补方的应用
完成Square -应用程序
补全平方就是把一个二次方程从 来 ,在那里 是常数。
这是一种非常有用的技术,有多种用途。
找到顶点
抛物线的顶点可以通过完成抛物线方程中的平方来求出。考虑一个抛物线,它的方程是 完成这个方框得到
根据平方的性质,当被平方的变量等于零时,平方的值最小为零,随着被平方的变量绝对值的增加,平方的值增加。因此,整个表达式 或 什么时候会有一个极值 堵塞 得到的等式 现在我们知道了顶点的坐标 在哪里 是二次方程的判别式。
求二次函数的值域
求的范围 可能需要花点功夫。然而,一旦完成了正方形,可以在短短几秒钟内找到范围。在完成这个方块之后,我们有
我们在前一节中讨论过,当 这是最大值还是最小值取决于的符号 我们知道 (因为它是正方形的)。因此,如果 极值是最小值,范围是 当 函数有一个最大值,它的值域是
求的范围 ,在那里 是正实数。
变量项 是 .因为它是完全平方,所以它的值域都是非负实数 .后添加 ,它是一个常数,的范围 就变成了 .
注:我们还可以找到的值 最小值出现的点。这是当 ,也就是说, .
求的范围 ,在那里 是负实数。
现在的范围 是 ,因为 是负的。后添加 的范围。 就变成了 ,我们就完成了。
注意:同样,在极端情况下 协调是 .
求的范围 .
完成这个平方后,我们得到 ,表示其取值范围为 .
分解
很多时候,对一个二次表达式进行因式分解变得很困难,特别是当根是无理根或复根时。这就是完成正方形的帮助。任何二次元的因式分解都可以通过完成平方然后使用恒等式来完成
给定一个二次方程 如果我们能成功地把它变成形式 然后用两个平方恒等式的差进行因式分解,很容易得到它的两个根。操作步骤如下:
注意,现在方程式已经成形了 然后我们应用两个平方的差恒等式,就完成了!
因式分解
首先,我们完成这个方形:
现在使用恒等式 我们得到了
因式分解
使用与上例相同的方法,我们得到