驻波边界条件的应用gydF4y2Ba

具有固定端点边界条件的串上的驻波。[1]。gydF4y2Ba

边界条件gydF4y2Ba为gydF4y2Ba波动方程gydF4y2Ba描述解在空间中某些点上的行为。例如，竖琴的琴弦两端固定在竖琴的框架上。如果弦被拨动，它会根据波动方程的解振动，其中边界条件是弦的端点在任何时候都有零位移。gydF4y2Ba

一般来说，边界条件有两种主要类型:固定端点或gydF4y2Ba狄利克雷gydF4y2Ba边界条件，自由端点或gydF4y2Ba诺伊曼gydF4y2Ba边界条件，分别对应于握住弦的末端或允许它自由振荡。这两种边界条件都可以导致gydF4y2Ba驻波gydF4y2Ba，在某些点调用gydF4y2Ba节点gydF4y2Ba在任何时候位移都为零，波在所有点的最大振幅都不随时间变化。gydF4y2Ba

的gydF4y2Ba波动方程gydF4y2Ba一个在时间和空间上都是二阶的偏微分方程能在一定数量上模拟小的振荡吗gydF4y2Ba $ygydF4y2Ba$：gydF4y2Ba

$v ^ \压裂{1}{2}\压裂{\部分^ 2 y}{\部分t ^ 2} = \压裂{\部分^ 2 y}{\部分x ^ 2},gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$是波的速度。取决于波传播的介质，速度gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$可以有几种不同的形式:gydF4y2Ba

字符串gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $TgydF4y2Ba$弦的张力是gydF4y2Ba $\μgydF4y2Ba$是弦的单位长度的质量密度。gydF4y2Ba

声音/压力波gydF4y2Ba：gydF4y2Ba $v = \sqrt{\frac{K}{\rho}}gydF4y2Ba$在哪里gydF4y2Ba $\ρgydF4y2Ba$声音所经过的气体的密度是多少gydF4y2Ba $KgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba弹性体积模量gydF4y2Ba给出的gydF4y2Ba $K = \ pgydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $pgydF4y2Ba$气体的压强和gydF4y2Ba $\γgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba绝热指数gydF4y2Ba气体的(等于gydF4y2Ba $5/3gydF4y2Ba$对于单原子来说gydF4y2Ba理想气体gydF4y2Ba）.gydF4y2Ba

光gydF4y2Ba光波是电磁场中振荡的传播，它以光速传播gydF4y2Ba $v = cgydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

波动方程的任何解都可以表示为左行波和右行波的和，它可以是任何形式的函数gydF4y2Ba $f (x-vt)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g (x + v)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

证明波动方程的任何解都可以表示为左行波和右行波的和gydF4y2Ba $f (x-vt)gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $g (x + v)gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

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解决方案:gydF4y2Ba

这两个解(左行解和右行解)可以通过直接替换来验证。对于左移动解:gydF4y2Ba

${对齐}\ \开始压裂{d ^ 2} {dx ^ 2} (x-vt) & = f”(x-vt) \ \ \压裂{d ^ 2} {dt ^ 2} (x-vt) & = v ^ 2 f”(x-vt) \{对齐}结束gydF4y2Ba$

因此,gydF4y2Ba $\压裂{d ^ 2} {dt ^ 2} f (x-vt) = v ^ 2 \压裂{d ^ 2} {dx ^ 2} f (x-vt)gydF4y2Ba$,所以gydF4y2Ba $f (x-vt)gydF4y2Ba$解波动方程。代入右行波得到相同的结果。由于左行波和右行波是线性无关的，波动方程的任何解都可以表示为它们的线性组合。gydF4y2Ba

如果波在某个端点都固定的一维区域内传播，最简单的解是正弦曲线:gydF4y2Ba

$Y (x,t) = y_0 \sin (x-vt) + y_0 \sin (x+vt)gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $y_0gydF4y2Ba$是波的振幅。使用gydF4y2Ba三角恒等式gydF4y2Ba，此解决方案可扩展:gydF4y2Ba

$\{对齐}开始y (x, t) & = y_0(\罪(x-vt) + \ sin (x + v)) \ \ & = y_0 (\ sin (x) \ cos (vt) - \ cos (x) \罪(vt) + \ sin (x) \ cos (vt) + \ cos (x) \ sin (vt)) \ \ & = 2 y_0 \ sin (x) \ cos (vt) \{对齐}结束gydF4y2Ba$

这个解具有恒定的振幅和空间部分gydF4y2Ba $\ sin (x)gydF4y2Ba$没有时间依赖性。这是驻波的数学描述，如图所示。gydF4y2Ba

当端点固定[2]时，左传播行波和右传播行波的叠加产生驻波。gydF4y2Ba

波动方程的解也可以写成这样gydF4y2Ba $f (kx - \ωtgydF4y2Ba$)而不是gydF4y2Ba $f (x-vt)gydF4y2Ba$,在那里gydF4y2Ba $公斤ydF4y2Ba$是gydF4y2Ba波数gydF4y2Ba而且gydF4y2Ba $\ωgydF4y2Ba$是gydF4y2Ba频率gydF4y2Ba，使用的事实是gydF4y2Ba $\omega = vkgydF4y2Ba$对于非色散波。在这种形式下，上述两端固定的弦上的谐波(正弦)驻波振幅的解为:gydF4y2Ba $Y (x,t) = 2y_0 \sin(kx) \cos (t)gydF4y2Ba$

因为振幅gydF4y2Ba $y (x, t)gydF4y2Ba$必须始终在驻波的端点消失吗gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$的允许值gydF4y2Ba $公斤ydF4y2Ba$高度受限。假设字符串是长度gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$，并将字符串的端点标记为坐标gydF4y2Ba $x = 0gydF4y2Ba$而且gydF4y2Ba $x = LgydF4y2Ba$．代入上面，自从gydF4y2Ba $\sin(0) = 0gydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $Y (0,t) = 0gydF4y2Ba$不管时间gydF4y2Ba $tgydF4y2Ba$．但是，在端点处gydF4y2Ba $x = LgydF4y2Ba$，gydF4y2Ba $y(L,t) = 0gydF4y2Ba$当且仅当:gydF4y2Ba

$kL = n\pi，gydF4y2Ba$

为gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$任何整数。波数gydF4y2Ba $公斤ydF4y2Ba$因此被限制为一组值:gydF4y2Ba

$k = n \frac{\pi}{L}。gydF4y2Ba$

利用波数与波长有关的事实gydF4y2Ba $\λgydF4y2Ba$由:gydF4y2Ba

$K = \frac{2\pi}{\lambda}，gydF4y2Ba$

可能允许的波长同样是离散的:gydF4y2Ba

$\lambda = \frac{2L}{n}，gydF4y2Ba$

频率也一样:gydF4y2Ba

$f = n \frac{v}{2L} = n \frac{\omega}{2kL}。gydF4y2Ba$

驻波的允许频率(一般来说，任何振荡系统的允许频率)通常被称为gydF4y2Ba正常模式gydF4y2Ba，与gydF4y2Ba $n = 1gydF4y2Ba$频率称为gydF4y2Ba基频gydF4y2Ba频率对应于更高gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$被称为gydF4y2Ba谐波gydF4y2Ba，在那里gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$Th次谐波对应于整数gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

为了找到允许的波数或频率，通常有用的方法是首先绘制一些允许的波型，从中可以首先提取波长，如下图所示:gydF4y2Ba

驻波型随增加gydF4y2Ba $ngydF4y2Ba$对应的波长和频率是[3]。gydF4y2Ba

这种分析不仅适用于弦上的横波，实际上也适用于波动方程的一般正弦解。另一个常见的例子是在管道中传播的纵向压力/声波。两端闭合的管道表示声波在管道中的狄利克雷边界条件，因为管道两端的纵向位移必须为零。如果打开管道的一端，边界条件就变成了诺伊曼:末端的压力应该是大气压，所以当波离开管道时，压力没有变化，纵向位移的斜率是平坦的。gydF4y2Ba

长度为半开口的管道中纵向压力波的允许频率是多少gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$?gydF4y2Ba

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解决方案:gydF4y2Ba

首先，分析三个最长的允许波长来确定一个模式。纵位移随管道长度的变化如下图所示:gydF4y2Ba

管道中压力波纵向位移的振幅为三个最低频率谐波。gydF4y2Ba

最低频率的谐波完成四分之一波长的长度gydF4y2Ba $lgydF4y2Ba$．次高的谐波完成一个波长的四分之三，之后的谐波完成一个波长的四分之五。观察图案时，允许的波长必须是:gydF4y2Ba

$L = \frac{2n-1}{4} \lambda \表示\lambda = \frac{4L}{2n-1}。gydF4y2Ba$

从关系式中找出相应的频率gydF4y2Ba $\ f = vgydF4y2Ba$，得到:gydF4y2Ba

$f = \frac{(2n-1)v}{4L}，gydF4y2Ba$

在哪里gydF4y2Ba $vgydF4y2Ba$压力波的速度，和gydF4y2Ba $N \in \{1,2,3\ldots\}gydF4y2Ba$．gydF4y2Ba

[1]图片来自https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/5/5c/Standing_waves_on_a_string.gif，基于知识共享许可，允许重复使用和修改。gydF4y2Ba

[2]图片来自https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7d/Standing_wave_2.gif，基于知识共享许可，允许重复使用和修改。gydF4y2Ba

[3]图片来自旧金山州立大学2015年8月的课堂笔记。2016年2月10日访问。http://www.physics.sfsu.edu/~bland/courses/385/downloads/vector/ch8.pdfgydF4y2Ba