在本节中,我们将根据AGP的应用解决一些示例和问题:
1.认识一个AGP
证明下列身份:
(xn−1+xn−11)+2(xn−2+xn−21)+⋯+(n−1)(x+x1)+n=xn−11(x−1xn−1)2.
我们将通过重写等式的LHS来证明
(xn−1+xn−11)+2(xn−2+xn−21)+⋯+(n−1)(x+x1)+n=(xn−11+xn−22+⋯+xn−1)+[xn−1+2xn−2+⋯+(n−1)x]+n.
括号里的表达式乘以除以
xn,我们得到
xn1(x+2x2+⋯+(n−1)xn−1)+[xn−1+2xn−2+⋯+(n−1)x]+n.
用括号中的表达式求AGP项之和的公式,我们得到
xn(1−x)2x((n−1)xn−nxn−1+1)+[xn−1+2xn−2+⋯+(n−1)x]+n.
现在,由于括号中的表达式可以通过替换上面表达式的第一项得到
x与
x1,我们有
xn(1−x)2x[(n−1)xn−nxn−1+1]+(x1)n[1−(x1)]2(x1)[(n−1)(x1)n−n(x1)n−1+1]+n.
进一步简化可以得到
xn−11(x−1xn−1)2=园艺学会.
因此证明。
□
得到第一个正面之前,抛硬币的期望次数是多少?
让
P(n)是第一个人头落地的概率
n那么翻转一下
P(n)=(21)n.
因此,抛硬币的预期次数是
n=1∑∞nP(n)=n=1∑∞2nn=2.□
让我们看看你能不能解决下面的问题。
如果我们掷一个骰子,在得到前6个骰子之前,预计掷骰子的次数是多少?
注意:6的掷出包含在“我们得到前6的掷出次数”中。
2.求和法的推广
评估
我=1∑∞2我我2.
如果我们必须描述这个求和,我们称之为“二次-几何级数”,因为分子是二次的
我2.我们将使用不同的方法将其简化为“线性-几何级数”,即AGP。
让总数保持不变
年代,既然公比是
21,我们就会倍增
年代通过
21.减去
21年代从…起
年代给了
年代21年代21年代=21==21+44+41+43.+89+84+85+1616+169+167+3.225+3.216+3.29+⋯+⋯+⋯.
我们也许认识AGP,但让我们
T=21年代然后继续这个取差的过程
T21T21T=21==21+43.+41+42+85+83.+82+167+165+162+3.29+3.27+3.22+⋯+⋯+⋯.
现在,注意除了第一项,我们有一个初始项的GP
42和常见的比
21.结果是,第一项通常不符合序列的模式,我们之前很幸运。我们因此得到
21T=21+1−2142=21+1=23..
因此,
T=3.,这意味着
年代=2T=6.□
注意,当我们在二次序列中取项的差分时,我们将得到一个线性序列。这更普遍地适用于:当我们在一定程度上考虑术语的差异时
n序列,我们会得到一个度
n−1序列这将在中详细探讨<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/method-of-differences/" class="wiki_link" title="方法的差异" target="_blank">方法的差异.我们将反复使用这个想法来处理这种“多项式-几何级数”。
评估
我=1∑∞3.我我3..
观察我们有一个具有公比的“三次几何级数”
3.1.让我们乘
3.1取不同之处:
年代3.1年代3.2年代=3.1==3.1+98+91+97+2727+278+2719+8164+8127+813.7+243.125+243.64+243.61+⋯+⋯+⋯.
我们因此得到
3.2年代−3.1=我=1∑∞3.我+13.我2+3.我+1,这是一个“二次几何级数”。设置为
T.然后乘以
3.1取其差值
T3.1T3.2T=97==97+2719+277+2712+813.7+8119+8118+243.61+243.3.7+243.24+⋯+⋯+⋯.
我们因此得到
3.2T−97=我=1∑∞3.我+26(我+1),这是一个“线性-几何级数”。设置为
U.然后乘以
3.1取其差值
U3.1U3.2U=2712==2712+8118+8112+816+243.24+3.4218+243.6+⋯++⋯+⋯.
然后,我们得到
3.2U−2712=我=1∑∞3.我+3.6,哪个是一个无穷和的几何级数
1−3.1816=91.
这给了我们
3.2U3.2T3.2年代=2712+91=97+65=3.1+1229⇒U=65⇒T=1229⇒年代=83.3..□
现在,您可以自己解决下面的问题了。好运!
(1+x)3.2−x
(1+x)3.2+x
(1−x)3.2+x
(1−x)3.2−x
W=2+5x+9x2+14x3.+20x4+⋯
鉴于
∣x∣<1,求级数的值
W.
澄清:
2,5,9,14,20,...遵循一个
2nd-次多项式函数,即它们的二阶有限差分是常数。
112+1152+(11)292+(11)3.13.2+(11)4172+⋯=?
年代=0.1+0.02+0.003.+0.0004+⋯+10nn+⋯
给定无限和
年代可以表示为
b一个,在那里
一个和
b是互质正整数,查找
一个+b.