等差数列

一个等差数列(AP)，也称为等差数列，是一组彼此之间相差a的数字的数列公差．例如，序列 $2,4,6,8， \点$等差数列是否具有公差 $2$．

我们可以通过求任意两个相邻项之间的差来找到一个AP的公约差。

以下序列为一个共差值为5，初始项为0的AP:

$\LARGE \color{#3D99F6}{0} \撑{\四边\四边}_{5}\color{#D61F06}{5} \撑{\四边\四边}_{5}\color{#20A900}{10} \撑{\四边\四边}_{5}\color{青色}{15}\撑{\四边\四边}_{5}\color{orangered}{20} \撑{\四边\四边}_{5}\color{grey}{25}$

重要术语

• 初始条件:在等差数列中，数列中的第一个数字称为“初始项”。
• 公差:连续项增加或减少的值称为“公差”。

递归公式

我们可以用一个递归公式来描述等差数列，它指定了每一项之间的关系。由于在等差数列中，每一项都由上一项给出，并加上公差，我们可以写成如下的递归描述:

$\text{术语}= \text{上一术语}+ \text{共同差异。}$

更简单地说，就是有共同的区别 $d$,我们有:

$an =现代{n} + d。$

显式公式

虽然上面的递归公式允许我们描述序列中各项之间的关系，但如果能够写出序列中各项的显式描述，这通常是很有帮助的，这将允许我们找到任何项。

如果我们知道初始项，下面的项通过重复相加的公差与之相关。因此，显式公式为

$\text{Term} = \text{Initial Term} + \text{Common Difference} \times \text{距Initial Term的步数}。$

我们可以用公差来写 $d$,如:

$A_n = a_1 + d(n-1)$

用什么来描述这个序列 $A_n = 2 + 4(n-1)$?

揭示答案

序列是 $2,6,10,14， \点$．

由显式公式可知，初始项为2，公差为4。

等差数列的显式公式是什么 $3, 6, 9, 12， \点$?

揭示答案

根据上面给出的形式，我们有一个初始项， $a_1 = 3$，还有一个共同的区别， $d$的3。因此, $A_n = 3 + 3(n-1)$．

注意，我们可以化简这个表达式为 $an = 3 + 3 n = 3 n$．

的术语:第一个的和 $n$具有初始期限的AP的条款 $一个$和普通的区别 $d$是由

$S_n=\frac n2 \big[2a+(n-1)d\big] \qquad \text{或}\qquad S_n=\ dfrac{n}{2} \big[T_1 + T_n\big] \qquad \text{或}\qquad S_n= n\ times (\text{中项})。$

前100个正整数的和是多少?

回答

我们假设前100个正整数的和是 $年代$,然后

$S = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 98 + 99 + 100。$

现在把这个表达式倒序写出来

$S = 100 + 99 + 98 + \ cdots + 3 + 2 + 1。$

把上面两个值相加，我们得到

$开始\{对齐}2 & = (1 + 100)+ 99 (2 +)+ (3 + 98)+ \ cdots + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) \ \ & = (101) + (101) + (101) + \ cdots + (101) + (101) + (101) \ \ & = 101 \ 100 \ \ \ \ \ Rightarrow & = \ dfrac{101 \乘以100}{2}\ \ & = 101 \乘以50 \ \ & = 5050。\ \ _ \广场结束{对齐}$

从上面的例子中，注意到对应项的和 $S = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 98 + 99 + 100$而且 $S = 100 + 99 + 98 + \ cdots + 3 + 2 + 1$都是一样的，即。

$1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \ cdots = 50 + 51 = 51 + 50 = \ cdots = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1。$

通过将所有条款相加，可以手动找到AP条款的总和，但这可能是一个非常繁琐的过程。根据AP所具有的上述性质，导出了AP的和的一般化公式。

对于有初始项的等差数列 $a_1$和普通的区别 $d$第一个的和 $n$条款是

$S_n =大\压裂{n} {2} \ [2 a_1 +大(n - 1) d \]。$

前50个奇数正整数的和是多少?

回答

我们认识到这是一个有公差的等差数列 $2$和最初的术语 $1.$我们可以用这个公式得到

$S_n = \压裂{1}{2}n \大(2 a_1 + (n - 1) d \大)\意味着S_ {50} = 25 \ * (2 + 49 \ times2) = 2500。\ _ \广场$

注意:我们可以归纳出第一个的和 $n$奇数正整数是

$\{对齐}S_n开始& = \压裂{a_1 + an} {2} \ n \ \ & = \压裂{1 + \大(1 + (n - 1) \ cdot 2 \大)}{2}\ n \ \ & = n ^ 2。结束\{对齐}$

增加/减少序列:

• 如果公差是正的，即。 $d > 0,$等差数列是an增加并满足条件 $现代{n} < an:$ $A_1 < a_2 < a_3 < \cdots。$例如，有初始项的等差数列 $2$和普通的区别 $3.$即。 $2、5、8、11、14 \点,$是一个递增序列。

• 如果公差是负的，即。 $d < 0,$等差数列是a减少并满足条件 $现代{n} > an:$ $A_1 > a_2 > a_3 > \cdots。$作为一个例子，有初始项的等差数列 $1$和普通的区别 $-3，$即。 $1， -2， -5， -8， -11， \dots，$是一个递减序列。

其他属性:

• 如果 $a, b, c$在美联社，那么 $2b = a + c。$
• 如果AP的每一项加、减、乘或除以一个非零的常数数，则得到的序列也在AP中。
• 如果 $n ^ \文本{th}$任何序列的项的形式 $一个+ b$，则序列在AP中，其公差为 $一个$．

几何解释:

如果 $an$代表了 $n ^{\文本{th}}$数列a的项 $1,2,3,4,5， \点$，可以画出相应的点 $(n, an)$在笛卡尔坐标系下为:

所有的点 $(n, an)$共线，这意味着所有的点连接起来可以形成一条直线。结果如下所示: $$

线的斜率:直线的斜率等于AP的公差，即 $d$．在上面的例子中，直线的斜率 $1$与它的共同区别是一样的。

• 几何发展
• 等比级数问题的求解