应用完美的立方体恒等式

完美的立方体 $(x + y) ^ 3$和 $(x - y) ^ 3$在代数中经常出现。我们将在下面的例子中介绍如何扩展它们，但你也应该花一些时间将这些表单存储在内存中，因为你会经常看到它们:

$\{对齐}开始(x + y) ^ 3 & y = x ^ 3 + 3 x ^ 2 + 3 x ^ 2 + y ^ 3 \ \ (x - y) ^ 3 & y = x ^ 3 - 3 x ^ 2 + 3 x y ^ 2 - y ^ 3。结束\{对齐}$

我们还将讨论立方体的和和差，以及应用它们的各种方法:

$\{对齐}开始x ^ 3 - y ^ 3 & = (x - y) (x ^ 2 + xy + y ^ 2) \ \ x ^ 3 + y ^ 3 & = (x + y) xy (x ^ 2 + y ^ 2)。结束\{对齐}$

扩大 $(x + 1) ^ 3$．

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展开，我们得到

$(x+1)^3 = x^3 + 3 * x^2 * 1 + 3 * x^2 +1 * x^3 = x^3 + 3x^2 + 3 * x+1$

是什么 $(a-2b) ^ 3$？

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展开，我们得到

$(a - 2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3) + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 + (2b)^3 - (2b)^3) + (2b)^3 + (2b)^3 - (2b)^3)\ \ _ \广场结束{对齐}$

因式分解 $x ^ 3 + 8$．

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我们知道这是 $x ^ 3$和 $2 ^ 3$．因此，通过立方体分解的和，我们得到

$x ^ 3 + 8 = (x + 2) (x ^ 2 - 2 x + 2 ^ 2) = (x + 2) (x ^ 2 - 2 x + 4)。\ _ \广场$

是什么 $(x+y)^3 + (x-y)^3 ?$

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解决方案1:如果我们看一下这些项的展开，我们会看到第二项和第四项会消掉，第一项和第三项会合并。因此,我们获得

$(x +y)^3 + (x-y)^3 = 2x ^3 + 6xy ^2。\ _ \广场$

解决方案2:如果我们把它看成两个立方体的和，我们会得到

$\{对齐}开始(x + y) ^ 3 + (x - y) ^ 3 & = \大[(x + y) + (x - y)大\]大\ [(x + y) ^ 2 - (x + y) (x - y) + (x - y) ^ 2 \]大\ \ & = 2 x \ \大[x ^ 2 + 3 y ^ 2 \]大\ \ & = 2 x ^ 3 + 6 xy ^ 2。\ \ _ \广场结束{对齐}$