开始。

让 $a, b, c$和 $d$按此顺序用数字表示盒子，即 $ab + cd$．不失一般性，我们可以假设 $< b, c < d$, $A$．结合这三个不等式可以看出 $一个$是最小值，因此 $a = 1$只有。然后我们只需要检查以下3例：

• 如果 $b = 2$,然后 $C = 3.$和 $d = 4.$，所以我们有 $\盒装{1} \ times \ boxed {2} + \ boxed {3} \ times \ boxed {4} = 14$．
• 如果 $b = 3$,然后 $c = 2$和 $d = 4.$，所以我们有 $\盒装{1} \ times \ boxed {3} + \ boxed {2} \ times \ boxed {4} = 11$．
• 如果 $b = 4$,然后 $c = 2$和 $d = 3.$，所以我们有 $\装箱{1}\times\boxed{4}+\boxed{2}\times\boxed{3}=10$．

由于我们已经使用了所有数字的组合，我们可以确定表达式的最大可能值是14:

$装箱{1}乘以装箱{2}+装箱{3}乘以装箱{4}=14。$

你是否意识到，在上面的例子中，我们已经将审判的数量从惊人的24起减至仅仅3起?注意，我们只使用了前两种技术，但还没有使用第三种技术。

现在我们来做一道题，迫使我们使用第三种技巧。

$\大{\ square ^ {\ square ^ {\ square ^ \ square}}}$

用所有整数1、2、3和4填充方框，使表达式的值尽可能小。

---

如前面的例子一样，我们可以申请（1）试验和错误．但是，因为总共有 $4！= 24$在这种情况下，这种方法可能会再次变得乏味。

因为四次方函数既不是交换函数也不是结合律函数也没有单位元，我们不能申请(2)二元运算性质的运用．

我们可以申请吗？（3）识别极值点？让我们找出答案。

让 $x$表示下面高亮显示的最左边框的值(整个指数的底数)。

$\large {\color{#20A900}{\square} ^ {\square ^ {\square ^ \square}}}$

如果我们让我们 $x = 1$，那么对于任何指数次幂，答案都是1。
但如果我们让 $x = 2, 3$或 $4$然后，对于任何指数功率，表达式将始终大于 $1$．
因此，由于我们想要最小化所产生的数字， $x$必须是1。

现在因为 $x$取任意有限数的幂为1，其余数的排列方式无关紧要 $（2,3,4）。$因此有6种解决方案，即

${\ boxed1} ^ {\ boxed3} ^ {\ boxed4}}，\ quad {\ boxed1} ^ {\ boxed4} ^ {\ boxed4} ^ {\ boxed4} ^ {\ boxed3}}}，\ quad {\ boxed3} ^ {\ boxed2} ^ {\ boxed4}}，\ quad {\ boxed1} ^ {\ boxed3} ^ {\ boxed4} ^ {\ boxed4} ^ {\ boxed2}}}，\ quad {\ boxed1} ^ {{\ boxed2} ^ {\ boxed3}}}，\ quad {\ boxed1} ^ {\ boxed4} ^ {{\ boxed3} ^ {\ boxed3} ^ {\ boxed2}}}。$

虽然没有确切的公式来确定每个极值的位置是针对每个问题的位置，但是应该始终尝试熟悉实际数字的属性以及它们如何变得更大。让我们尝试以下例子，其中还要求我们找到极值点：

在本节中，我们将应用简单长除法的一些性质。如果你不熟悉这个概念，请先看主要文章，<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/long-division/?wiki_title=long division" class="wiki_link new" title="长除法" target="_blank" rel="nofollow">长除法．

在长除法的填空过程中有一些反复出现的技巧。尽管有些技巧比其他的更受欢迎，但使用最简单的方法总是最好的。以下是一些最值得注意的技巧:

让我们在以下示例中应用这些技术：

找到满足上面的长划分的所有缺失数字的所有可能总和。

---

让我们先(1)将长除法转化为方程：

表示 $X$为长除法的商，并表示 $Y$作为被除数的个位数。

然后我们有 $9x + 2 = 20 + y$， 在哪里 $X$和 $Y$是非负单位数字整数。
简化，我们得到了 $9x = 18 + y$．

自 $X$是一位整数， $9x$可被9划分。
所以我们应用（4）整除性检查： $18 + Y$必须可以通过9可分开。
自 $0 \ \ leq9 leq Y$，因此 $Y = 0.$或 $Y = 9$只有。

如果 $Y = 0$,然后 $9X = 20 + Y = 20 + 0 \右转X = 2$．
如果 $Y = 9$,然后 $9x = 20 + 7 = 27 \ lightarrow x = 3$．
所以我们有两种可能的长分割:

现在我们可以填写底部的两个盒子： $9\times2=18$和 $9乘以3等于27$．

因此，所有缺失的数字的可能总和是 $2 + 0 + 1 + 8 = 11$和 $3 + 9 + 2 + 7 = 21$． $_\正方形$

您认为更大的长师会使问题更加困难吗？让我们看看这个稍微难的问题：

完成下面的长除法，其中每个空白表示一个数字正整数。

---

我们从下面开始，因为整数只有在下面才有。

我们(1)将长除法转化为方程：在它上方的13到两位数的整数之间，差异是3.所以两位数整数等于 $13 + 3 = 16，$这意味着3位被除数的个位数必须是6。

接下来，请注意，对于下面左边的长除法中突出显示的方框，我们应用(3)链接:我们有 $\color{#20A900}{\square \， \square \times \square = \box {1} \， \box {3}}$．自 $13.$是质数吗，解一定是 $13 \ times1 = 13$只有。因此，我们可以填充相应的框，如右边的长除法所示。

现在剩下的是找到剩下的4位数。将相关的丢失部分转换为等式给出 $13乘以，平方+ 1= 50 +平方$．为了避免混淆，让我们用更简单的方式重写一下: $13x + 1 = 50 + y，$在哪里 $X$和 $Y$单位数字非负整数。简化，我们得到了 $13x = 49 + y$．通过（4）可分派检查， $49 + Y.$一定能被13整除，是什么意思 $Y = 2$只有这样 $X = 4$．因此，我们可以完成长期：

你注意到我们根本不用了吗（5）试验和错误根本那是因为没有必要。一旦我们耗尽了所有努力，我们应该只适用它。

既然你已经学会了如何解长除法的难题，那就试试我们社区制作的吧!

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