阿波罗定理

Apollonius的定理是一个初级几何定理，它把三角形的中位数的长度和它的边长联系起来。虽然世界上大多数人都是这么说的，但在东亚，这个定理通常被称为Pappus的定理或中点定理。毕达哥拉斯定理可以从余弦规则以及向量中证明。定理以希腊普罗加的希腊数学家Apollonius命名。

对于三角形 $ABC.$和 $m$是中点 $公元前\眉题{}$，以下等式持有：

$\ overline {ab} ^ 2 + \ overline {ac} ^ 2 = 2 \ left \ {\ overline {am} ^ 2 + \ left（\ frac {\ overline {bc}} {2} \ over）^ 2 \对\}。$

证明这三角形 $ABC，$和 $m$是中点 $\ overline {bc}，$满足阿波罗尼厄斯定理，只使用勾股定理。

---

让 $H$是垂直的脚 $一种$到 $公元前\眉题{}$。

很清楚

$\ begin {senugented} \ overline {bm} = \ ovline {cm}＆= \ frac {\ overline {bc}} {2} \\\\ \ overline {bh} + overline {ch}＆= \ overline {公元前}。\结束{对齐}$

使用Pythagorean定理，我们得到了

$\ begin {aligned} \ overline {ab} ^ 2＆= \ ovline {ah} ^ 2 + \ overline {bh} ^ 2 \\ \ overline {ac} ^ 2＆= \ ovline {ah} ^ 2 + \ overline {ch} ^ 2 \\ \ overline {am} ^ 2＆= \ ovline {ah} ^ 2 + \ overline {mh} ^ 2。\结束{对齐}$

从这些中，我们可以得出结论

$\ begin {aligned} \ overline {ab} ^ 2 + \ overline {ac} ^ 2＆= 2 \ overline {ah} ^ 2 + \ overline {bh} ^ 2 + \ overline {ch} ^ 2 \\＆=2 \ overline {ah} ^ 2 + 2 \ overline {mh} ^ 2 + \ overline {bh} ^ 2- \ overline {mh} ^ 2 + \ overline {ch} ^ 2- \ overline {mh} ^ 2 \\＆= 2 \ overline {am} ^ 2 + \ left（\ overline {bh} + \ overline {mh} \右）\ left（\ ovline {bh} - \ overline {mh} \ revely）+ \ left（\ overline {ch} + \ overline {mh} \右）\ left（\ ovline {ch} - \ overline {mh} \ overline）\\＆= 2 \ overline {am} ^ 2 + \ left（\ overline {B.H}+\overline{MH}\right)\cdot\overline{BM}+\overline{CM}\cdot\left(\overline{CH}-\overline{MH}\right) \\ &=2\overline{AM}^2+\frac{\overline{BC}^2}{2} \\ &=2\left\{\overline{AM}^2+\left(\frac{\overline{BC}}{2}\right)^2\right\}.\ _\square \end{aligned}$

证明这三角形 $ABC，$和 $m$是中点 $\ overline {bc}，$只使用只能满足Apollonius的定理余弦法则(余弦定律)。

---

使用余弦规则，我们得到

$\ begin {senugented} \ overline {ab} ^ 2＆= \ overline {bm} ^ 2 + \ overline {am} ^ 2-2 \ overline {am} \ cdot \ overline {bm} \ cos \ cost \ cost andlab \\\ \ overline {ac} ^ 2＆= \ ovline {cm} ^ 2 + \ overline {am} ^ 2-2 \ overline {am} \ cdot \ overline {cm} \ cos \'角度amc \\＆= \overline {bm} ^ 2 + \ overline {am} ^ 2 + 2 \ overline {am} \ cdot \ overline {bm} \ cos \角度amb。\ qquad（\ text {以来} \角amb + \角度amc = \ \ pi）\结束{对齐}$

添加这两个给出

$\ begin {aligned} \ overline {ab} ^ 2 + \ overline {ac} ^ 2＆= 2 \ overline {am} ^ 2 + 2 \ overline {bm} ^ 2 \\＆= 2 \ left \ {\ overline{am} ^ 2 + \ left（\ frac {\ overline {bc}} {2} \ over）^ 2 \ rick \}。\ _ \ square \ END {对齐}$

证明这三角形 $ABC，$和 $m$是中点 $\ overline {bc}，$仅通过使用基本向量操作来满足Apollonius的定理。

---

让 $一种$是笛卡尔坐标系的起源。

定义 $\ overrightarrow vec {b} {AB} = \$和 $\超级arraw {ac} = \ vec {c}，$很明显 $\ oveRightArrow {BC} = \ vec {c} - \ vec {b}$和 $\超级arrow {am} = \ frac {\ vec {b} + \ vec {c}} {2}。$

所以，

$\开始{对齐}\眉题{AB} ^ 2 + \眉题{AC} ^ 2 & = vec {b} | | \ ^ 2 + vec {c} | | \ ^ 2 \ \ & = \ dfrac{1}{2} \大(2 vec {b} | | \ ^ 2 + 2 vec {c} | | \ ^ 2 \大)\ \ & = \ dfrac{1}{2} \大(vec {b} | | \ ^ 2 + vec {c} | | \ ^ 2 + 2 vec {b} \ \ cdot \ vec vec {b} {c} + | \ | ^ 2 + vec {c} | | \ ^ 2 - 2 vec {b} \ \ cdot vec {c} \ \大)\ \ & = \ dfrac{1}{2} \左\{\大(vec {b} + \ \ vec {c}) ^ 2 + (\ vec vec {b} {c} - \ \大)^ 2 \ \}\ \ & =\ dfrac{1}{2} \离开(4 \眉题{我}^ 2 + \眉题公元前{}^ 2 \)\ \ &左= 2 \ \{\眉题{我}^ 2 + \离开(\ dfrac{\眉题{BC}}{2} \右)^ 2 \ \}。\ \ _ \广场结束{对齐}$

Apollonius的定理是一个特殊的案子斯图尔特的定理而且也是概括的勾股定理。

---

代替 $\ overline {bp} = \ overline {cp}$进入Stewart的定理， $\眉题{CP} \ cdot \眉题{AB} ^ 2 + \眉题{BP} \ cdot \眉题{AC} ^ 2 = \离开(\眉题{BP} + \眉题{CP} \) \离开(\眉题{美联社}^ 2 + \眉题{BP} \ cdot \眉题{CP} \右)$，你得到了

$\ overline {ab} ^ 2 + \ overline {ac} ^ 2 = 2 \ left（\ ovline {ap} ^ 2 + \ overline {bp} ^ 2 \右）。$

另外，取代 $\角度bac = \ frac {\ pi} {2}$和 $\ overline {am} = \ frac {\ overline {bc}} {2}$进入Apollonius的定理，你得到了

$\ begin {senugented} \ overline {ab} ^ 2 + \ overline {ac} ^ 2＆= 2 \ left \ {\ left（\ frac {\ overline {bc}} {bc} {bc} {bc}} ^ 2 + \ left（\ frac {\ overline {bc}} {2} \右）^ 2 \ \ \} \\＆= \ overline {bc} ^ 2。\ _ \ square \ END {对齐}$

我们还可以获得读书的Carnot的定理

$PA ^ 2 + PB ^ 2 + PC ^ 2 = GA ^ 2 + GB ^ 2 + GC ^ 2 + 3pg ^ 2$

任何时候 $P。$寻找三角形的质心Wiki证明。