不同的方块

的两平方差身份一个平方数减去另一个平方数能因式分解吗

$一个^ 2 b ^ 2 = (a + b) (a - b)。$

我们还要证明这个等式多项式相乘左边和右边相等。这个身份经常用在代数它在整数分解，二次筛，代数分解等。

两个正方形恒等式的差是 $(a + b) (a - b) = ^ 2 b ^ 2$．我们可以证明这个等式通过把等式左边的表达式相乘得到等式右边的表达式。这是这个身份的证明。

让我们从表达式的左边开始。我们有

$\{对齐}开始(a + b) (a - b) & = (a - b) + b (a - b) \ \ & = ^ 2 - ab + ab - b ^ 2 \ \ & = ^ 2 - b ^ 2,结束\{对齐}$

它等于等式的右边。因此证明。 $_ \广场$

本节包含示例和问题，以促进理解平方差恒等式的用法: $一个^ 2 b ^ 2 = (a + b) (a - b)$．

下面是一些例子来学习identity的用法。

重写 $5 ^ 2 - 2 ^ 2$作为一个产品。

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我们有

$5^2-2^2 = (5-2) \times (5+2) = 3\times 7。\ _ \广场$

计算 $299 \乘以301$．

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你可以用计算器算出这道题的答案，但我们有更好的办法。我们可以用两个平方的差恒等式。

一开始我们可能会考虑使用长乘法，但它浪费时间，当然，是无聊的。请注意, $299 = 300 - 1$和 $301 = 300 + 1$,所以

$\{对齐}299年开始\乘以301 & =(300 - 1)(300 + 1)\ \ & = 300 ^ 2 - 1 ^ 2 \ \ & = 89999。\ \ _ \广场结束{对齐}$

证明任意奇数可以写成两个平方的差。

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让奇数去吧 $N = 2b + 1$,在那里 $b$为非负整数。然后我们有

$n = 2 b + 1 = [(2 + 1) + b] [(b + 1) - b] = (b + 1) ^ 2 - b ^ 2。\ _ \广场$

是什么

$234567 ^ 2 - 234557 \ 234577倍\ ?$

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使用与上面例子相同的方法，

$\begin{aligned} 234567^2-234567 \times 234567^2 &=234567^2-\big(234567^2-10^2\big)\\ &=234567^2-234567^2+10^2\ \ _ \广场结束{对齐}$

解决以下问题:

1. 由于这两个因素是不同的 $2 b$，这些因素将始终具有相同的等价性。也就是说,如果 $a - b$是即便如此 $a + b$也必须是偶数，所以乘积能被4整除。或者两者都不能被2整除，所以乘积是奇数。这意味着是2的倍数而不是4的数不能表示为2的平方的差。

2. 的两个正方形之差的乘积本身就是两个正方形之差以两种不同的方式:

$\开始{数组}{l l l} \离开(^ 2 b ^ 2 \) \离开(c ^ 2 d ^ 2 \右)& = (ac) ^ 2 -(广告)^ 2 - (bc) ^ 2 + (bd) ^ 2 \ \ & = (ac) ^ 2 -(广告)^ 2 - (bc) ^ 2 + (bd) ^ 2 + 2 abcd-2abcd \ \ & = (ac) ^ 2 + 2左abcd + (bd) ^ 2 - \[(广告)^ 2 + 2 abcd + (bc) ^ 2 \] & = (ac + bd) ^ 2 -(公元前广告+)^ 2 \ \ & = (ac) ^左2-2abcd + (bd) ^ 2 - \[(广告)^ 2-2abcd + (bd) ^ 2 \] & = (ac-bd) ^ 2 - (ad-bc) ^ 2。\ \ \{数组}结束$

本节中的示例和问题对于增强问题解决技能来说有点困难。让我们试一试。

下面是一些例子。

简化

$左(1 - \ \压裂{1}{2 ^ 2}\)\离开(1 - \压裂{1}{3 ^ 2}\)\离开(1 - \压裂{1}{4 ^ 2}\)\ cdots \离开(1 - \压裂{1}{n ^ 2} \右)。$

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这是本文中提到的身份的一个非常直接的应用。我们有

${对齐}\ \开始离开(1 - \压裂{1}{2 ^ 2}\)\离开(1 - \压裂{1}{3 ^ 2}\)\ cdots \离开(1 - \压裂{1}{n ^ 2} \右)& = \离开(1 - \压裂{1}{2}\)\离开(1 + \压裂{1}{2}\)\离开(1 - \压裂{1}{3}\)\离开(1 + \压裂{1}{3}\)\ cdots \离开(1 - \压裂{1}{n} \) \离开(1 + \压裂{1}{n} \) \ \& = \压裂{1}{2}\ cdot \压裂{3}{2}\ cdot \压裂{2}{3}\ cdot \压裂{4}{3}\ cdots \压裂{n} {n} \ cdot \压裂{n + 1} {n}。结束\{对齐}$

注意第二项的乘积 $文本(n - 1) ^ \ {th}$项等于1，因此最终的乘积是 $\压裂{n + 1} {2 n}$． $_ \广场$

简化 $左(\ \ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \) \离开(\ sqrt5 + \ sqrt6 - \ sqrt7 \) \离开(\ sqrt5 - \ sqrt6 + \ sqrt7 \) \离开(- \ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \右)。$

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我们可以选择扩展它，但这是时间密集和非常容易出错的。让我们用同一性来解决这个问题。我们有

${对齐}\ \开始大(\ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \大)、大(\ sqrt5 + \ sqrt6 - \ sqrt7 \大)& = \大(\ sqrt5 + \ sqrt6 \大)^ 2 -大(\ sqrt7 \大)^ 2 \ \ \ & = 5 + 6 + 2 \√{30}7 \ \ & = 4 + 2 \√{30}\{对齐}结束。$

同样的，最后两项的乘积是

$\开始{对齐}\大(\ sqrt5 - \ sqrt6 + \ sqrt7 \大)、大(- \ sqrt5 + \ sqrt6 + \ sqrt7 \大)& = \离开(\ sqrt7 + \ \ sqrt5 - \ sqrt6 \大\)\离开(\ sqrt7——\ \ sqrt5 - \ sqrt6 \大\)\ \ & = 4 + 2 \√{30}。结束\{对齐}$

最终产品是 $\离开(4 + 2 \√{30}\)\左4 + 2 \√{30}\右)= -16 = 104(30)。$ $_ \广场$

你自己试试下面的问题。

• 多项式因式分解

• 应用完全平方恒等式

• 应用完美的立方体恒等式

• 合理简化表达式