分析无弹性碰撞GydF4y2Ba

一个GydF4y2Ba无弹性碰撞GydF4y2Ba是一种碰撞GydF4y2Ba活力GydF4y2Ba是GydF4y2Ba不是GydF4y2Ba保守GydF4y2Ba．一种GydF4y2Ba完美的梭形碰撞GydF4y2Ba是一种特殊类型的绝缘碰撞，其中两个或多个物体“粘在一起”形成一个最终物体。（将一个对象分成多于一个物体也可以被视为完全无弹性的碰撞。）与任何碰撞一样，GydF4y2Ba势力保护GydF4y2Ba永远可以使用。GydF4y2Ba

势力保护：GydF4y2Ba

$m_1v_ {1_0} + m_2v_ {2_0} = m_1v_ {1_f} + m_2v_ {2_f}GydF4y2Ba$

无弹性碰撞的分析允许调查对难以接近的物理学的非常常见的相互作用GydF4y2Ba能量守恒GydF4y2Ba考虑。结果，更强大GydF4y2Ba势力保护GydF4y2Ba形成所有物理学的基岩。GydF4y2Ba

考虑两个质量粒子GydF4y2Ba $m_ {1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $m_ {2}GydF4y2Ba$移动速度GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {2}GydF4y2Ba$， 分别。在他们碰撞之前，他们的能量综合GydF4y2Ba $e _ {\ text {init}} = \ frac {1} {2} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + \ frac {1} {2} m_ {1} v_ {2} ^ {2}GydF4y2Ba$和一个组合的势头GydF4y2Ba $\ vec {p} _ {\ text {init}} = m_ {1} \ vec {v} _ {1} + m_ {2} \ vec {v} _ {2}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

由于碰撞是完全无弹性的，碰撞后有一个单一的质量对象GydF4y2Ba $m_ {1} + m_ {2}GydF4y2Ba$．由于势头是节省的，这个目的具有等于总激素的势头，GydF4y2Ba $\ vec {p} =（m_ {1} + m_ {2}）\ vec {v} _ {f}GydF4y2Ba$．组合对象的速度GydF4y2Ba $\ vec {v} _fGydF4y2Ba$因此,GydF4y2Ba

$\ begin {对齐}（m_ {1} + m_ {2}）\ vec {v} _ {f}＆= m_ {1} \ vec {v} _ {1} \ {1} + m_ {2} \ vec {v}_ {2} \\ \ \ vec {v} _ {f}＆= \ frac {m_1} \ vec {v} _1 + \ frac {m_2}} {m_1 + m_2}} {m_1 + m_2} \ vec {v} _2。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

能量取决于的平方大小GydF4y2Ba $\ vec {v} _fGydF4y2Ba$， 哪一个是GydF4y2Ba点产品GydF4y2Ba的GydF4y2Ba $\ vec {v} _fGydF4y2Ba$本身。如果角度之间GydF4y2Ba $\ vec {v} _1GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ vec {v} _2GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $\θ.GydF4y2Ba$，那么这等于GydF4y2Ba

$\ |\ vec {v} _f \ | ^ 2 = \ frac {m_1 ^ 2} {（m_1 + m_2）^ 2} v_1 ^ 2 + \ frac {m_2 ^ 2} {（m_1 + m_2）^ 2} v_2 ^ 2+ \ frac {m_1 m_2} {（m_1 + m_2）^ 2} v_1 v_2 \ cos \ theta。GydF4y2Ba$

最终的能量GydF4y2Ba $E_F.GydF4y2Ba$是GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} e_f＆= \ frac {1} {2}（m_1 + m_2）\ |\ vec {v} _f \ | ^ 2 \\＆= \ frac {1} {2} \ left [\ frac {m_1 ^ 2} {（m_1 + m_2）} v_1 ^ 2 + \ frac {m_2 ^ 2}{（m_1 + m_2）} v_2 ^ 2 + 2 \ frac {m_1 m_2} {（m_1 + m_2）} v_1 v_2 \ cos \ theta \ revally]。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

该等式是完全无弹性碰撞的通用解决方案。这有点难看，但探索它在特定的简化案例中如何工作可以帮助建立它所说的直觉。GydF4y2Ba

什么是能量差异GydF4y2Ba $\ delta e = e_ f - e_iGydF4y2Ba$如果GydF4y2Ba $M_2.GydF4y2Ba$比...小得多GydF4y2Ba $m_1？GydF4y2Ba$（物理学家用符号表达这一点GydF4y2Ba $m_2 \ ll m_1GydF4y2Ba$。）GydF4y2Ba

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在这种情况下，GydF4y2Ba $m_1 + m_2 \大约m_1GydF4y2Ba$，简化了方程式GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} e_f＆= \ frac {1} {2}左（\ frac {m_1 ^ 2} {m_1} v_1 ^ 2 + \ frac {m_2} {m_1} v_2 ^ {2} + 2 \ frac{m_1 m_2} {m_1} v_1 v_2 \ cos \ theta \ rectle）\\＆= \ frac {1} {2} \ left（m_1 v_1 ^ 2 + 2 m_2 v_1 v_2 \ cos \ theta + \ frac {m_2}{m_1} m_1 v_2 ^ 2 \右）。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

自从GydF4y2Ba $m_2 \ ll m_1GydF4y2Ba$那GydF4y2Ba $\ frac {m_2} {m_1} \ ll 1GydF4y2Ba$，所以最后一个术语很小，如果另外还要很小GydF4y2Ba $v_2.GydF4y2Ba$小于或不大于GydF4y2Ba $v_1.GydF4y2Ba$．这些组合的假设允许GydF4y2Ba $E_F.GydF4y2Ba$进一步简化为GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} e_f＆= \ frac {1} {2}（m_1 v_1 ^ 2 + 2 m_2 v_1 v_2 \ cos \ theta）\\ \\ \ lightarrow \ delta e＆= e_f - e_i \\＆= m_2v_1 v_2 \ cos \ theta - \ frac {1} {2} m_2 v_2 ^ 2。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

该等方程式对该限制案例给出了很好的解释。第二术语“消除了原始粒子的能量，而第一项”产生“质量粒子GydF4y2Ba $M_2.GydF4y2Ba$速度投射在更大质量的方向GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$，因为它被困在GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$．质量的能量GydF4y2Ba $M_1.GydF4y2Ba$保持不变。GydF4y2Ba

特别注意，这种简化要求较小粒子的速度不是太高。如果是，那么较小的党将有足够高的能量来显着改变较大粒子的动量和能量，并且这种近似是无效的。GydF4y2Ba

完美的无弹性碰撞只是一种无弹性碰撞。许多碰撞 - 就像在地板上弹跳的篮球 - 涉及似乎有弹性的碰撞，但仍然失去能量。篮球永远不会在同样的高度上跳动。每次反弹时，它们都会失去能量和动力。不保证任何保守的数量，在一般情况下解决这个问题是非常困难的。GydF4y2Ba

一种可溶性壳体是输出粒子的相对速度的情况具有幅度，其是输入颗粒的相对速度的一些固定分数。这个分数被称为GydF4y2Ba恢复系数GydF4y2Ba．数学上，恢复系数GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$对于两个颗粒之间的碰撞是由GydF4y2Ba

$E = \ FRAC {\ |\ vec {v} _ {2f} - \ vec {v} _ {1f} \ |} {\ |\ vec {v} _ {2i} - \ vec {v} _ {1i} \ |}，GydF4y2Ba$

在哪里GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {1i}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {2i}GydF4y2Ba$是初始速度和GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {1f}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba $\ vec {v} _ {2f}GydF4y2Ba$是最终的速度。GydF4y2Ba

除非潜在的能量在碰撞中释放（例如，释放的球内的绑定弹簧），否则GydF4y2Ba $e \ Leq 1GydF4y2Ba$因为动能被环境消耗掉了。在理想的完全弹性碰撞情况下，GydF4y2Ba $E = 1GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

考虑下面显示的图表。它在无摩擦地面上显示了两个移动物体之间的无间隙碰撞。GydF4y2Ba

这里，GydF4y2Ba ${U_1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba ${U_2}GydF4y2Ba$是块的初始速度GydF4y2Ba ${m_1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba ${m_2}GydF4y2Ba$分别和GydF4y2Ba ${v_1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba ${v_2}GydF4y2Ba$碰撞后是它们各自的最终速度。GydF4y2Ba

这两个街区沿着无摩擦线行进，互相碰到。碰撞是归属系数的绝体GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

由于水平方向上没有净外力，因此线性动量是节省的：GydF4y2Ba

${m_1} {u_1} + {m_2} {u_2} = {m_1} {v_1} + {m_2} {v_2}。QQuad（1）GydF4y2Ba$

从恢复系数方程，GydF4y2Ba

$e = \ frac {{{v_2} - {v_1}}} {{u_1} - {u_2}}}。QQuad（2）GydF4y2Ba$

从等式（1）和（2），我们得到GydF4y2Ba

$\开始{对齐}{v_1} & = \离开({\压裂{{{1}- e {m_2}}} {{{1} + {m_2}}}} \) \, {u_1} +左\[{\压裂{{(1 + e) \ {m_2}}} {{{1} + {m_2}}}} \右]\,{u_2} \ \ {v_2}左& = \[{\压裂{{(1 + e) \ {1}}} {{{1} + {m_2}}}} \右]\,{u_1} + \离开({\压裂{{{m_2} - e \ {1}}} {{{1} + {m_2}}}} \) \, {u_2}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

请注意，通过设置GydF4y2Ba $e = 1，GydF4y2Ba$我们可以得到GydF4y2Ba ${v_1}GydF4y2Ba$和GydF4y2Ba ${v_2}GydF4y2Ba$在一个维度中完美弹性碰撞。GydF4y2Ba

球从一个高度掉下来GydF4y2Ba $HGydF4y2Ba$在地面上，初始速度为0。它上下弹跳了很多次，最后才停下来。如果反弹的恢复系数是GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$，在休息之前，在休息之前行进的总时间和垂直距离的总距离是多少？GydF4y2Ba

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首先，确定速度GydF4y2Ba $v_1.GydF4y2Ba$球首先撞到地面。这可以通过多种方式导出，但最简单的是考虑守恒能量。潜在的能量GydF4y2Ba $你GydF4y2Ba$在一个身高GydF4y2Ba $HGydF4y2Ba$是GydF4y2Ba $u = mghGydF4y2Ba$．通过保护，动能的变化是GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} \ delta k＆= - \ delta u \\ \ frac {1} {2} mv_1 ^ 2 - 0＆= - （0 - mgh）\\ v_1 ^ 2＆= 2gh \\ \ lightarrow v_1＆= \ sqrt {2gh}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

接下来，确定时间GydF4y2Ba $T.GydF4y2Ba$到达地面需要：GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} s＆= ut + \ frac {1} {2} a {t ^ 2} \\ h＆= \ frac {1} {2} {2} g {g {t ^ 2} \\ \ lightarrow t＆=\ sqrt {\ frac {{2h}} {g}}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

由于恢复系数是GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$，每当球反弹它的下一个速度都会减少因素GydF4y2Ba $E.GydF4y2Ba$．具体来说，GydF4y2Ba $v_ {n + 1} = e v_ {n}GydF4y2Ba$．自从GydF4y2Ba $v_1 = \ sqrt {2gh}GydF4y2Ba$， 我们有GydF4y2Ba $v_ {n} = e ^ {n-1} \ sqrt {2gh}GydF4y2Ba$．GydF4y2Ba

现在，球将达到少于的高度GydF4y2Ba $H，GydF4y2Ba$让高度达到GydF4y2Ba ${h_1}GydF4y2Ba$．然后将向上方向作为正面，一个人可以写GydF4y2Ba ${v ^ 2} = {u ^ 2} + 2as。GydF4y2Ba$在最高点，速度为零，所以GydF4y2Ba $\ begin {senugented} {0 ^ 2}＆= \ big（e \ sqrt {2gh} \ big）^ 2 + 2（ - g）{h_1} \\ \ lightarrow {h_1}＆= {e ^ 2} h．\结束{对齐}GydF4y2Ba$

此外，在反弹之后，可以从返回地面所花费的时间计算GydF4y2Ba
$s = ut + \ frac {1} {2} a {t ^ 2}。GydF4y2Ba$
当粒子达到地面时，位移为零，并且加速度是GydF4y2Ba $-GGydF4y2Ba$以向上方向为正面：GydF4y2Ba $\ begin {array} {l} 0 = e \ sqrt {2gh} \，t + \ frac {1} {2}（ - g）{t ^ 2} \\ \ lightarrow t = 2e \ sqrt {\ frac {{2h}} {g}}。\结束{array}GydF4y2Ba$

这种弹跳的过程将继续，碰撞总数将是无限的。然而，在每个反弹期间行进的时间和距离迅速缩短，以便总和是有限的。这些系列称为GydF4y2Ba收敛系列GydF4y2Ba．GydF4y2Ba

总距离旅行GydF4y2Ba $HGydF4y2Ba$将GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} h＆= {h_0} + 2 {e ^ 2} {h_0} {e ^ 4} {e ^ 4} {h_0} + 2 {e ^ 6} {e ^ 6} {h_0} {h_0} + cdots \\＆= {h_0左[1 + 2 {e ^ 2} \ left（1 + {e ^ 2} + {e ^ 4} + {e ^ 6} + \ cdots \ revent）\ \\＆= {h_0}左[{1 + 2 {e ^ 2} \ left（{\ frac {1} {{1 - {e ^ 2}}} \ =右] \ qquad \ left（\ text {自从}1 + {e ^ 2} + {e ^ 4} + \ cdots = \ frac {1} {右）\\＆= {h_0} \ left [{\ frac {{1 + {E 1 2}}} {{1 - {E 1 2}}}} \权利]。\结束{对齐}GydF4y2Ba$

同样，总时间GydF4y2Ba $T.GydF4y2Ba$拍摄将是GydF4y2Ba

$\ begin {对齐} t＆= \ sqrt {\ frac {{2 {h_0}} {g}} {g}} + 2 \ sqrt {\ frac {{2 {e ^ 2} {h_0}} {g}} +2 \ sqrt {\ frac {{2 {e ^ 4} {h_0}} {g}} {g}} {g}} {g}} + \ cdots \\＆= \ sqrt {\ frac {{2 {h_0}} {g}} \ cdot \left [1 + 2e \ left（1 + e + {e ^ 2} + {e ^ 3} + \ cdots \ other）\ rectle] \\＆= \ sqrt {\ frac {{2 {h_0}}} {g}} \ cdot \ left [{1 + 2e \ left（{\ frac {1} {{1 - e}} \ extry）} \ \ rot] \\＆= \ left（{\ frac {{1 +e}} {{1 - e}}} \右）\，\ sqrt {\ frac {{2 {h_0}}} {g}}。\结束{对齐}GydF4y2Ba$