运用开普勒定律

开普勒定律在经典力学中描述行星围绕太阳或恒星围绕星系的轨道。它们被用来预测许多物体的轨道，如小行星和彗星，并在发现暗物质在银河系中。对开普勒定律的违反被用来探索更复杂的引力模型，比如广义相对论．虽然牛顿定律概括了开普勒定律，但大多数与轨道周期有关的问题仍然最好使用开普勒定律来解决，因为它们更简单。

回想一下开普勒定律的表述:

1. 行星在椭圆轨道上运行，太阳是一个焦点。
2. 连接两个行星的线在相同的时间扫过相同的区域。
3. 周期的平方与半长轴(椭圆长边的一半)的立方成正比: $T ^ 2 \ propto ^ 3。$

这些定律可以应用于模拟行星、恒星或彗星等自然物体，也可以应用于模拟火箭和轨道卫星等人造设备。

尽管开普勒最初是在行星轨道的背景下发展了他的定律，但其结果适用于任何径向力服从平方反比定律的系统。库仑定律认为两个带电粒子之间的电作用力与万有引力一样呈平方反比定律(假设粒子带相反的电荷)。尽管事实是量子力学需要完全模拟电子是如何绕原子核运行的，具有很高能量的电子的行为就像它们有开普勒轨道一样，含有这种电子的原子被称为里德伯原子．

1986年，欧洲飞船乔托号拍摄的哈雷彗星照片[1]

哈雷彗星是第一颗彗星天文学家发现它有一个周期轨道。它每75年从地球眼前经过一次。开普勒第三定律决定了该轨道半长轴的长度:

与木星、土星、天王星和海王星相对圆形的轨道相比，哈雷彗星高度椭圆的轨道

$\开始{对齐}T ^ 2 & = \压裂{4π\ ^ 2}{G M} ^ 3 \ \ \ Rightarrow一= \ sqrt[3]{\压裂{G M T ^ 2}{4 \π^ 2}}\ \ & = 2.7 \ * 10 ^ {12}{(M)} \文本。结束\{对齐}$

上面是开普勒第三定律更精确的形式 $T^2 = \frac{4 \pi^2}{G M} a^3$用过的比例常数在哪里 $T ^ 2$而且 $^ 3$已经解决了。获得这个常数需要进行广泛的推导。

在它的轨道上离太阳最近的点上，哈雷彗星只有 $8.8 \times 10^{8} \text{m}$来自太阳，位于水星和金星轨道之间。它离太阳最远，距离约为 $a = 5.4 \ * 10^{12} \text{m}$超过海王星的轨道。

霍曼转移轨道[2]

从地球到火星最有效的路线被称为霍曼转移轨道[2]。根据开普勒第三定律，它必须是与两个轨道接触的椭圆具有最短的半长轴。这是很直观的，因为如果没有任何加速度，地球上的火箭就会保持在地球轨道上。最有效的路线是(椭圆)轨道，从地球轨道开始，到火星轨道结束。

地球和火星的轨道近似为圆形，有半径 $r_{E} = 1 \text{AU}$而且 $r_{M} = 1.542 \text{AU}$．一个接触这两个圆的椭圆将有半长轴

$= \压裂{1}{2}(r_ {E} + r_ {M}) = 1.262{盟}\文本。$

当 $一个$单位是 $文本\{盟}$而且 $T$以年为单位，开普勒第三定律简化为表达式

$一个^ T ^{2} ={3} \意味着T = \ sqrt{2.0992}{(年)}= 1.41 \文本。$

一位被困在太空中的宇航员想知道她离地球有多远。她身上唯一的东西就是她那块轻便的、坚不可摧的秒表，它能经受住重返大气层的高温和撞击地球的冲击。她启动秒表，让它在地球的参考系中以接近零的速度移动。在手表坠落到地球后，任务控制中心取回它，发现秒表已经下落了7天。宇航员离地球有多远?

这个问题可以通过对指向地球的直线上的牛顿引力积分来解决，得到位置作为时间的函数，反之亦然，但使用开普勒第三定律的技巧更容易。假设宇航员到地球的距离是一个数字 $R$，并考虑长轴长度略大于 $R$，有一个小轴 $b \ ll R$．这是一个椭圆，离心率非常接近1。取椭圆的极限，当偏心距趋于1时，得到一条长度为r的直线。这表明椭圆的性质可以用来推导与一般直线有关的量，因为任何直线都可以被偏心距接近1的椭圆很好地近似。

的时间 $t$沿这条线下降的时间是周期的一半 $T$它会绕相应的接近单位偏心椭圆一周。因为椭圆的半长轴是 $R \压裂{}{2}$根据开普勒第三定律

$\开始{对齐}T ^ 2 & = \压裂{4π\ ^ 2}{G M} ^ 3 \ \ T(2) ^ 2 & = \压裂{4π\ ^ 2}{G M} \离开(\压裂{R}{2} \右)^ 3 \ \ \ Rightarrow R & = 2 \√[3]{\压裂{G M T ^{2}}{\π^ 2}}。结束\{对齐}$

插入 $G = 6.67 \ * 10 ^{-11} \压裂{\文本{m} ^ 3}{{公斤}\ \ \文本文本{年代}^ 2}$， $M = 5.97 \ * 10^{24} \text{kg}$, $T = 6.048 \ * 10^{5} \text{s}$给了

$R = 3.4 \ * 10^{10} \text{m}$

这名宇航员离地球的距离这种推导比需要解决的繁琐的微积分要简单得多牛顿第二定律对于引力。

天文学家定义一个星系旋转曲线是恒星的切向速度作为它们到任何给定星系中心距离的函数的图。开普勒定律可以用来推导出这条曲线的形状，假设这些恒星有圆形(或低偏心率)的轨道。

根据开普勒第二定律，在给定的时间内，从星系中心到恒星的直线所扫过的面积一定是恒定的。因为半径 $r$对于这样一颗恒星，它的圆周运动速度是恒定的 $v$轨道上的恒星也必须是恒定的。在这种情况下，旋转的周期 $T$是 $v \压裂{2 \πr} {}$．把这个代入开普勒第三定律

$\开始{对齐}T ^ 2 & = \压裂{4π\ ^ 2}{G M} ^ 3 \ \ \离开(\压裂{2 \πr} {v} \右)^{2}& = \压裂{\π^ 2}{G M} r ^ {3} \ \ v ^{2} & = \压裂{G M} {r} \ \ \ Rightarrow v r & = \√{\压裂{G M} {r}}。结束\{对齐}$

质量 $米$也是半径的函数吗 $r$因为即使一个星系的质量密度是均匀的，这也意味着在某个半径内所包含的质量是半径的立方。也就是说，一群质量密度大致相同的恒星，其质量的大小是 $M(r) = M_{0} r^{3}$．代入上面的表达式 $v$给了 $v(r) = r \sqrt{G M_{0}}$．

如果一个星系的中间有一簇恒星，而在更远的地方有稀疏的恒星，那么它的星系旋转曲线就会从线性开始，然后像这样下降 $r \压裂{1}{\√6 {}}$，就像图中的曲线A。

天文学家发现银河系的星系旋转曲线确实如此不如果我们考虑到银河系中所有已知的质量，就会沿着这条曲线。它看起来更像曲线B，在曲线B中，即使远离星系中心，速度也几乎保持恒定。这意味着，要么开普勒定律是错误的，要么存在我们没有考虑到的质量。虽然在某些情况下，我们知道开普勒定律是不完整的，或者不能很好地描述自然(见下文)，但物理学家非常有信心，开普勒定律应该适用于这些恒星，因为它们的动力学满足牛顿引力的相关假设。数据预测了暗物质:我们看不见的物质，但由于它对引力的影响，它一定存在。

水星的近日点移动[3]

20世纪早期天文学中最大的谜团之一是水星近日点的旋进。的近日点是行星轨道上离太阳最近的点。开普勒第一定律预测，每一个轨道的近日点在时间上都是恒定的。然而，水星的近日点每年都会移动一个小角度。即使考虑到其他行星的引力效应造成的扰动，在牛顿引力下求解轨道时，仍然存在每世纪43弧秒的未计算的旋转。这种效应的大小相当于近日点在300万年[4]中旋转一圈。这种轻微的轨道进动是一种效应广义相对论在这种情况下，并非所有的轨道都是闭合椭圆。爱因斯坦在广义相对论中正确计算了水星近日点的旋进，被誉为广义相对论早期最伟大的理论成就之一。

[1]图片来自http://apod.nasa.gov/apod/ap100104.html, 2016年2月26日。

斯特恩[2],大卫。开普勒行星运动三大定律．美国国家航空航天局。2005年3月23日。检索于2016年3月9日从http://www-spof.gsfc.nasa.gov/stargaze/Kep3laws.htm

[3]图片来自https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Mercure_orbite_precession_sk.JPG, 2016年2月26日。

Wudka .水星近日点的旋进。1998年9月24日。http://physics.ucr.edu/~wudka/Physics7/Notes_www/node98.html检索于2016年2月18日。