应用完全平方恒等式

的完全平方形式 $(a + b) ^ 2$和 $(a - b) ^ 2$在代数中经常出现。我们将在下面的示例中介绍如何扩展它们，但您还应该花一些时间将这些表单存储在内存中，因为您将经常看到它们。

扩大 $(a + b) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(a + b) ^ 2 & = (a + b) (a + b) \ \ & = (a + b) + b (a + b) \ \ & = ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 \ \ & = ^ 2 + 2 ab + b ^ 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

扩大 $(a - b) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(a - b) ^ 2 & = (a - b) (a - b) \ \ & = (a - b) - b (a - b) \ \ & = ^ 2 - ab - ba + b ^ 2 \ \ & = ^ 2 - 2 ab + b ^ 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$

扩大 $(x + 2) ^ 2$．

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我们有

$\{对齐}开始(x + 2) ^ 2 & = (x + 2) (x + 2) \ \ & = x (x + 2) + 2 (x + 2) \ \ & x = x ^ 2 + 2 + 2 + 4 \ \ & = x ^ 2 + 4 + 4。\ \ _ \广场结束{对齐}$

对于这些问题，您将需要认识完美的平方形式，以便快速解决它。

评估 $73 ^2 + 2 * 27 * 73 + 27 ^2$．

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观察到, $A = 73, b = 27$,我们获得 $A ^2 + 2 * b^2 = (A + b) ^2 = 100 ^2 = 10000$． $_ \广场$

因式分解 $n ^ 4 + 4$．

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这还不是完全平方。如果我们尝试完整的广场，我们看到我们需要这个术语 $4 n ^ 2$．所以，让我们加减这个来得到

$N²+ 4n²+ 4 - 4n²= (N²+ 2)²- 4n²。$

现在我们应用两个平方的差恒等式，得出结论

$(n ^ 2 + 2) ^ 2 - 4 n ^ 2 = (n ^ 2 + 2) ^ 2 - (2 n) ^ 2 = (n ^ 2 + 2 + 2 n) (n ^ 2 + 2 - 2 n)。\ _ \广场$

以上分解称为Sophie-Germain恒等式:

$N²+ 4 = (N²+ 2n + 2) (N²- 2n + 2)$