用反三角函数做微积分

你会怎样想，如果你能评价 $\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {1-x ^ {2}}}$在你的头上，而不做三角换元法？怎么样 $\ INT \压裂{DX} {1 + X ^ 2}？$这个维基会告诉你怎么做。结果是，当你使用三角或双曲三角替换来计算这些积分时，这些积分的结果必然会得到反三角函数或双曲反函数。

还记得函数的逆函数是什么吗?我们来定义三角函数的反函数，比如 $Y = \的SiNx$通过编写 $X = \罪ÿ$，这是相同的 $Y = \罪^ { - 1} X$或者 $Y = \反正弦X$．你可以应用这个惯例来得到其他的反三角函数。如果我们想对逆函数求导，可以用这个公式

$\左（F ^ { - 1} \右） '（X）= \ dfrac {1} {F' \左（F ^ { - 1}（x）的\右）}。$

将要使用另一个事实是， $sin^{2} x + cos^{2} x = 1$，这是勾股定理到单位圆的一个应用程序。

$\ drac {d}{dx} (arcsin x) =\，?$

---

利用逆函数的导数公式， $\左（F ^ { - 1} \右） '（X）= \压裂{1} {F' \左（F ^ { - 1}（x）的\右）}$如果我们说 $Y = \反正弦X$，我们可以写

$\压裂{d} {DX} \大[\反正弦（X）\大] = \压裂{1} {\压裂{d} {DY} \左[\罪Y \权利]}$

由于逆 $Y = \的SiNx$是 $X = \罪ÿ$，然后我们就可以改写为 $\压裂{1} {\ COS Y}$．但是是什么 $ÿ？$自从 $Y = \反正弦X$，我们可以这样说

$\压裂{d} {DX}（\ ARCSIN X）= \压裂{1} {\ COS \左（\ ARCSIN X \右）} = \压裂{1} {\ SQRT {1- \罪^ {2}\左（\ ARCSIN X \右）}} = \压裂{1} {\ SQRT {1-x ^ {2}}}。\ _ \方$

现在，我已经找到了衍生的反三角函数一个，你应该找到其他五个自己。这些问题的答案都贴在下面：

$\ BEGIN {对齐} \ {dfrac d} {DX} \左[\罪^ { - 1} X \右] = \ dfrac {1} {\ SQRT {1-x ^ 2}} \\ \ dfrac {d} {DX} \左[\ COS ^ { - 1} X \右] = \ dfrac {-1} {\ SQRT {1-x ^ {2}}} \\？\ dfrac {d} {DX}\左[\黄褐色^ { - 1} X \右] = \ dfrac {1} {1 + X ^ 2} \\ \ dfrac {d} {DX} \左[\婴儿床^ { - 1} X \右] = \ dfrac {-1} {1 + X ^ {2}} \\ \ dfrac {d} {DX} \左[\秒^ { - 1} X \右] = \ dfrac {1}{\左| X \权|\ SQRT {X ^ {2} - 1}} \\ \ dfrac {d} {DX} \左[\ CSC ^ { - 1} X \右] = \ dfrac {-1} {\左|X \右|\ SQRT {X ^ {2} -1}}。结束\{对齐}$

思考问题:

• 为什么我们需要绝对值符号 $x$为逆正割和余割的衍生物？

请记住，我们可以说， $\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {1-x ^ {2}}} = \ ARCSIN X + C？$是什么使我们这样说的?我们用了逆函数的导数公式， $\左（F ^ { - 1} \右） '（X）= \压裂{1} {F' \左（F ^ { - 1}（x）的\右）}$，勾股定理。

但是，如果我们想找到什么 $\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {1 + X ^ {2}}}？$我们的“正常”反三角函数不提供我们评估这种方式。但是，我们可以看到的事实，双曲三角函数的身份非常相似，有轻微的符号改变正常的三角恒等式。我们为什么不来看看毕达哥拉斯的身份双曲三角函数？

我们知道 $\的sinh X = \压裂{E 1 {X} - E 1 { - X}} {2}$和 $\ COSH X = \压裂{E 1 {X} + E ^ { - X}} {2}$．
如果我们评估 $\左（\压裂{E 1 {X} + E ^ { - X}} {2} \右）^ {2} - \左（\压裂{E 1 {X} - 电子^ { - X}} {2} \右）^ {2}？$
那么答案是 $\左（\压裂{E 1 {2×} + E ^ { - 2} + 2} {4} \右） - \左（\压裂{E 1 {2×} + E ^ { - 2} - 2} {4} \右侧）= 1。$

因为 $\的sinh X = \压裂{E 1 {X} - E 1 { - X}} {2}$和 $\ COSH X = \压裂{E 1 {X} + E ^ { - X}} {2}$，我们刚刚证明，

$\ COSH ^ {2} X - \双曲正弦^ {2} X = 1。$

利用这一事实，我们现在使用的反函数和毕达哥拉斯的身份衍生物公式双曲三角函数推导公式的双曲三角函数的衍生物。

让我们找到衍生物以下功能：

$\开始{阵列} {C}＆Y = \双曲正弦^ { - 1}的x，＆Y = \双曲余弦^ { - 1}的x，＆Y = \的tanh ^ { - 1}的x，＆Y = \文本{coth} ^ {-1}，＆Y = \ {文本}双曲正割^ { - 1}，＆Y = \ {文本CSCH} ^ { - 1} \ {端阵列}$

$\压裂{d} {DX} \左[\双曲正弦^ { - 1} X \右] = \，？$

---

使用 $\左（F ^ { - 1} \右） '（X）= \压裂{1} {F' \左（F ^ { - 1}（x）的\右）}$如果我们说 $Y = \双曲正弦^ { - 1} X$，我们可以写

$Y” = \压裂{1} {\压裂{d} {DY}（\双曲正弦Y）} = \压裂{1} {\ COSH Y}。$

但是是什么 $ÿ？$

$Y” = \压裂{1} {\ COSH \左（\双曲正弦^ { - 1} X \右）}。$

知道 $\ COSH ^ {2} X - \双曲正弦^ {2} X = 1$，我们可以说， $\ COSH X = \ SQRT {1+ \的sinh ^ {2} X}$．那么，我们可以写

$Y” = \压裂{1} {\ SQRT {1+ \的sinh ^ {2} \左（\双曲正弦^ { - 1} X \右）}} = \压裂{1} {\ SQRT {1 + X ^{2}}}。\ _ \方$

现在我已经为你做了一个例子，请推出其余的公式(答案将在下面显示)，其余的反双曲三角函数的导数:

$\开始{对齐}\ dfrac {d} {dx} \离开[\ sinh ^ {1} x \] & = \ dfrac{1}{\√6 {1 + x ^ {2}}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\ cosh ^ {1} x \] & = \ dfrac{1}{\√6 {x ^ {2} - 1}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\双曲正切^ {1}x \] & = \ dfrac {1} {1 - x ^ {2}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\文本{双曲余切}^ {1}x \] & = \ dfrac {1} {1 - x ^ {2}} \ \ \ dfrac {d} {dx} \离开[\文本{双曲正割}^ {1}x \]&=-\dfrac{1}{x\sqrt{1-x^{2}}}\\ \dfrac{d}{dx} \left[\text{csch}^{-1} x \right] &= -\dfrac{1}{\left|x\right| \sqrt{1+x^{2}}}. \end{aligned}$

思考问题:

• 为什么的衍生物 $x \双曲正切^ {1}$和 $\文本{coth} ^ { - 1} X$看似一样的吗?你知道什么时候说 $x \双曲正切^ {1}$vs. $\ {文字} coth ^ { - 1} X？$
• 对于其他的导数公式，你是否可以将它们用于所有的值 $X？$为什么或为什么不?
• 为什么会发生 $x$双曲余割逆的导数在根号外有绝对值号，而 $x$外在双曲正割逆的衍生物的基团不？

评估 $\ dfrac {d} {DX} \左[\ {文本}双曲正割^ { - 1} \左右（x ^ {2016} \右）\右。$

现在，我们来做逆什么，我们只是没有（笑请）。我们知道整合是分化的对面。于是，马上就可以写：

${对齐}\ displaystyle \ int \ \开始dfrac {dx}{\√6 {1 - x ^{2}}} & = \罪^ {1}x + C \ \ \ int - \ dfrac {dx}{\√6 {1 - x ^ {2}}} & = \ cos ^ {1} int x + C \ \ \ \ dfrac {dx} {1 + x ^ {2}} & = \ tan ^ {1} x + C \ \ \ int - \ dfrac {dx} {1 + x ^{2}} & = \床^ {1}int x + C \ \ \ \ dfrac {dx} {x \√6 {x ^{2} - 1}} & = \交会^{1}\左右| x \ | + C \ \ \ int - \ dfrac {dx} {x \√6 {x ^ {2} - 1}} & =^{-1} \左| x \右| +C。结束\{对齐}$

思考问题:

• 不是 $\ INT - \压裂{DX} {\ SQRT {1-x ^ {2}}}$同 $- \ INT \压裂{DX} {\ SQRT {1-x ^ {2}}}$，结果就是 $- \罪^ { - 1} X + C？$
• 我们为什么移动 $\左手|X \右|$从根号外正割逆和余割逆的内部 $\左（\秒^ { - 1} \左| X \右| \右。$和 $\剩下。\ CSC ^ { - 1} \左|X \右|\对）？$这是允许的吗?

评估 $\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {9-4X ^ {2}}}$．

---

我们希望让我们的积形式 $杜\压裂{}{\√6 {1 u ^ {2}}}$因为我们不需要做三角替换就可以对它积分。

把9提出来，然后我们可以写

$\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {9 \左（1- \压裂{4} {9}的x ^ {2} \右）}} = \ INT \压裂{DX} {3 \ SQRT {1-\压裂{4} {9}的x ^ {2}}}。\ qquad（1）$

现在,设置 $U = \压裂{2} {3} X$和 $\压裂{杜} {DX} = \压裂{2} {3}$．我们为什么要这样做?因为我们要的是这种形式的被积函数 $杜\压裂{}{\√6 {1 u ^ {2}}}$．然后 $（1）$成为

$\压裂{3}{2}\ cdot \压裂{1}{3}\ int \压裂{du}{\√6 {1 u ^ {2}}},$

这看起来很熟悉，相当于

$\ dfrac {1} {2} \ ARCSIN U + C，$

在哪里 $C$是积分常数。

但我们没有这样做。什么是 $u ?$它是 $U = \压裂{2} {3} X$．我们必须把它代回去(除非我们在做定积分，并且已经找到了u替换的积分上下限)。然后最后的结果出来

$\ dfrac {1} {2} \ arcsin \离开(\ dfrac {2} {3} x \右)+ c \ _ \广场$

就像我们做的反三角函数，我们可以写一些积分马上蝙蝠：

$\开始{对齐} \ INT \ dfrac {DX} {\ SQRT {1 + X ^ {2}}}＆= \双曲正弦^ { - 1} X + C \\？\ INT \ dfrac {DX} {\ SQRT {的x ^ {2} - 1}}＆= \双曲余弦^ { - 1} X + C \\？\ INT \ dfrac {DX} {1-X ^ {2}}＆= \的tanh ^ { - 1} X +ç\ qquad \左（\ {文本或}〜\文本{coth} ^ { - 1} X + C \右）\\ \ INT \ dfrac {DX} {X \ SQRT {1-x ^ {2}}}＆= - \ {文本}双曲正割^ { - 1} X + C \\？\ INT \ dfrac {DX} {X \ SQRT {1 + X ^ {2}}}＆= - \ {文本CSCH} ^ {-1} X + C. \ {端对齐}$

但事实并非如此。我们如何重写 $Y = \双曲正弦^ { - 1} X？$我们可以说 $\压裂{E 1 {Y} -e ^ { - Y}} {2} = X$．如果我们解决了什么 $ÿ？$然后我们有

$\开始{对齐} E 1 {Y} - E 1 { - Y}＆= 2×\\Ë^ {Y} \左（E ^ {Y} - E 1 { - Y} \右）= 2×E 1{Y} \\ë^ {2Y} - 1＆= ^ 2XE {Y}。结束\{对齐}$

让 $U = E 1 {Y}$,然后

$\{对齐}开始u ^ {2} - 2 xu - 1 & = 0 \ \ u & = \ dfrac {2 x \ \下午√{4 x ^ {2} - 4 (1)}} {2} \ \ & = x \ \下午√6 {x ^{2} + 1}。结束\{对齐}$

既然我们说 $U = E 1 {Y}$，我们也可以说 $\ LNÙ= Y$因为我们正在寻找 $y$．但是是什么 $u ?$我们解决了一元二次方程，并表示， $U = x \pm \根号{x^{2} + 1}$．所以我们可以说， $x = \ \ sinh ^ {1} ln \离开x \ \下午√x ^{{2} + 1} \右)?$不!我们必须对对数的辐角施加什么条件?它必须是积极的!如果我们看这个图 $Y = X + \ SQRT {X ^ {2} + 1}，$我们没事，因为它总是积极的。但是，如果我们看这个图表 $Y = X - \ SQRT {X ^ {2} + 1}$，我们不是没关系，因为它总是负面的。所以，如果我们可以说， $\双曲正弦^ { - 1} X = \ LN \左右（x + \ SQRT {X ^ {2} + 1} \右）$，那么我们也可以说， $\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {X ^ {2} + 1}}$也可以写成 $\ LN \左右（x + \ SQRT {X ^ {2} + 1} \右）+ C$， 在哪里 $C$是积分常数。

请用自然对数重新写一下这些积分的结果。答案如下:

$\开始{对齐}\ int \ dfrac {dx}{\√6 {1 + x ^ {2}}} & = \ ln \离开(x + \ sqrt {x ^{2} + 1} \右)+ C \ \ \ int \ dfrac {dx}{\√6 {x ^ {2} - 1}} & = \ ln \离开x + \√x ^{1}{2} \右)+ C \ \ \ int \ dfrac {dx} {1 - x ^ {2}} & = \ dfrac {1} {2} \ ln左| \ \ dfrac {1 + x} {1 - x} \右| + C \ \ \ int \ dfrac {dx} {x \ sqrt {1 - x ^ {2 }}} &= - \ ln左(\ \ dfrac {1 + \ sqrt {1 - x ^ {2}}} {\ | x\right|}\right)+ C \\ \int \dfrac{dx}{x \sqrt{1+x^{2}}} &= - \ln \left( \dfrac{1+\sqrt{1+ x^{2} }}{\left| x \right|} \right)+C. \end{aligned}$

思考问题:

关于这两套公式，考虑以下问题：

• 做所有这些公式工作，为的所有值 $u ?$为什么或为什么不?如有必要，说明的限制 $u$．
• 为什么会有绝对值符号 $x$在最后两个积分的结果吗？
• 你什么时候用 $x \双曲正切^ {1}$在一个整体的结果 $\ {文字} coth ^ { - 1} X？$

评估 $\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {4倍^ {2} - 9}}$．

---

我们想让积分看起来像这样 ${u^{2} - 1}}$．

让我们出来的第一因素 $9$：

$\ INT \压裂{DX} {\ SQRT {9 \左（\压裂{4} {9}的x ^ {2} - 1个\右）}} = \压裂{1} {3} \ INT \压裂{DX} {\ SQRT {\压裂{4} {9}的x ^ {2} - 1}} \ qquad（1）$

现在，让我们做 $u$替换:让 $u = \压裂{2}{3}x$和 $杜= \压裂{2} {3} DX$．然后 $（1）$成为

$\ dfrac {1} {3} \ cdot \ dfrac {3} {2} \ int \ dfrac {du}{\√6 u ^ {{2} - 1}},$

这看起来非常熟悉！

我们有两种选择：这最后一个表达式等于

$\压裂{1} {2} \双曲余弦^ { - 1} U + C \ qquad \文本{或} \ qquad \压裂{1} {2} \ LN \左（U + \ SQRT【U ^ {2}- 1} + C \右），$

在哪里 $C$是积分常数。但是，在这两种情况下，究竟是什么 $u ?$它是 $u = \压裂{2}{3}x$．

因此，给定表达式等于

$\ dfrac {1} {2} \ cosh ^{1} \离开(\ dfrac {2} {3} x \右)+ C{或}\ qquad \ \ qquad \文本dfrac {1} {2} \ ln \离开(\ dfrac {2} {3} x + \ sqrt {\ dfrac {4} {9} x ^{2} - 1} \右)+ C \ _ \广场$