等差数列

一个等差数列(AP)，也称为算术序列，是一个数字序列，每个数字之间相差一个公差．例如，序列 $2,4,6,8， \点$等差数列有公差吗 $2$．

我们可以通过求任意两个相邻项的差来求AP的公差。

下面的序列是一个公差为5、初始项为0的AP:

$\LARGE \color{#3D99F6}{0} \underbrace{\quad \quad}_{5} \color{#D61F06}{5} \underbrace{\quad \quad}_{5} \color{#20A900}{10} \underbrace{\quad \quad}_{5} \color{cyan}{15} \underbrace{\quad \quad}_{5} \color{orangered}{20} \underbrace{\quad \quad}_{5} \color}{25}$

重要术语

• 初始条件:在等差数列中，数列中的第一个数称为“初始项”。
• 公差:连续项增加或减少的值称为“公差”。

递归公式

我们可以用递归公式来描述一个等差数列，它指定了每一项与前一项之间的关系。由于在等差数列中，每一项都是由前一项加上公差给出的，因此可以写成递归描述如下:

$\text{Term} = \text{Previous Term} + \text{Common Difference.}$

更简单地说，就是有共同的区别 $d$,我们有:

$an =现代{n} + d。$

显式公式

虽然上面的递归公式允许我们描述序列中各项之间的关系，但能够明确描述序列中的各项通常是有帮助的，这将允许我们找到任何项。

如果我们知道初始项，下面的项通过重复的公差相加与之相关。因此，显式公式为

$\text{Term} = \text{Initial Term} + \text{Common Difference} \times \text{初始项的步数}。$

我们可以用普通差来表示 $d$,如:

$A_n = a_1 + d(n-1)$

用什么来描述序列 $A_n = 2 + 4(n-1)$？

揭示答案

序列是 $2,6,10,14， \点$．

由显式公式可知，初始项为2，公差为4。

等差级数的显式公式是什么 $3,6,9,12， \点$？

揭示答案

用上面给出的形式，我们有一个初始项， $a_1 = 3$，和一个共同的区别， $d$的3。因此, $A_n = 3 + 3(n-1)$．

注意，我们可以将这个表达式简化为 $an = 3 + 3 n = 3 n$．

的术语:第一个的和 $n$具有初始术语的AP术语 $一个$和普通的区别 $d$是由

$S_n=\frac n2 \big[2a+(n-1)d\big] \qquad \text{or} \qquad S_n=\frac {n}{2} \big[T_1 + T_n\big] \qquad \text{or} \qquad S_n= n\ times (\text{middle term})。$

前100个正整数的和是多少?

回答

让我们假设前100个正整数的和是 $年代$,然后

$S = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 98 + 99 + 100。$

现在把这个表达式反过来写

$S = 100 + 99 + 98 + \ cdots + 3 + 2 + 1。$

将上述两个值相加，我们得到

$开始\{对齐}2 & = (1 + 100)+ 99 (2 +)+ (3 + 98)+ \ cdots + (98 + 3) + (99 + 2) + (100 + 1) \ \ & = (101) + (101) + (101) + \ cdots + (101) + (101) + (101) \ \ & = 101 \ 100 \ \ \ \ \ Rightarrow & = \ dfrac{101 \乘以100}{2}\ \ & = 101 \乘以50 \ \ & = 5050。\ \ _ \广场结束{对齐}$

从上面的例子中，注意到 $S = 1 + 2 + 3 + \ cdots + 98 + 99 + 100$和 $S = 100 + 99 + 98 + \ cdots + 3 + 2 + 1$都是一样的。

$1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = \ cdots = 50 + 51 = 51 + 50 = \ cdots = 98 + 3 = 99 + 2 = 100 + 1。$

可以通过手动添加所有条款来查找AP的条款之和，但这可能是一个非常繁琐的过程。根据AP的上述性质，有AP和的广义公式。

对于具有初始项的等差级数 $a_1$和普通的区别 $d$，即第一个的和 $n$条款是

$S_n =大\压裂{n} {2} \ [2 a_1 +大(n - 1) d \]。$

前50个奇数的和是多少?

回答

我们认识到这是一个等差数列 $2$和最初的术语 $1.$然后我们可以用这个公式得到

$S_n = \压裂{1}{2}n \大(2 a_1 + (n - 1) d \大)\意味着S_ {50} = 25 \ * (2 + 49 \ times2) = 2500。\ _ \广场$

注意:我们可以推广第一个的和 $n$奇正整数是

$\{对齐}S_n开始& = \压裂{a_1 + an} {2} \ n \ \ & = \压裂{1 + \大(1 + (n - 1) \ cdot 2 \大)}{2}\ n \ \ & = n ^ 2。结束\{对齐}$

增加/减少序列:

• 如果公差是正的，即。 $d > 0,$等差数列是增加并满足条件 $现代{n} < an:$ $A_1 < a_2 < a_3 < cdots。$例如，初始项的等差数列 $2$和普通的区别 $3.$即。 $2、5、8、11、14 \点,$是递增序列。

• 如果公差为负，即。 $d < 0,$等差数列是a减少并满足条件 $现代{n} > an:$ $A_1 > a_2 > a_3 > \cdots。$以具有初始项的等差级数为例 $1$和普通的区别 $3,$即。 $1 -2 -5 -8 -11， \点，$是一个递减的序列。

其他属性:

• 如果 $a, b, c$是在AP吗 $2b = a + c。$
• 如果AP的每一项都增加、减少、乘或除以一个常数非零数，那么结果序列也在AP中。
• 如果 $n ^ \文本{th}$任何序列的项都是这种形式 $一个+ b$，则序列在AP中，共同的区别是 $一个$．

几何解释:

如果 $an$代表了 $n ^{\文本{th}}$序列a的项 $1,2,3,4,5， \点$，可画出相应的点 $(n, an)$在笛卡尔坐标系下:

所有的点 $(n, an)$是共线的，意思是所有的点可以连接成一条直线。结果如下所示: $$

线的斜率:直线的斜率等于AP的公差，即。 $d$．在上面的例子中，是直线的斜率 $1$和它的普通区别是一样的。

• 几何发展
• 算术和几何级数问题解决