证明<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/power-rule/" class="wiki_link" title="权力规则gydF4y2Ba" target="_blank">权力规则使用对数微分。
证明:
首先我们声明幂法则:对于任何实数
n,
dxdxn=nxn−1.
首先,我们让
y=xn,然后通过对数微分
x=0我们有
ln∣y∣=ln∣xn∣=nln∣x∣.
使用
dxdln∣x∣=x1(如上所述),我们有
yy”⇒y”=xn=xny=xnxn=nxn−1,
这一点有待证实。
□
区分
y=xx
.
我们可以写
x=elnx用对数法则,所以我们有
xx
=(elnx)x
.
两边同时微分,得到
dxdxx
=dxdex
lnx.
使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiation-chain-rule/" class="wiki_link" title="链式法则gydF4y2Ba" target="_blank">链式法则,我们有
dxdex
lnx=ex
lnxdxdx
lnx=xx
dxdx
lnx.
使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiation-product-rule/" class="wiki_link" title="乘法法则gydF4y2Ba" target="_blank">乘法法则,我们有
dxdx
lnx=x
⋅x1+lnx⋅2x
1=2x
2+lnx.
因此,我们有
dxdxx
=xx
(2x
2+lnx).□
区分
y=2ex+5x2lnx.
首先,我们试着微分第二项
5x2lnx.
使用乘法法则,
dxd5x2lnx=10xlnx+5x2⋅x1=10xlnx+5x.
因此,我们有
dxdy=2ex+10xlnx+5x,
这正是我们要找的。
□
区分
y=3.ex+12ex.
这就是我们需要直接使用除法定则的地方。
使用<一个href="//www.parkandroid.com/wiki/differentiation-quotient-rule/" class="wiki_link" title="除法法则gydF4y2Ba" target="_blank">除法法则,我们有
dxdy⇒dxdy=(3.ex+1)22ex(3.ex+1)−(3.ex)(2ex)=(3.ex+1)26e2x+2ex−6e2x=(3.ex+1)22ex.□
区分
y=xx为
x>0.
我们不能直接用微分法则来解决这个问题。我们需要为函数求导带来合适的形式:
y=xx⟹lny=lnxx⟹lny=xlnx.
现在两边同时对求微分
x,左边用链式法则,右边用乘积法则:
dxdy⋅y1⇒dxdy=lnx+x⋅x1=lnx+1=y(lnx+1)=xx(lnx+1).□